Lezione 7 i Test statistici

Nella parte 1 … test sull’ipotesi principale H0: prestazioni del criterio decisionale rischio di errore di 1 specie; fiducia del criterio decisionale significatività del test

parte 2 i test sulla media: H0 e H1

formulazione di test con H0 e H1 sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2. costruzione della variabile casuale X 3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ; 4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ; 5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6. definizione della affidabilità richiesta ; 7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8. determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio e si aumenta la numerosità del campione ;

formulazione di test con H0 e H1 sulla media 3. si individua l’ipotesi H0 (ipotesi principale) che deve essere sottoposta a test. esempio: H0 : m = m0 ; oppure: H0 : m ³ m0 ; 4. si definisce, in contrasto alla ipotesi principale, una (o più di una) “ipotesi alternativa” H1 (, H2 ); esempio: H1 : m ³ m1 ; oppure: H1 : m = m1 ;

formulazione di test con H0 e H1 sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2. costruzione della variabile casuale X 3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ; 4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ; 5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6. definizione della affidabilità richiesta ; 7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8. determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio e si aumenta la numerosità del campione ;

formulazione di test con H0 e H1 sulla media 5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la varianza s2 è nota e se il campione è numeroso (n > 30) si possono usare indifferentemente: - la media campionaria che ha distribuzione normale con media m e varianza s2 / n; - la variabile che ha distribuzione normale standard.

formulazione di test con H0 e H1 sulla media 5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la distribuzione è normale e la varianza s2 è incognita si usa: - la variabile che ha distribuzione t di Student con n - 1 g.d.l. se il campione è numeroso ( n > 30) la T può essere approssimata con la: che ha distribuzione normale standard

formulazione di test con H0 e H1 sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2. costruzione della variabile casuale X 3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ; 4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ; 5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6. definizione della affidabilità richiesta ; 7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8. determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio e si aumenta la numerosità del campione ;

formulazione di test con H0 e H1 sulla media 6. si stabiliscono i valori a del rischio di errore di 1ª specie che si è disposti a correre e 1 - a del livello di fiducia richiesto. criterio di scelta: la scelta del valore di rischio accettabile richiede considerazioni di vario tipo, non solamente tecniche ma, molto spesso, economiche, di politica aziendale, di immagine, ecc. La probabilità a di commettere un errore di 1ª specie viene chiamata “livello di significatività” al quale si intende condurre il test.

formulazione di test con H0 e H1 sulla media 6. si stabiliscono i valori a del rischio di errore di 1ª specie che si è disposti a correre e 1 - a del livello di fiducia richiesto.

formulazione di test con H0 e H1 sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2. costruzione della variabile casuale X 3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ; 4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ; 5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6. definizione della affidabilità richiesta ; 7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8. determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio e si aumenta la numerosità del campione ;

formulazione di test con H0 e H1 sulla media 7. si stabilisce il valore minimo accettabile della potenza contro l’ipotesi alternativa che si vuole contrapporre alla ipotesi fondamentale (nel caso di più ipotesi alternative si stabilisce la potenza contro ciascuna di esse). Questa scelta equivale a fissare il massimo valore b del rischio di errore di 2ª specie che si intende accettare nella conduzione del test. Il valore b del rischio di errore di 2ª specie risulta funzione: della differenza fra le due ipotesi H0 e H1, di a (valore del rischio di errore di 1ª specie) della numerosità del campione su cui è stato condotto il test.

formulazione di test con H0 e H1 sulla media 7. si stabilisce il valore minimo accettabile della potenza contro l’ipotesi alternativa che si vuole contrapporre alla ipotesi fondamentale (nel caso di più ipotesi alternative si stabilisce la potenza contro ciascuna di esse). Questa scelta equivale a fissare il massimo valore b del rischio di errore di 2ª specie che si intende accettare nella conduzione del test.

formulazione di test con H0 e H1 sulla media 7. aumentare la numerosità del campione provoca una riduzione della varianza dello stimatore media campionaria che consente di aumentare la potenza del test senza diminuire la sua affidabilità.

formulazione di test con H0 e H1 sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2. costruzione della variabile casuale X 3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ; 4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ; 5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6. definizione della affidabilità richiesta ; 7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8. determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio e si aumenta la numerosità del campione ;

formulazione di test con H0 e H1 sulla media 8. in base a ciò che si è stabilito nei punti precedenti, si identifica il valore critico (o la coppia di valori critici) del parametro campionario che individua nel dominio la “regione di rifiuto” dell’ipotesi principale H0

formulazione di test con H0 e H1 sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2. costruzione della variabile casuale X 3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ; 4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ; 5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6. definizione della affidabilità richiesta ; 7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8. determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio e si aumenta la numerosità del campione ;

formulazione di test con H0 e H1 sulla media 9. si stimano quindi i valori del rischio di errore di seconda specie a cui il test verrà condotto e, se tali valori non rispettano le scelta fatte per la potenza del test si modificano i parametri del test da cui tale rischio dipende (in particolare la numerosità minima del campione. )

