Tomografia di Resistività Elettrica (ERT)

Tomografia di resistività elettrica (ERT) Lo sviluppo di strumenti multi-elettrodo ha reso possibile la ricostruzione di immagini 2D e 3D di resistività del sottosuolo. Diverse combinazioni di array sono possibili nella stessa sequenza, variando la profondità di investigazione. C+ P- C+ P+ P- C- C- P+ Electrode 1 Survey level 3 5 PSEUDO SEZIONE 7 Distance (m)

Tomografia elettrica da superficie Vantaggi: correla variazioni di resistività elettrica a variazioni del contenuto idrico e della salinità è economica offre buona copertura areale e penetrazione Svantaggi: è sensibile alle eterogeneità superficiali perde risoluzione in profondità SEZIONE INVERTITA

Electrical Resistivity Tomography (ERT) La limitazione principale della geoelettrica tradizionale è che vuole ottenere informazioni su un semispazio a partire da dati raccolti su una sola superficie. A questo si può ovviare con misure in foro, con cavi ed elettrodi assicurati a casing non metallico Si misura DV in un gran numero di configurazioni possibili. Si mantiene una risoluzione adeguata anche in profondità Si evita l’effetto di strati conduttivi nel suolo superficiale inietta corrente in una coppia di elettrodi misura differenza di potenziale tra due elettrodi elettrodo Cross Borehole Electrical Resistivity Tomography (ERT)

Gli elementi da considerare nella progettazione di un X-hole ERT sono: la dimensione della sezione il numero e la spaziatura degli elettrodi lo schema di acquisizione La risoluzione è migliore nella vicinanza degli elettrodi, per cui è necessario mantenere un fattore di forma uguale o minore di 1/2 fra larghezza e profondità. Ma la risoluzione è funzione della struttura di resistività stessa e si può solo calcolare a posteriori. Il numero di elettrodi varia da 20 a piu` di 100 in molte applicazioni 2D e 3D. La spaziatura spesso non supera 1 metro.

L’interpretazione dell’ ERT richiede la soluzione di un problema inverso. Il modello diretto è un modello numerico (FE, FD) che risolva l`equazione del flusso di corrente DC in un mezzo eterogeneo. L’inversione si opera, ad esempio, ai minimi quadrati con regolarizzazione. Come molti problemi inversi, anche questo tende ad essere mal posto. Il controllo della qualità dei dati è essenziale.

Inversione di resistività alla Occam 1 2 25 Processo iterativo per determinare il “miglior” set di resistività tale da (a) onorare i dati (b) avere una struttura spaziale “liscia” 3 4 20 5 6 7 15 Profondità (m) 8 Data misfit 9 10 10 11 12 5 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 Iterazione 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Distanza (m) 30 100 400 Resistività (Wm) Funzione obiettivo da minimizzare:

Modellistica di resistività Modello diretto - Calcolo delle resistenze che sarebbero teoricamente misurate per una certa distribuzione di resistività Modello inverso - Calcolo della distribuzione di resistività che è “coerente” con le resistenze effettivamente misurate.

? Dati (d) Modello (m) Modello diretto - Calcolo delle resistenze che sarebbero teoricamente misurate per una certa distribuzione di resistività Dati (d) Modello (m) ?

? Dati (d) Modello (m) Modello inverso - Calcolo della distribuzione di resistività che è “coerente” con le resistenze effettivamente misurate. Dati (d) Modello (m) ?

Modello diretto

Modellistica diretta di resistività Per una certa distribuzione di conduttività elettrica possiamo determinare i potenziali elettrici risolvendo l’equazione differenziale con le opportune condizioni al contorno.

Se il problema si considera essere 2-D, cioè allora si cerca la soluzione di: ove l è la variabile della trasformata di Fourier in direzione trasversale y, e v è la corrispondente trasformata di Fourier del potenziale.

