Obiettivi Conoscere strumento Analisi di un progetto della Fuzzy Logica Analisi di un progetto

Argomenti, obiettivi Antefatto: contraddizioni logica classica Inquadramento storico Sistemi Fuzzy Settori (Fisica / Aerodinamica) nei quali tale strumento può essere applicato con successo Rivedere concetti fondamentali alla base di questo metodo

Cosa non è e cosa è la Logica Fuzzy La Logica Fuzzy non si pone l’obiettivo di modificare: Il modo di ragionare di un uomo la metodologia usata da un uomo per - affrontare un problema - per prendere delle decisioni La Logica Fuzzy si pone l’obiettivo di trovare : un metodo semplice e funzionale per codificare(tradurre in un codice utilizzabile da una macchina) il modo di ragionare di un uomo. un metodo per codificare la conoscenza, un metodo per catturare l’esperienza Cosa non è e cosa è la Logica Fuzzy

Il concetto di verità nella Logica Aristotelica Verità logica: gli enunciati che descrivono relazioni logiche o matematiche, come 6-3=3 (vero) 8*5=6 (non vero) sono vere o falso in ogni contesto Verità fattuali: enunciati che descrivono fatti o eventi possibili si deve azionare il postbruciatore fa freddo sono vere o false a seconda dei casi

La natura delle cose è molto più Verità fattuali La natura delle cose è molto più complessa - cosa è una montagna? Cos’è una collina? esiste un passaggio brusco da collina a montagna? L’evento misurato è una temperatura? Che “peso” ha la temperatura nel modello matematico che descrive il sistema?

Fuzzy Sets L.A. Zadeh (1965), Dep. Of Ingeneering and Electronics Research Laboratory - Berkeley Teoria classica Teoria fuzzy 1 X appartiene ad A f(x)=1 X Il grado di appartenenza Di x ad A è definito da una membership function fA(x)= numero reale [0,1] X non appartiene ad A f(x)=0 X

Granularizzazione delle variabili nella logica fuzzy

Osservazione

Ragionamenti basati sulla logica Ogni ragionamento prevede delle relazioni logiche, “regole”, costituite da: una premessa e una conclusione(conseguenza) la premessa di una regola è un enunciato,proposizione (semplice o composta) - definisce le condizioni in cui la conclusione deve essere applicata la conclusione (conseguenza) di una regola - definisce l’azione che deve essere attivata quando la condizione della premessa è verificata

I ragionamenti nelle due logiche

Logica aristotelica: esempio nella matematica Se la premessa è vera allora La conclusione (conseguenza) è attivata Se la premessa non è vera allora La conclusione (conseguenza) non è attivata Esempio: EQ. di II° grado Se il Δ > 0 allora abbiamo 2 sol. reali distinte Se il Δ = 0 allora abbiamo 2 sol. reali coincidenti Se il Δ < 0 allora abbiamo 2 sol. complesse coniugate X1, x2 X1= x2 X1 =a+ib X2=a-ib

I ragionamenti nel mondo reale Tutta la nostra vita si basa su decisioni, azioni legate a dei ragionamenti(consci o inconsci) Nel mondo reale gli enunciati che definiscono le premesse sono sempre o veri o falsi ? - Se è caldo accendo il condizionatore. Ma… Cosa vuol dire è caldo ? Ha senso introdurre una soglia per decidere se è caldo ? Non è forse più sensato attivare il condizionatore proporzionalmente alla sensazione di caldo che proviamo. Detto in modo Fuzzy proporzionalmente a quanto è vera (al grado di verità) la proposizione è caldo. Si intuisce allora l’opportunità di implementare sulle macchine un “modus operandi” più simile a quello umano. Per far ciò dobbiamo rendere fuzzy i concetti su cui si basano il loro modo di ragionare. I ragionamenti nel mondo reale

Un altro confronto Logica binaria 1 L M H V Logica fuzzy 1 L M H V If (V is L) then If (V is M) then If (V is H) then Cons.H Cons. L 1 L M H Cons.M V 49.9 50.1 Logica fuzzy If (V is L) then If (V is M) then If (V is H) then Cons.H Cons. L, M 1 L M H V 51.1