Significato della “potenza contro H1” regione di rifiuto per H0 regione di non accettazione per H1 100

Significato della “potenza contro H1” regione di rifiuto per H0 regione di esclusione per H1

conduzione di test con H0 e H1 sulla media 10. dopo aver formulato il test: - si procede alla composizione del campione con numerosità pari a quella stabilita, - si conducono le prove sperimentali, - si determina il valore dello stimatore campionario precelto,

conduzione di test con H0 e H1 sulla media 10. se la stima cade nella regione di rifiuto si respinge l’ipotesi principale H0 con un rischio pari ad a di commettere un errore: - il valore 1 - b della probabilità di non accettare le ipotesi alternative H1 quando esse sono realmente false viene detto: “ potenza del test ”

la determinazione di a e b usando la variabile casuale Xn

la determinazione di a e b con Xn Per meglio comprendere il significato ed il metodo di calcolo del rischio di errore di seconda specie esaminiamo il caso di una ipotesi fondamentale H0 e di due ipotesi alternative: H1 e H2 H0 : m = m0 ; H1 : m = m1 ; H2 : m = m2 con m2 < m0 < m1 Come è semplice notare le tre ipotesi sono formalmente identiche: in tutti i casi si ipotizza che la media della variabile casuale X possa assumere un prestabilito valore. Come vedremo fra poco, però, l’ipotesi fondamentale H0 viene trattata in maniera ben diversa dalle due ipotesi alternative H1 e H2

la determinazione di a e b con Xn La figura mostra la distribuzione della media campionaria nel caso in cui l’ipotesi fondamentale H0 : m = m0 sia vera: Le due regioni “campite” (cioè colorate) in giallo individuano la regione di rifiuto per H0 :

la determinazione di a e b con Xn Se lo stimatore campionario risulta oppure se risulta rifiuteremo l’ipotesi principale H0

la determinazione di a e b con Xn Se lo stimatore campionario risulta oppure se risulta rifiuteremo l’ipotesi principale H0 Sappiamo però che, qualora H0 sia vera, c’è una probabilità pari ad a/2 che lo stimatore campionario risulti per effetto del caso con cui si estrae il campione dalla popolazione (regione 1).

la determinazione di a e b con Xn Se lo stimatore campionario risulta oppure se risulta rifiuteremo l’ipotesi principale H0 Analogamente sappiamo che, con H0 vera, c’è una probabilità pari ad a/2 che lo stimatore campionario risulti per effetto del caso con cui si estrae il campione dalla popolazione (regione 2).

la determinazione di a e b con Xn Se lo stimatore campionario risulta il test non fornisce informazioni tali da consentirci di rifiutare H0 Chiediamoci però, nel caso in cui H0 sia falsa ed H1 sia vera, quale sia la probabilità di trovare un valore dello stimatore compreso nell’intervallo a causa della aleatorietà con cui si estrae il campione.

la determinazione di a e b con Xn La regione 3 campita in viola rappresenta la probabilità che, malgrado sia vera l’ipotesi alternativa H1 : m = m1 , il valore della media campionaria risulti .

la determinazione di a e b con Xn E’ evidente che, anche se l’ipotesi fondamentale H0 : m = m0 e l’ipotesi alternativa H1 : m = m1 sono espresse nella stessa forma, lo studio che si conduce è diverso tra l’una e l’altra.

la determinazione di a e b con Xn Un analogo ragionamento viene poi condotto in relazione alla seconda ipotesi alternativa: H2 : m = m2 Chiediamoci, nel caso in cui H0 sia falsa ed H2 sia vera, quale sia la probabilità di trovare un valore dello stimatore compreso nell’intervallo a causa della aleatorietà con cui si estrae il campione.

la determinazione di a e b con Xn Un analogo ragionamento viene poi condotto in relazione alla seconda ipotesi alternativa: H2 : m = m2 La regione 4 campita in viola nella figura successiva rappresenta la probabilità che, malgrado sia vera l’ipotesi alternativa H2 : m = m2 , il valore della media campionaria risulti

la distribuzione di Xn per H0, H1, H2 se H0 : m = m0 vera se H1 : m = m1 vera se H2 : m = m2 vera

la determinazione di a e b usando la variabile casuale T

la determinazione di a e b con T se H0 : m = m0 vera se H1 : m = m1 vera

la determinazione di a e b con T Facciamo due considerazioni generali: 1) dal valore di a desiderato si ricava il valore critico T0c dal valore critico T0c si ricava il corrispondente valore critico per la media campionaria: 0,05 -1,753 1,753 che individua la regione di rifiuto della H0

la determinazione di a e b con T La seconda considerazione generale è la seguente: 2) il valore assunto da T per uno stesso valore della media campionaria dipende dal valore ipotizzato per la media della popolazione.