Metodi numerici alle differenze finite o agli elementi finiti sono di solito usati per le soluzioni 2-D e 3-D. La regione è discretizzata in celle (elementi) con nodi che ne definiscono gli angoli. Un diverso valore di conduttività può essere assegnato ad ogni cella e il potenziale è calcolato ai nodi. s (o r) per ogni cella

Gli elettrodi sono posizionati ai nodi, per cui è possibile calcolare i valori del potenziale agli elettrodi. elettrodo (o r) per ogni cella

Modello diretto Discretizzazione differenze finite elementi finiti

Modello diretto Discretizzazione differenze finite elementi finiti Effetto della topografia

Il metodo delle differenze finite Il metodo delle differenze finite è il più antico ed è ben conosciuto. Solitamente l’analisi è affrontata inizialmente approssimando la regione da studiare con una griglia di nodi distribuiti uniformemente nello spazio. In ognuno di questi nodi, ciascuna derivata dell’equazione differenziale che definisce la fenomenologia fisica è approssimata mediante un’espressione algebrica che fa riferimento ad i nodi adiacenti. In questo modo, ricavando per ogni nodo della griglia un insieme di relazioni legate alle derivate predette si otterrà l’intero sistema di equazioni algebriche. Quest’ultimo è quindi risolto rispetto al valore delle variabili dipendenti, nodo per nodo. O E N S hO hE hN hS P Relazione che lega ciascun nodo con i nodi contigui, nel metodo delle differenze finite, (secondo Muftì, 1976).

La soluzione del problema diretto geoelettrico con il metodo delle differenze finite Il metodo delle differenze finite, è stato applicato a problemi geoelettrici monodimensionali (Mufti, 1980), bidimensionali (Mufti, 1976; Day e Morrison, 1979a) e tridimensionali (Day e Morrison, 1979b). Uno dei tratti fondamentali di questo metodo è la discretizzazione del semispazio che rappresenta il terreno. Così, per problemi mono, bi- o tri-dimensionali, il mezzo si scompone in rettangoli o parallelepipedi mediante una serie di linee verticali e orizzontali, formando una rete che si sovrappone alle linee che separano zone di differente resistività. Il calcolo della funzione incognita (generalmente il potenziale elettrico) è possibile soltanto per quei punti che cadono nei nodi della rete. La disposizione e la spaziatura delle linee che formano la rete non è soggetta a vincoli. I nodi si individuano in base al numero delle due linee delle quali sono l'intersezione. Così il nodo Pij è quello formato dall'intersezione della i-esima linea orizzontale (i=1,...,m) con la j-esima linea verticale (j=1,...,n). In qualunque punto del mezzo, incluso il corpo anomalo o gli elettrodi, deve valere l’equazione di flusso che si deduce dalla legge di Ohm e dalla relazione di continuità: J = (σE) = 0

Muftì dimostra, partendo dalla equazione che, per modelli bidimensionali e scegliendo un sistema di coordinate cartesiane, vale la seguente espressione approssimata: In questa formula, qi,j indica la sorgente che è eventualmente posta in P, con intensità I, e vale Equazioni analoghe si possono formulare per un sistema di riferimento in coordinate cilindriche (corpi bidimensionali) e per corpi tridimensionali. Nei nodi che corrispondono alla superficie del terreno o alle linee estreme di indice m o n, l'equazione deve essere modificata per soddisfare le condizioni al contorno.

Se si considerano le equazioni corrispondenti a tutti i nodi, si ottiene un sistema di equazioni lineari la cui soluzione darà il valore del potenziale elettrico in tutti i nodi, in particolare quelli posti sulla superficie del terreno, i quali permetteranno di calcolare i corrispondenti valori di resistività apparente. Se si vuole una conoscenza dettagliata della distribuzione del potenziale la rete di nodi deve essere molto fitta, e di conseguenza il numero di equazioni può diventare eccessivamente grande. Per ovviare a questo inconveniente, Muftì utilizza una rete con spaziatura logaritmica, che permette il calcolo di tutti i valori di resistività apparente, con una notevole diminuzione del numero dei nodi.

