SCOMPOSIZIONI

Definizione Scomporre in fattori significa scrivere un polinomio sotto forma di prodotti di polinomi di grado minore (detti fattori) Esempio: x2+x, che è un polinomio di 2° grado, accorgendomi che potrebbe essere il risultato del prodotto tra x e x+1 lo scrivo come prodotto di tali polinomi di 1° grado x(x+1) Polinomio di grado 2 2° fattore 1° fattore 2 polinomi di grado 1

Raccoglimento a fattor comune Se si vedono fattori comuni in tutti i termini di un polinomio li si scrivono a sinistra i li si moltiplica per il polinomio diviso per esso Fattore numerico comune (c’è in ogni termine) 1° term scomp 2° term scomp 3° termine scomposto Fattori comuni Fattore letterale comune (c’è in ogni termine) 3x(x+2y-4x2) Ciascun termine del polinomio diviso per i fattori comuni

Raccoglimento di polinomi comuni Se una espressione contiene come fattori dei polinomi comuni a tutti i termini si può operare il raccoglimento di tali polinomi. Esempio: (3x+5)x-(3x+5)y equivale a (3x+5)(x-y)

Raccoglimento a fattor comune parziale Se si vedono fattori comuni ad un gruppo di termini (anche non vicini) e altri fattori comuni ad altri termini in modo da intuire che alcuni polinomi ridotti che si ottengono sono uguali, si procede con i 2 raccoglimenti parziali e quindi si raccoglie il polinomio fattore Esempio 4xb-ay-4yb+ax noto che se raccolgo dal 1° e 3° termine 4b ottengo 4b(x-y) se raccolgo dal 4° e 2° termine a ottengo a(x-y) da 4b(x-y)+a(x-y) posso raccogliere il fattore (x-y) ottenendo (x-y)(4b+a)

Regole inverse dei prodotti notevoli trinomio derivante dal quadrato di un binomio Notando che un trinomio è formato da 2 quadrati positivi a cui è sommato o sottratto il doppio prodotto delle basi dei quadrati si può trasformare il trinomio nel quadrato delle somma o differenza delle basi. Esempio In 25x2-10x+1si può riconoscere 2 quadrati (di 5x e di 1) e la sottrazione del doppio prodotto tra 5x e 1 per cui si può scrivere =(5x-1)2

Regole inverse dei prodotti notevoli quadrinomio derivante da cubo d’un binomio Notando che un quadrinomio è formato da 2 cubi a cui sono sommati o sottratti i 2 tripli prodotti di una base al quadrato per l’altra si può trasformare il quadrinomio nel cubo della somma o differenza delle basi. Esempio In 8x3+12x2y –6xy2 -y3si può riconoscere 2 cubi (di 2x e di -y) e e i 2 tripli prodotti tra (2x)2 e -y e 2x e (-y)2 per cui si può scrivere =(2x-y)3

Regole inverse dei prodotti notevoli binomio derivante dalla somma di 2 monomi per la loro differenza Notando che un binomio è formato da 2 quadrati di segno opposto si può trasformare il binomio nel prodotto della somma delle 2 basi per la loro differenza. Esempio In 4x2–y2 si può riconoscere 2 quadrati (di 2x e di y) per cui si può scrivere =(2x+y)(2x-y)

Regole inverse dei prodotti notevoli binomio corrispondente alla somma o differenza tra 2 cubi Notando che un binomio è formato da 2 cubi sommati o sottratti tra loro si può trasformare il binomio nel prodotto della somma o differenza delle 2 basi per il falso quadrato della loro differenza o somma. Esempio in 27x3–y3 si può riconoscere 2 cubi (di 3x e di y) per cui si può scrivere =(3x-y)(9x2 +3xy+y2 )

Regole inverse dei prodotti notevoli polinomio di 6 termini di cui 3 quadrati e 3 doppi prodotti tra le loro basi Notando che polinomio è formato da 3 quadrati positivi e da 3 doppi prodotti delle loro basi lo si può trasformare nel quadrato della somma o differenza delle 3 basi. Esempio in x2+4y2+49z2-4xy+14xz-28yz si può riconoscere 3 quadrati (di x, 2y e 7z e 3 doppi prodotti 2x(-2y), 2x(7z), (-2y)(7z) per cui si può scrivere =(x-2y+7z)2

Trinomio del tipo x2+sx+p Notando un trinomio formato da un quadrato con coefficiente =1 se riconosciamo che esistono 2 numeri a e b il cui prodotto è = al termine noto e la cui somma = al coefficiente del termine di 1° grado allora possiamo scomporre il trinomio come (x+a)(x+b). Esempio in x2+6x+8 si può riconoscere che 8 è 2 per 4 e 6 2 più 4 per cui =(x+2)(x+4)

Scomposizione con Ruffini Se non troviamo altri metodi si può cercare di vedere se il polinomio è divisibile per x-a: la regola di Ruffini ci garantisce che un polinomio è divisibile per x-a se sostituendo il valore di a alla x si ottiene una identità