la determinazione di a e b con T di conseguenza: il valore critico assunto da T in corrispondenza del valore critico per la media campionaria dipende dal valore ipotizzato per la media della popolazione.

la determinazione di a e b con T di conseguenza: il valore assunto da T in corrispondenza del valore critico per la media campionaria dipende dal valore ipotizzato per la media della popolazione.

la determinazione di a e b con T dato che : possiamo anche scrivere:

la determinazione di a e b con T dal valore che si è stabilito di poter accettare per il rischio di errore di prima specie: 0,05 -1,753 - 2,387 0,015 0,05 1,753

la determinazione di a e b con Z dato che : possiamo anche scrivere:

5° test sulla media: H0 con H1 varianza nota, rischio di errore di seconda specie b

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) Si è riprogettato un OpAmp in produzione da tempo e si è realizzata una preserie del nuovo dispositivo. Ci si interroga sulla possibilità che il valore tipico della corrente di offset sia passato dai 50 nA del “vecchio” progetto a meno di 40 nA.

formulazione del test per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2. costruzione della variabile casuale X 3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ; 4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ; 5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6. definizione della affidabilità richiesta ; 7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8. determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio e si aumenta la numerosità del campione ;

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) Stabiliamo di operare con un campione di 36 amplificatori. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento della popolazione misurata in nA. La varianza s2 della X per l’intera popolazione si suppone nota: s2 = 225 3. H0 : m < m0 = 40 ; 4. H1 : m = m1 = 50 ; 5. scegliamo come variabile campionaria la media campionaria che, se n è sufficientemente elevato, segue la distribuzione normale con varianza pari a s2 / n;

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) 6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: a = 0,10 ( che comporta un “livello di fiducia” del 90% );; 7. stabiliamo un valore richiesto della potenza non inferiore a 99% ; 8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria che individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di a prestabilito (0,10); 0,10

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) abbiamo utilizzato la distribuzione a una coda in quanto l’ipotesi principale viene rigettata solo se la media è maggiore di m0 ; 0,10

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) regione di rifiuto di H0 : 0,10

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) regione di rifiuto di H0 : quale è il valore del rischio di errore di II specie b determinato da H1 : m = m1 = 50

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) regione di rifiuto di H0 : rischio di errore di II specie b : 0,003 potenza contro H1 : 99,7% 0,003

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) riassumendo: regione di rifiuto di H0 : rischio di errore di I specie a : 0,10 rischio di errore di II specie b : 0,003 0,003 0,10

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) riassumendo: regione di rifiuto di H0 : rischio di errore di I specie a : 0,10 rischio di errore di II specie b : 0,003 0,10 0,003

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) non cade nella regione di rifiuto di H0 : 0,10 0,003

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) non cade nella regione di rifiuto di H0 : devo non rifiutare l’ipotesi principale: H0 : m £ 40,0 ; 0,10 0,003

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) non cade nella regione di rifiuto di H0 : devo non rifiutare l’ipotesi principale: H0 : m £ 40,0 ; il test ha un livello di fiducia del 90% per H0 0,10 0,003

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) non cade nella regione di rifiuto di H0 : devo non rifiutare l’ipotesi principale: H0 : m £ 40,0 ; il test ha un livello di fiducia del 90% per H0 ed una potenza del 99,7% nei confronti di H1 0,10 0,003

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) non cade nella regione di rifiuto di H0 : devo non rifiutare l’ipotesi principale: H0 : m £ 40,0 ; il test ha un livello di fiducia del 90% per H0 ed una potenza del 99,7% nei confronti di H1 0,10 0,003 Ripetiamo il test imponendo un livello di fiducia più alto per esaminare le conseguenze di questa scelta.

6° test sulla media: H0 con H1 varianza nota, rischio di errore di seconda specie b

formulazione del test per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2. costruzione della variabile casuale X 3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ; 4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ; 5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ; 6. definizione della affidabilità richiesta ; 7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8. determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio e si aumenta la numerosità del campione ;

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) Stabiliamo di operare con un campione di 36 amplificatori. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento della popolazione misurata in nA. La varianza s2 della X per l’intera popolazione si suppone nota: s2 = 225 3. H0 : m < m0 = 40 ; 4. H1 : m = m1 = 50 ; 5. scegliamo come variabile campionaria la media campionaria che, se n è sufficientemente elevato, segue la distribuzione normale con varianza pari a s2 / n;

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) 6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: a = 0,05 ( che comporta un “livello di fiducia” del 95% ); 7. stabiliamo un valore richiesto della potenza non inferiore a 99% ; 8. calcoliamo il valore critico della statistica campionaria che individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di a prestabilito (0,05); 0,05