Il metodo degli elementi finiti Il metodo agli elementi finiti è un approccio più recente, oggi ben consolidato. L’analisi comincia con l’approssimazione della regione da studiare, suddividendola in un numero di elementi finiti non uniformemente distribuiti nello spazio, che vengono correlati con i nodi a loro associati. All’interno di ogni elemento, la variazione spaziale della variabile dipendente viene approssimata con una funzione d’interpolazione che è definita rispetto ai valori che la variabile dipendente assume nei nodi associati all’elemento. Il problema originale è quindi sostituito con una sorta di sistema integrale equivalente. Successivamente le suddette funzioni di interpolazione sono sostituite nella forma integrale, vengono integrate e combinate con i risultati ricavati dagli altri elementi. Si ottengono così le equazioni algebriche che definiscono il problema e che devono essere risolte rispetto alla variabile dipendente ad ogni nodo.

Le prime formulazioni matematiche per i modelli agli elementi finiti erano basate su tecniche variazionali. I modelli variazionali solitamente consistono nel trovare i parametri nodali che portano ad un valore stazionario (minimo o massimo) di una specifica relazione integrale nota come funzionale. La nascita dei metodi agli elementi finiti che utilizzano tecniche basate su residuali pesati è abbastanza recente. Il metodo dei residuali pesati parte direttamente dalle equazioni differenziali che definiscono il fenomeno fisico, evitando così la ricerca di un sistema variazionale matematicamente equivalente. In genere si parte da una soluzione approssimata, e si sostituisce questa soluzione nell’equazione differenziale. Poiché la soluzione è, appunto, approssimata, quest’operazione produce un errore residuale R nell’equazione differenziale. Anche se non è possibile far sì che si annulli il termine residuale, è possibile tuttavia far diventare zero un integrale pesato del residuale. In altri termini, l’integrale, definito nel dominio della soluzione, del prodotto del termine residuale per una certa funzione peso W, viene posto uguale a zero. Quindi, I = ∫ RW dv = 0. Quest’equazione ci fornisce un metodo diretto per esprimere una soluzione approssimata in forma integrale da adoperare nelle soluzioni agli elementi finiti. L'intero sistema si comporta in un modo che si può descrivere con una funzione che raggiunge un valore minimo (o un massimo). Questa funzione è di solito un integrale che tiene conto delle condizioni al contorno di ciascun problema particolare. In generale se è la grandezza da determinare la funzione si esprime come dove le sono le derivate di f rispetto ai parametri di integrazione . Affinché il precedente integrale sia stazionario, dovrà annullarsi la sua variazione: Ciò implica il verificarsi dell'equazione di Eulero - Lagrange:

La soluzione del problema diretto geoelettrico con il metodo degli elementi finiti Nella prospezione geoelettrica in corrente continua, la funzione che deve raggiungere un valore stazionario (minimo, in questo caso) è l'energia del campo elettrico dissipata nell'unità di tempo: cioè l'energia del corpo sorgente. Questo è stato l’approccio usato da Coggon (1971). La distribuzione del potenziale quindi viene rappresentato mediante un campo numerico approssimato che rende minima l'energia totale mediante un'adeguata discretizzazione del problema. Quest'ultima si effettua rendendo finita la regione di integrazione, e dividendola in N parti o elementi. Le caratteristiche fisiche del mezzo si suppongono costanti in ciascun elemento. I problemi affrontati da Coggon (1971) e Bibby (1978) richiedono soltanto l'uso di due coordinate, perché il primo studia le strutture bidimensionali (sebbene le più frequenti siano tridimensionali) e il secondo si occupa delle strutture con simmetria assiale e, di conseguenza, considera elementi finiti bidimensionali. Si suppone che la variabile studiata S vari linearmente dentro ciascun elemento, e che sia rappresentata per valori (incognite) di nodi che, in generale, coincidono con i vertici degli elementi. Quest'ultima supposizione ci permette di esprimere il valore di W per ciascun elemento. Sommando i valori ottenuti per tutti gli elementi, si ottiene un'espressione approssimata per l'integrale W. Quest’espressione sarà funzione dei valori di S e pertanto assumerà la forma seguente: in cui sono i valori della grandezza S negli M nodi. La condizione del minimo è espressa dalle M equazioni I valori incogniti si determinano con la soluzione del sistema delle equazioni

