successioni e limiti di successioni Bellavite Caterina & Salvati Federica

Esempio di Corrispondenza Univoca Dato un insieme A si ha una SUCCESSIONE quando tra gli elementi dell’ insieme dato e quelli dell’insieme dei numeri naturali (R) si ha una CORRISPONDENZA UNIVOCA, ovvero quando ad ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio. Esempio di Corrispondenza Univoca DOMINIO CODOMINIO

Come si definisce una successione, essendo infinita? D’ora in poi considereremo solo le successioni in cui il codominio è numerico… N A 1 2 3 4 n a[0] a[1] a[2] a[n] …e intendiamo con a[n] un elemento della successione. Come si definisce una successione, essendo infinita?

La definizione di successione può essere espressa in due modi differenti: Fornendo a[0], primo elemento della successione, e la legge che stabilisce il passaggio da un elemento al suo successivo. Fornendo la legge che ad ogni numero naturale associa il suo corrispondente Esempio 1 Esempio 2

ESEMPIO di successione 1 Consideriamo , in quanto è il primo elemento della successione e la legge si otterrà: e così per tutti gli infiniti elementi della successione

ESEMPIO di successione 2 Consideriamo la legge a[n]=3n si otterrà: a[0]=0 a[1]=3 a[2]=6 e così per tutti gli infiniti elementi della successione

Rappresentazione grafica Per rappresentare graficamente una successione si considera un PIANO CARTESIANO e si pongono i valori di N sull’asse delle ascisse e quelli di A sull’asse delle ordinate. I risultati ottenuti non devono essere uniti in quanto fra due numeri naturali successivi non ne è compreso un terzo.

Come si comporta la successione con N che tende all’infinito? A[n] tende all’infinito A[n] tende ad un numero Grafico 1 Grafico 3 Grafico 4 Grafico 2

Limite di a[n] è +infinito per n che tende all’infinito In questo caso anche gli elementi della successione tendono all’infinito e quindi il grafico si sposterà sempre, oltre che verso destra, verso l’alto.

Limite di a[n] è -infinito per n che tende all’infinito

Limite per n che tende all’infinito di a[n] è 3 In questo caso gli elementi della successione tendono ad un numero (3) e quindi tenderanno a raggiungerlo, (limite).

Limite per n che tende all’infinito di a[n] è 2

Ma che cos’è il limite di una successione? Occorre ora dare delle definizioni precise e non intuitive di limite. + Limite infinito - Limite finito Attenzione esistono successioni che non ammettono limite

Definizioni di limite infinito Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è + e si scrive se Nell’esempio se si fissa K uguale a 25 H che dipende da K sarà 6, fissando un “tetto” K maggiore, H dovrà essere maggiore. Dobbiamo essere in grado di superare un qualsiasi “tetto” K prefissato a patto di prendere H abbastanza grande.

Definizioni di limite infinito Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è - e si scrive se Nell’esempio se si fissa K uguale a 50 H che dipende da K sarà 8, fissando K maggiore, H dovrà essere maggiore. Dobbiamo essere in grado di oltrepassare un qualsiasi limite inferiore -K prefissato a patto di prendere H abbastanza grande.

Definizioni di limite finito Si dice che limite per n che tende all’infinito di a[n] è A (numero finito nell’esempio 2) e si scrive se Fissato un  piccolo a piacere è possibile trovare un numero H oltre il quale a[n] è sempre compreso tra A- e A+. Se ciò avviene a[n] si avvicina indefinitivamente (quanto vogliamo) ad A a patto di prendere n abbastanza grande. A+ A= A-

Successioni che non ammettono limite La successione oscilla tra -1 e 1 senza avvicinarsi a nessun numero in particolare

caso di limite infinito Un limite si può... caso di limite finito Dimostrare Calcolare caso di limite infinito Dimostrare il limite di una successione significa fare dei calcoli algebrici a partire dalla definizione per costatare che essa è vera. Questo modo di procedere non è però conveniente perché per poterlo applicare occorre conoscere il limite a priori. Calcolare il limite di una successione significa partire dalla legge iniziale e sommare, dividere, moltiplicare o sottrarre i limiti dei singoli elementi fino ad ottenere il limite complessivo.

ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE FINITO Vogliamo dimostrare che Si deve di verificare che: Si tratta di trovare la funzione che a un generico  fa corrispondere un opportuno H in modo che per ogni n>H si abbia: , osservato che quest’ultima equivale a e cioè al sistema pertanto H() Sempre verificata

ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE NEL CASO DI LIMITE INFINITO Vogliamo dimostrare che Si deve di verificare che: Si tratta di trovare la funzione che a un generico K fa corrispondere un opportuno H in modo che per ogni n>H si abbia: verificata per o Ininfluente perché n tende a + H(k) (approssimato all’intero appena maggiore)

Calcolo dei limiti 1 teorema Esempio di calcolo 2 teorema 3 teorema I limiti possono anche essere calcolati grazie a tre teoremi che si riferiscono alle diverse operazioni che possono essere coinvolte 1 teorema Esempio di calcolo 2 teorema 3 teorema

Lim ( a[n]+b[n] ) = +(-) Teorema 1 Il limite della somma è generalmente uguale alla somma dei limiti Lim a[n]=A Lim b[n]=B Lim ( a[n]+b[n] ) = A+B Lim a[n]=+(-) Lim b[n]=+(-)  Lim ( a[n]+b[n] ) = +(-) Lim a[n]=+(-) Lim b[n]=-(+)  indecisione ?

Teorema 2 Il limite del prodotto è generalmente uguale al prodotto dei limiti (si segue la regola dei segni) Lim a[n]=A Lim b[n]=B Lim ( a[n]*b[n] ) = A*B Lim a[n]=+(-) Lim b[n]=+(-)  o A Lim ( a[n]*b[n] ) = +inf Lim a[n]=+(-) Lim b[n]=-(+) Lim ( a[n]*b[n] ) = -inf Lim a[n]=+(-) Lim b[n]=0 indecisione ?

Lim a[n] Lim b[n] Lim a[n]/b[n] Teorema 3 Il limite del quoziente è generalmente uguale al rapporto tra i limiti Lim a[n] Lim b[n] Lim a[n]/b[n] A B  0 A/B A0 0  ? 0  0 indecisione   indecisione ?   0  A  0

FORME DI INDECISIONE Capita, durante il calcolo dei limiti, di trovarsi di fronte a dei casi di INDECISIONE. Casi cioè in cui è inizialmente impossibile dare una soluzione. In questi casi, con opportuni accorgimenti di calcolo e semplificazioni, si modifica l’argomento del limite in modo da ottenere forme più semplici ed immediatamente risolvibili per mezzo dei teoremi.

ESEMPIO DI CALCOLO DI LIMITE TEOREMA 3 TEOREMA 4 ok TEOREMA 3 TEOREMA 1