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) abbiamo utilizzato la distribuzione a una coda in quanto l’ipotesi principale viene rigettata solo se la media è maggiore di m0 ; 0,05

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) regione di rifiuto di H0 : 0,05

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) regione di rifiuto di H0 : quale è il valore del rischio di errore di II specie b determinato da H1 : m = m1 = 50

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) regione di rifiuto di H0 : rischio di errore di II specie b : 0,0093 potenza contro H1 : 99,07% 0,0093

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) riassumendo: regione di rifiuto di H0 : rischio di errore di I specie a : 0,05 rischio di errore di II specie b : 0,0093 0,0093 0,05

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) aver voluto portare il livello di fiducia del test dal 90% al 95% per H0, senza cambiare il numero di elementi del campione, ha fatto diminuire la potenza nei confronti di H1 ed aumentare il rischio b di errore di II specie fino a sfiorare il limite prefissato!!! 0,05 0,0093

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota) se invece aumentassi da 36 a 45 il numero degli elementi del campione potrei portare il livello di fiducia del test al 95% per H0 senza diminuire la potenza nei confronti di H1 : il rischio b di errore di II specie scenderebbe a meno di 0,0025 0,05 0,0093 0,05 0,0023

7° test sulla media varianza incognita variabile T di Student rischio di errore di seconda specie b

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) In base alla scheda tecnica del costruttore, l’induttore HQL ha un valore del fattore di merito Q maggiore di 75 (valore tipico). Un altro costruttore afferma che tale valore non è raggiunto e sostiene che il valore tipico dell’HQL prodotto dal suo concorrente è uguale a quello tipico del modello “TL” da lui prodotto (Q = 60). Dato che l’induttore “HQL” ha un prezzo di acquisto maggiore del “TL”, si desidera verificare l’ipotesi che il valore tipico del fattore di merito Q dell’induttore “HQL” sia effettivamente “maggiore o uguale” di 75 contro l’ipotesi che sia uguale a 60. Tramite un “”acquirente non conosciuto dal venditore” (per non ricevere un campione selezionato ad hoc) si acquista un lotto di induttori modello “HQL” per procedere ad un test di ipotesi sulla media.

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) 1. costruiamo la variabile casuale X il cui valore coincide con quello del fattore Q degli induttori Mod. HQL 2. H0 : m > m0 = 75 ; 3. H1 : m = m1 = 60 ; 4. dato che s2 è incognita si ricorre alla statistica che segue la distribuzione t di Student con n -1 gradi di libertà;

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) 5. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: a = 0,05 ( che comporta un “livello di fiducia” del 95% ); 6. stabiliamo di operare con un campione di 16 induttori HQL ; 7. fissiamo il livello accettabile per b < 2%; 8. il nostro scopo è quello di individuare il valore critico della statistica campionaria che individua la regione di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di a che è stato prestabilito (0,05); per fare ciò utilizzeremo la t di Student “ad una coda” in quanto l’ipotesi principale (H0 : m > m0 = 75) è falsa solamente se la media della popolazione risulta minore di m0

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) individuiamo, dai dati del problema, il valore critico della T: n = 16 ; g.d.l. = 15 a = 0,05 ; distribuzione ad una coda ( inferiore ) dalle tabelle si ricava:

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) valore critico : regione di rifiuto di H0 : 0,05 -1,753

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) 9. composto il campione si misura il valore del fattore di merito Q degli induttori “Mod. HQL” - si calcolano poi i valori degli stimatori campionari :

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) 9. composto il campione si misura il valore del fattore di merito Q degli induttori “Mod. HQL” - si calcolano poi i valori degli stimatori campionari : 3,247

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) -1,753 3,247 0,05 < 0,005

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) riassumendo: regione di rifiuto di H0 : regione di non accettazione di H1 : rischio di errore di I specie a : 0,05 rischio di errore di II specie b : < 0,005 -1,753 3,247 < 0,005

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) riassumendo: regione di rifiuto di H0 : regione di non accettazione di H1 : rischio di errore di I specie a : 0,05 rischio di errore di II specie b : < 0,005 determiniamo infine il valore assunto dalla variabile T0 in corrispondenza dei valori degli stimatori media campionaria e varianza campionaria corretta:

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) regione di rifiuto di H0 : regione di non accettazione di H1 : rischio di errore di I specie a : 0,05 rischio di errore di II specie b : < 0,005 -1,753 3,247 < 0,005

Test di ipotesi sulla media ( s2 incognita ) non cade nella regione di rifiuto di H0 : devo quindi astenermi dal rifiutare l’ipotesi principale: H0 : m ³ 75 ; il test ha un livello di significatività del 5% per H0 ed una potenza superiore al 99,5% nei confronti di H1 -1,753 3,247 < 0,005