Il metodo delle differenze finite e quello agli elementi finiti a confronto La possibilità di poter scegliere larghezze diverse per ogni maglia nel metodo degli elementi finiti permette di ottenere simultaneamente rappresentazioni dettagliate in alcune zone del modello, assieme a rappresentazioni meno dettagliate in altre zone laddove è minore l’interesse di dettaglio, ovvero il contenuto specifico d’informazione. Questo è possibile con la formulazione standard del metodo degli elementi finiti, mentre spesso sono necessari alcuni artifici per trasformare il reticolo ottenuto con il metodo delle differenze finite in maglie irregolari nello spazio. Quest’ultimo metodo, infatti, richiede di solito modifiche speciali per definire la posizione dei punti di una superficie di forma arbitraria. Le condizioni al contorno sono di solito facili da definire utilizzando il metodo degli elementi finiti, mentre il metodo delle differenze finite spesso richiede l’introduzione di regioni al contorno fittizie al fine di poter soddisfare le condizioni al contorno. Con il metodo standard degli elementi finiti i problemi di disomogeneità vengono trattati più facilmente. Al contrario, con il metodo delle differenze finite bisogna fare ricorso a condizioni particolari alle interfacce in presenza di variazioni repentine (altissimo gradiente) dei parametri in studio. L’errore nodale che si verifica con il metodo delle differenze finite può essere stimato accuratamente. Le condizioni di convergenza per il metodo degli elementi finiti non sono sempre chiare, anche se le principali sorgenti d’errore possono essere controllate facilmente. Quindi, in definitiva, il metodo degli elementi finiti sembra avere alcuni importanti vantaggi pratici nella risoluzione di problemi scientifici ed ingegneristici.

Modello inverso

Modellistica inversa di resistività Per risolvere il problema inverso la stessa regione è discretizzata in un certo numero di parametri m (di solito log resistività). I parametri possono corrispondere a singole celle o (di solito) a gruppi di celle. m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8

Per il problema inverso dobbiamo definire una funzione obiettivo da minimizzare Potremmo usare il misfit dei dati Fi(m) è la i-esima resistenza calcolata, di è la i-esima resistenza misurata, ei è l’errore della misura i, Wd è la matrice degli errori e, N è il numero di misure

m2 m1 La ricerca del minimo della funzione obiettivo può condurre a determinare il “miglior” set di parametri m Per problemi di resistività in CC questo va fatto in modo iterativo. Adotta una stima iniziale della resistività in tutte le celle 2. calcola la variazione di resistività necessaria in ogni cella. m2 3. Modifica la resistività di ogni cella modello iniziale 4. Se il livello di misfit non è accettabile,torna allo step 2. m1

Usare soltanto il misfit dei dati conduce però a un problema: di solito abbiamo un sistema che è contemporaneamente sovradeterminato - molte equazioni (misure) rispetto alle incognite (resistività delle celle) in certe parti del dominio sottodeterminato - troppe incognite (resistività delle celle) rispetto alle equazioni (misure) in certe altre parti del dominio Di conseguenza, la soluzione è molto sensibile agli errori nei dati e può dare distribuzioni di resistività irrealistiche.

Dobbiamo vincolare in qualche modo l’inversione in modo che abbia un senso (geofisico, idrologico o geologico) L’approccio più comune è quello di introdurre una funzione di penalità alla funzione obiettivo in modo che l’inversione non conduca a soluzioni diverse da quello che riteniamo accettabile, ad esempio: una soluzione “liscia” una soluzione vicina ad un modello che abbiamo in mente (informazione a priori)

Alla funzione di penalità si aggiunge quindi un termine che dipende solo dal modello Penalità per deviazione da un modello m0 Penalità per variabilità in direzione x ed y +

Avere a che fare con dati rumorosi I dati che si raccolgono e il modello diretto hanno errori. Questi devono essere stimati Le iterazioni del modello inverso si devono fermare una volta che il misfit dei dati è prossimo agli errori dei dati e del modello diretto.