TROVARE UNA RELAZIONE TRA INGRESSO E USCITA Punto di partenza: osservare che nel mondo reale, i processi decisionali, o ragionamenti, hanno sempre lo stesso obiettivo: TROVARE UNA RELAZIONE TRA INGRESSO E USCITA Per un fisico equivale a trovare un modello In generale, il processo decisionale che ci porta a prendere ogni decisione. Es. se “fa freddo” allora mi copro. ma QUANTO freddo io stia provando è soggettivo, e “come” mi coprirò è strettamente legato all’ingresso, ossia alla percezione. L’uscita sarà quindi proporzionale al grado di verità dell’affermazione in ingresso

L’algoritmo Fuzzy Input OUTPUT L’algoritmo descrive come rendere computabile un ragionamento basato su un set di regole Fuzzy Fenomeno reale OBIETTIVO: Individuare le variabili che lo regolano Stabilire relazione I/O Input Relazioni deterministiche di tipo If…Then OUTPUT

Come costruire l’Algoritmo Fuzzy ? Definire gli insiemi Fuzzy delle variabili di ingresso e uscita (granularizzazione delle variabili) Definire le regole che correlano le variabili di ingresso e uscita (IF ..THEN… rules) Precisare come calcolare : - il grado di verità della premessa di ogni regola; - l’inferenza delle singole regole - il contributo di tutte le regole

Come calcolare il grado di verità (Θ) della Premessa La premessa di una regola (If Premessa THEN Conseguenza) può essere una proposizione semplice (x is L) Composta (x is L) and (y is M) (x is L) or (y is M)

Calcolo del grado di verità (Θ) della premessa (secondo Zadeh) Proposizione semplice x is L Θ= αL = 0.6 x is M Θ= αM = 0.4 Proposizione composta (x is L) and (y is H) Θ = min (αL , αH ) = 0.4 (x is L) or (y is H) Θ = max (αL , αH ) = 0.6 1 0.6 L M H 0.4 V X 1 L M H 0.4 V X 1 0.6 L M H V Y

Inferenza di un sistema fuzzy (Aggregazione di tre regole)

Il ragionamento fuzzy si basa su: Uso di variabili linguistiche: variabili che utilizzano parole( aggettivi descritti da insiemi fuzzy) al posto dei numeri Uso di regole fuzzy: IF premise THEN conclusion Aggregazione dei contributi delle regole (inferenza) Se richiesta, defuzzificazione

Conclusioni Metodo tradizionale, logica aristotelica Ragionamento fuzzy, logica fuzzy Variabili numeriche Relazioni matematiche (esigenza di un modello) -La conseguenza di una relazione logica è o non è attivata, nella misura in cui la premessa è o non è vera variabili linguistiche regole fuzzy (conoscenza tramite esperto) -la conseguenza di una regola è attivata proporzionalmente al grado di verità della premessa SEMPLICE E FUNZIONALE RIGOROSO MA COMPLESSO

Esempi Pendolo inverso Approssimazione di funzioni (modello “fuzzy”)

Pendolo Inverso La soluzione classica richiede una equazione differenziale del 4° ordine Sono state pubblicate diverse soluzioni fuzzy che richiedono da 9 a 15 regole coinvolgendo θ e dθ/dt 2L θ

Pendolo Inverso con liquido (Yamakawa) θ2 θ1 m v M Y

Confronto tra le regolazioni

Risultati indipendentemente - dalla quantità di liquido contenuto Il bicchiere è stabilizzato indipendentemente - dalla quantità di liquido contenuto - dalla lunghezza del supporto (2L) Le regole non cambiano al variare di m, r, L ed h θ1 2L θ2 m v M Y

Il controllo fuzzy è model-free La presenza del liquido nel bicchiere può essere modellizzata Il topo si muove a caso e non può essere modellizzato IL SISTEMA E’ COMUNQUE STABILE

Approssimazione di funzioni Approccio classico Ricerca di un MODELLO, ovvero di un funzione di una relazione matematica del tipo Y = f(X)

Approccio fuzzy Scrive le regole: IF (x is L) THEN (y is L) IF (x is M) THEN (y is M) IF (x is H) THEN (y is L) H

Gradi di verità