DISEQUAZIONI Una disequazione è una relazione tra 2 membri in cui compaiano in almeno uno di essi delle incognite e tra di loro uno dei seguenti segni >, <, ≥ o ≤

Disequazioni ad una incognita Una disequazione è ad una incognita se di incognite ne compare una sola Il grado della disequazione è il grado più altro in cui compare l’incognita È scritta in forma normale se al secondo membro compare solo lo zero (si ottiene ciò portando tutti i termini dal 2° al 1° membro cambiandoli di segno) Disequazione di 2° grado scritta in forma normale:

Soluzioni di una disequazione Sono tutti i valori dell’incognita che la soddisfano Ad esempio È soddisfatta per x≤-2 Nel caso di disequazioni di 1° grado si ottiene ciò isolando al 1° membro i termini con la x e portando al 2° i termini noti; quindi si divide per il coefficiente della x tenendo presente che se si divide per un numero negativo il verso della disuguaglianza cambia (< diviene > e viceversa). Le soluzioni di una disequazione possono anche essere indicate come intervalli, nel nostro caso x є(-∞;2] Per indicare che l’intervallo contiene gli estremi si usa la parentesi quadra, altrimenti quella tonda

Grafico delle soluzioni Per disegnare il grafico delle soluzioni si traccia dapprima la retta dei numeri reali In essa si individuano i punti che sono soluzione dell’equazione associata e in corrispondenza di essi si traccia una barra verticale Sopra la retta dei reali si traccia una semiretta continua in corrispondenza dei valori che soddisfano la disequazione e tratteggiata in corrispondenza dei valori che non la soddisfano Ad esempio Si trasporta il termine noto nel 2° membro: -2x≥-4 Si divide i 2 membri per -2 (la disuguaglianza cambia verso) x≤2 Si traccia l’asse reale col numero soluzione dell’equazione associata x=2 La semiretta da -∞ a 2(compreso) sarà disegnata in modo continuo La semiretta tra 2 e +∞ sarà disegnata in modo tratteggiato 2 R

Soluzioni di disequazioni di 2° grado ad una incognita Risolvere la disequazione equivale a trovare quando la parabola associata si trova al di sopra (1° e 4° caso) o al di sotto (2° e 3° caso) dell’asse x Nel 1° e 3° caso, essendo il coefficiente del termine di 2° grado >0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto nel 2° e 4° la parabola ha concavità rivolta verso il basso Se non vi sono punti d’incontro con l’asse x (soluzioni dell’equazione associata), o vi è un solo punto d’incontro, cioè se il delta≤0, il 1° e 2° caso sono sempre veri, il 3° e 4° mai (nel caso la disequazione sia di tipo ≥ o ≤ occorre considerare che l’equazione può essere soddisfatta o non soddisfatta solo per i punti che rappresentano le soluzioni dell’equazione associata) Se vi sono punti d’incontro con l’asse x, cioè se il delta>0, il 1° e 2° caso è vero per valori esterni alle radici, il 3° e il 4° per valori interni

Soluzioni di disequazioni di 2° grado ad una incognita Si risolve l’equazione associata Se il coefficiente del termine di 2° grado è positivo il polinomio è positivo per valori esterni alle soluzioni x<x1  x>x2 che si può indicare anche come x є(-∞;x1)U(x2; +∞) Se il coefficiente del termine di 2° grado è negativo il polinomio è positivo per valori interni alle soluzioni x1<x<x2 che si può indicare anche come x є(x1 ;x2)

Soluzioni di disequazioni di 2° grado: esempio Si risolve l’equazione associata x1=1/3, x2=1 Poiché il coefficiente del termine di 2° grado è >0 la disequazione è soddisfatta per valori esterni alle radici Si traccia l’asse reale con i valori delle radici trovate Il segmento tra 1/3 e 1 sarà disegnato in modo continuo (sono esclusi gli estremi) Le semirette da -∞ a 1/3 e da 1 a +∞ saranno disegnate in modo tratteggiato 1 R 1/3

Sistemi di disequazioni Si risolvono entrambe le disequazioni utilizzando la stessa retta reale Si considera solo gli intervalli che soddisfano entrambe le disequazioni Esempio -1 R -3 -4

Disequazione di grado >2 e disequazioni fratte Si scompongono in fattori in modo che i fattori siano di 1° o secondo grado Si studia la positività di ogni fattore in un unico asse reale Considerando che il prodotto tra fattori concordi è positivo e tra fattori discordi negativo si studia il segno dell’intero polinonio e quindi si verifica quando è in accordo col verso della disequazione - + - - + Denom. 2°fatt.num 1°fatt.num R -4 -3 -1