Errori del modello diretto Definizione del problema P+ Elettrodo Schema ‘Skip 1’ usato: un dipolo-dipolo con spaziatura pari a due lunghezze di dipolo. Qui in totale: 405 misure P- 100 Wm Elevation (m) C+ C- P+ P+ P- P- Distance (m)

Errori del modello diretto Definizione del problema Nota: La mesh si estende anche a Dx, Sx e sotto per lasciare uscire la corrente. Mesh 1: Ogni elemento finito è 1 m x 1m, uguale alla spaziatura tra gli elettrodi 100 Wm Elevation (m) Errori: > 3% : 108 > 2% : 205 > 1% : 359 Distance (m)

Errori del modello diretto Definizione del problema Nota: La mesh si estende anche a Dx, Sx e sotto per lasciare uscire la corrente. Mesh 1: Ogni elemento finito è 0.5 m x 0.5 m, uguale a metà spaziatura tra gli elettrodi 100 Wm Elevation (m) Errori: > 3% : 11 > 2% : 34 > 1% : 138 Distance (m)

Errori del modello diretto Definizione del problema Nota: La mesh si estende anche a Dx, Sx e sotto per lasciare uscire la corrente. Mesh 1: Ogni elemento finito è 0.25 m x 0.25 m, uguale a un quarto della spaziatura tra gli elettrodi 100 Wm Elevation (m) Errori: > 3% : 4 > 2% : 8 > 1% : 54 Distance (m)

Dataset sintetico 100 Wm 10Wm Usando Mesh 3 Elettrodo Elevation (m) Distance (m)

Inversione di dati “senza errore” (ma l’errore nel modello diretto è del 2%) Resistività (Wm) Elevation (m) Distance (m)

Inversione di dati con errore aggiunto del 5% (ma assumendo un errore del 2%) Resistività (Wm) Elevation (m) Distance (m)

Inversione di dati con errore aggiunto del 10% (ma assumendo un errore del 2%) Resistività (Wm) Elevation (m) Nota cambiamento di scale Distance (m)

Inversione di dati con errore aggiunto del 10% (ma assumendo un errore del 20%) Resistività (Wm) Elevation (m) Distance (m)

Inversione di dati con errore aggiunto del 10% (ma assumendo un errore del 10%) Resistività (Wm) Elevation (m) Distance (m)

Che influenza hanno gli schemi di misura ?

Inversione di dati “senza errore” con Skip 7 (assumendo per l’inversione un errore del 2%) P+ C+ P+ P- C- P-

Inversione di dati “senza errore” con Skip 7 (assumendo per l’inversione un errore del 2%) Resistività(Wm) Elevation (m) Skip 1 Distance (m)

Inversione di dati “senza errore” con Skip 15 (assumendo per l’inversione un errore del 2%) C- C+ P- P+ P- P+

Inversione di dati “senza errore” con Skip 15 (assumendo per l’inversione un errore del 2%) Resistività (Wm) Elevation (m) Skip 1 Distance (m)

Inversione di dati “senza errore” con Skip 21 (assumendo per l’inversione un errore del 2%) C+ C- P+ P-

Inversione di dati “senza errore” con Skip 21 (assumendo per l’inversione un errore del 2%) Resistività (Wm) Elevation (m) Skip 1 Distance (m)

Distribuzione dei potenziali misurati (Assumendo una corrente di 50 mA – può essere più bassa !) Skip 1 Frequenza Voltaggio (mV)

Confronto dei diversi schemi di misura Il rapporto segnale/rumore Skip 1 Confronto dei diversi schemi di misura Il rapporto segnale/rumore cambia a scapito però della risoluzione. Skip 7 Skip 21

Che effetto ha la separazione tra i pozzi?

Inversione di dati “senza errore” con Skip 7 (assumendo per l’inversione un errore del 2%) spaziatura dei pozzi è ora 15 m Resistività (Wm) Elevation (m) distanza 8 m Una buona regola è che la separazione tra i pozzi deve essere meno del 75% della lunghezza delle stringhe di elettrodi, ovvero il fattore di forma della sezione non può eccedere 1.5 Distance (m)

Che effetto ha la regolarizzazione (penalità sulla “lisciatura”) ?

Inversione di dati “senza errore” con Skip 7 (ax= 20 x aY) Resistività (Wm) Elevation (m) ax= aY Distance (m)

Inversione di dati “senza errore” con Skip 7 (ax= 0.05 x aY) Resistività (Wm) Elevation (m) ax= aY Distance (m)

Come invertire dati che variano nel tempo ? Si può in teoria fare la differenza delle immagini di resistività… ma questo spesso non conduce a risultati soddisfacenti. Si possono combinare i dati in modo da ottenere inversioni dei rapporti o delle differenze.

