“Su alcuni problemi nella Teoria dei Linguaggi Formali” Unita’ di Salerno Marcella Anselmo Clelia De Felice Rosalba Zizza

Splicing Systems

Proposition [Bonizzoni, cdf, Mauri, Zizza 2002] Let L be a regular language, t  N, mi = wi [xi] be a constant class, with [xi] being a simple or finite class, i  {1, ..., t}. Let L(mi)={y  L | y=y’1 m y’2, y’1 , y’2 A*, m  mi } Then, the language L’ = L(mi) is a finite splicing language. Head, Goode, Pixton 2002 (?)

Codici (teoria classica)

DEFINITIONS C  A* code   c1 , c2 , ..., ck , c’1 , c’2 , ..., ch  C [ c1 c2 ... ck= c’1 c’2 ... c’h  h=k, i ci = c’i ] (Finite codes) C  A* prefix code  C  C A+ =  C  A* maximal code over A  (C’ code, C  C’  C = C’ )

Conjecture 1 (Schützenberger) Conjecture 1 (Schützenberger). Every finite maximal code can be obtained by composition of prefix and suffix codes. (FALSE) (Cèsari 1974, Boë 1978, Vincent 1985) Conjecture 2 Every factorizing code can be obtained by substitution of prefix and suffix codes.

ai bz  C i<n ; ybaj  C j <n. RESULTS [cdf, MFCS 00, IC 01] Counterexamples to Conjecture 1 (Cèsari 1974, Boë 1978, Vincent 1985) can be obtained by substitution of prefix and suffix codes. Proposition 1 Conjecture 2 is true for C=P(A-1)(1+w), w  A* Proposition 2 C factorizing code, an  C, n >1 such that ai bz  C i<n ; ybaj  C j <n.  C can be obtained by substitution of factorizing codes C(h) with ak  C(h) , k < n. Proposition 3 C=P(A-1)S+1 maximal code, PZ<a>, S Z<A>. C can be obtained by substitution of prefix and suffix codes

Proposition 4 [cdf 02] The relation C=(a{0,2,4} + a{0,2,4}ba{0,7,9,11} ) (a+b-1) (a{0,1,6,7} + a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}ba19 ) + 1 defines a 3-code C which cannot be obtained by substitution (with other codes).

 n N ,  a factorizing code C with C1  an = C  (a*ba*  an) [cdf 02] Characterization of subsets C1  a*ba* such that  n N ,  a factorizing code C with C1  an = C  (a*ba*  an) Corollary [cdf 02] Given X  a*ba* we can decide whether  a factorizing code C such that X  C.

C1 = Proposition 5 [cdf IJAC 99] Let C1 be a subset of a*ba* which satisfies inequalities C1 = aI baJ +  ai baLi (a-1) aJ +  aMj (a-1) aI b aj  0 iI’ jJ’ aI aJ = (an-1) / (a-1) Then, there exists an arrangement of C1 over a matrix C1 = such that, for any row Tp and any column Rq , (Tp, Rq) is a Hajós factorization of Zn having (I,J) as a Krasner companion factorization.

Equazioni tra linguaggi

Equazione di coniugazione XZ=ZY per linguaggi X,Y,Z. Problema 1: Dato Z, caratterizzare (X,Y) tali che XZ=ZY Problema 2: Data (X,Y), caratterizzare Z tale che XZ=ZY Generalizzazione della equazione di commutazione XZ=ZX tra linguaggi (risolta per |X|=2 e per X prefisso [ Choffut, Karhumaki, Ollinger 1999; Ratoandramanana 1989] ). Estensione ai linguaggi della equazione di coniugazione tra parole xz=zy.

[Cassaigne, Karhumaki, Manuch 2001] RISULTATI NOTI [Cassaigne, Karhumaki, Manuch 2001] x z X,Y overlapping y z’ Z biprefisso x z X,Y non overlapping z’ y Caratterizzazione di (X,Y) tali che XZ=ZY con: Z biprefisso e |Z|=2 Z biprefisso, con soluzioni non overlapping Caratterizzazione di Z tale che XZ=ZY con |X|=|Y|=2

OPEN: XZ=ZY, Z biprefisso, X,Y overlapping CONTRIBUTI [cdf, Zizza 02] y z’ Z uniforme  X=Y  i, wZ t.c. |w|=i  X=Y XZ = ZX risolta per Z prefisso [Choffut, Karhumaki, Ollinger 1999; Ratoandramanana 1989]

Codici (teoria non classica)

Decifrabilita’ di codici UD (unica decodifica di concatenazione di parole di codice) MSD (unica decodifica a meno di una permutazione delle parole di codice) SD (unica decodifica sullo stesso insieme delle parole di codice) UD  MSD  SD Ogni UD soddisfa la disuguaglianza di Kraft-McMillan. Esistono MSD che non soddisfano la disuguaglianza di Kraft-McMillan [Restivo, 1989]

RISULTATI NOTI E PROBLEMI APERTI |C|=2 UD = MSD = SD [Lempel 86; Guzman 95] [Guzman 95; Head,Webwer 95] |C|=4 UD  MSD  SD ? C={c1 , c2 , c3 } |c1 | = | c2 |  | c3 | UD = MSD =SD [Blanchet-Sadri, 2001]

Distribuzione di lunghezze

(length ditribution of XA+ ) uX =(un) n1 un= Card(XAn) uX(z)=  un zn Problema 1 Caratterizzazione della distribuzione delle lunghezze di un codice biprefisso (Risultati parziali ed una congettura [Ahlswede, Balkenhol, Khachatrian, 1997]) Problema 2 Semplificazione della caratterizzazione della distribuzione delle lunghezze di un codice circolare

1. CONVEGNO 2. LETTERA 3. INVITI