Se si hanno due dataset dt e d0 possiamo calcolare un dataset dei rapporti come : ove shom è una conduttività omogenea arbitraria. L’immagine invertita mostrerà quindi i cambiamenti rispetto al background in termini di rapporti. Questo approccio del rapporto si usa comunemente in casi 2-D per rimuovere gli effetti 3-D che non sono tenuti in conto nel modello.

Linee guida in PRATICA

1. Guardare i dati Controllate se possibile le curve di corrente e potenziale nel tempo durante l’acquisizione. V tempo

spegnimento della corrente effetto di polarizzazione Misure sorgente di I differenza di potenziale V spegnimento della corrente potenziale effetto di polarizzazione tempo secondi÷minuti

Nella misure di resistività in corrente continua, la differenza di potenziale dovrebbe scendere a zero al cessare dell’inizione di corrente. +I Corrente -I Tempo (s) Vp +Vsp Voltaggio +V Vsp -V Tempo (s)

Polarizzazione indotta (IP) principi di misura In pratica, c’è un processo di accumulo e rilascio di cariche nel sistema. Questo forma la base delle misure di polarizzazione indotta nel dominio del tempo. Vs Vp t1 t2 +V Voltaggio Voltage -V Tempo (s) Time (s)

2. Stimare l’errore nei dati E’ necessario determinare gli errori nei dati di campo. La semplice ripetibilità delle misure non è garanzia. E’ necessario condurre misure reciproche per tutti i quadripoli. C- P- P- C- C+ P+ P+ C+

2. Stimare l’errore nei dati Se ci sono molte misure in cui la differenza tra misure dirette e reciproche sono sopra una certa soglia (p.es. 5%) allora probabilmente avete un serio problema nella misura. C- P- P- C- C+ P+ P+ C+

2. Stimare l’errore nei dati Altrimenti rimuovete tutte le misure con errore di reciprocità sopra soglia (p.es. 5%) e usate gli errori come pesi nell’inversione. C- P- P- C- C+ P+ P+ C+

2. Stimare l’errore nei dati Esempio di misure in un sito BUONO Frequenza % errore

3. Stimare l’errore del modello diretto Bisogna valutare la bontà del modello diretto e della corrispondente discretizzazione. Non ha senso invertire i dati all’1% di errore se il modello diretto ha un errore del 5%. Valutate anche con attenzione possibili effetti 3-D se lavorate in acquisizioni 2D.

4. Studiate diversi schemi di misura Non adottate sempre lo stesso schema “favorito” ma valutate attentamente vantaggi e svantaggi dei vari dispositivi per il problema specifico. Se possibile, fate almeno una prova con due o più schemi in modo da selezionare il migliore in termini di rapporto segnale/rumore e risoluzione ottenibile.

4. Studiate diversi schemi di misura Non esiste uno schema ottimale per l’ ERT in tutte le situazioni. Lo schema migliore dipende da: errori di misura (site specific), struttura di resistività (site specific), risoluzione richiesta (problem specific), velocità di acquisizione richiesta (problem specific)

Configurazioni elettrodiche e pseudosezioni

Configurazioni elettrodiche usate in tomografia elettrica

Per rappresentare graficamente i dati ottenuti attraverso un’indagine geoelettrica 2D, il metodo più semplice che viene spesso usato è quello della costruzione grafica della “pseudosezione”. La costruzione di pseudosezioni, è stata proposta per la prima volta da Hallof (1957), con l’utilizzo della configurazione lineare dipolo-dipolo per l’acquisizione delle misure di resistività apparente. L’ordine dipolare n (assunto come multiplo intero della distanza dei dipoli AB = MN) viene progressivamente incrementato, ottenendo valori di resistività relativi a volumi maggiori e sempre più estesi in profondità.

Sequenza di acquisizione e pseudosezione

Sequenza di acquisizione e pseudosezione

Pseudosezioni

Pseudosezioni

Pseudosezioni

I criteri per selezionare un array rispetto all’altro sono: profondità di penetrazione distribuzione della sensibilità ad anomalie verticali ed orizzontali copertura orizzontale ampiezza del segnale I primi due fattori si valutano tramite un’analisi di sensitività: questa si calcola come la variazione di resistenza misurata determinata dalla variazione di resistività in una regione del sottosuolo. La tecnica utilizzata per questo calcolo si calcola tramite la derivata di Frechét.

Sensitività: derivata di Frechet

Sensitività dei diversi array: derivata di Frechét (semispazio omogeneo...) Considera il caso di 1 elettrodo di corrente ed 1 elettrodo di potenziale, a distanza a. Iniettiamo una corrente unitaria in C1. Si supponga che la resistività nell’elemento infinitesimo dt venga variata di dr. La variazione del potenziale f misurato in P1 dovuto a dr è: f’ è il potenziale che risulterebbe nel semispazio se la corrente fosse iniettata in P1. Se il semispazio è omogeneo risulta: Da cui calcolando le derivate che formano i gradienti:

Sensitività dei diversi array: derivata di Frechét (semispazio omogeneo...) La derivata di Frechét tridimensionale è il termine sotto integrale, ovvero Questa è la funzione di sensitività per un array polo-polo. Per ottenere la funzione di sensitività per un array a quattro elettrodi è necessario solamente aggiungere algebricamente i contributi delle altre coppie di elettrodi.

Sensitività dei diversi array (semispazio omogeneo...)

Sensitività dei diversi array (semispazio omogeneo...)

Sensitività dei diversi array dipolo-dipolo

Sensitività dei diversi array wenner-schlumberger

Sensitività di misure multiple

Conclusioni sulle caratteristiche dei diversi array sulla base dei pattern di sensitività: l’array di Wenner ha una buona penetrazione, buona risoluzione verticale, ma scarsa risoluzione orizzontale; l’array dipolo-dipolo ha modesta penetrazione, bassa risoluzione verticale, ma buona risoluzione orizzontale; l’array di Schlumberger ha caratteristiche intermedie tra Wenner e dipolo-dipolo. Dal punto di vista dell’intensità del segnale: l’array di Wenner è il migliore l’array dipolo-dipolo è il peggiore

ESEMPI DI ERT DA SUPERFICIE

A pseudosection is built up using measured apparent resistivities Electrode Synthetic model Elevation (m) 100 Ohm-m 10 Ohm-m 10 Ohm-m Distance (m) 1 Survey level Wenner array pseudosection 3 5 7 Distance (m) Apparent resistivity (Ohm-m) 1 Survey level Dipole-dipole array pseudosection 3 5 Distance (m) Apparent resistivity (Ohm-m)

These data may be inverted (see later) to determine a resistivity image that is consistent with the data Electrode Elevation (m) Synthetic model 100 Ohm-m 10 Ohm-m 10 Ohm-m Distance (m) Wenner array model Elevation (m) Distance (m) Elevation (m) Dipole-dipole array model Distance (m) Resistivity (Ohm-m)

Apparent resistivity (Ohm-m) Note that the pseudosection doesn’t always show a structure that resembles the subsurface. Electrode 100 Ohm-m Elevation (m) Synthetic model 10 Ohm-m Distance (m) 1 Survey level 3 Wenner array pseudosection 5 7 Distance (m) Apparent resistivity (Ohm-m) Survey level 1 Dipole-dipole array pseudosection 3 5 Distance (m) Apparent resistivity (Ohm-m)

Note that the pseudosection doesn’t always show a structure that resembles the subsurface. Electrode 100 Ohm-m Elevation (m) Synthetic model 10 Ohm-m Distance (m) Elevation (m) Wenner array model Distance (m) Elevation (m) Dipole-dipole array model Distance (m) Resistivity (Ohm-m)

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie time-lapse

Esempi 2D ERT da superficie

Esempi 2D ERT da superficie

ESEMPI DI ERT DA SUPERFICIE (3D)

Esempi 3D ERT da superficie

Esempi 3D ERT da superficie

Esempi 3D ERT da superficie