Studio della evoluzione temporale del numero di individui di una popolazione mediante il programma Excell Con i simboli Si indica il numero di individui allinizio, dopo un periodo di tempo (es. 1 mese, o 1 anno), dopo un periodo doppio,ecc.

Modello geometrico o modello malthusiano E quello secondo il quale laumento della popolazione in un periodo unitario di tempo è proporzionale alla popolazione presente al momento in cui si calcola la variazione cioè

Critica al modello di crescita malthusiano Sono stati raccolti i dati della popolazione degli USA negli anni dal 1790 al Data la tabella di crescita effettiva della popolazione degli USA si può verificare se il modello malthusiano descrive correttamente la variazione di popolazione nel corso degli anni. La formula del modello malthusiano dipende dalla costante di crescita r : tannopopolazione effettiva

Calcolando la popolazione utilizzando la formula di crescita del modello malthusiano si constata che i valori della popolazione fino al 7° periodo sono simili mentre dall8° periodo iniziano a differire con notevoli errori. tannopopolazione effettivarr mediopopolazione con leggeerrore assoluto errore percentuale ,350980, ,00% , ,37% , ,68% , ,58% , ,25% , ,71% , ,76% , ,04% , ,81% , ,62% , ,86% , ,87% , ,12% , ,97% , ,10% , ,43% ,76%

Grafico popolazione effettiva e popolazione calcolata con modello malthusiano

Il modello logistico Si deve sostituire alla costante r una funzione che rappresenti il rapporto di crescita Bisogna fare alcune ipotesi. Lambiente in cui vive la popolazione può sostenere un numero massimo di individui L. Se A n >L non ci sono abbastanza risorse e il numero di morti supera quello dei nati Se A n <L la popolazione aumenta Se A n è molto piccolo in rapporto a L, allora la funzione di crescita è simile al fattore r

Individuare una funzione che abbia le caratteristiche descritte Sapendo che il modello di crescita dipende dalla funzione si deve individuare la funzione che si comporti secondo le caratteristiche precedentemente descritte. Individuiamo la funzione:

Con questa funzione si ottiene che e quindi, possiamo ora calcolare con la nuova formula la popolazione secondo il modello logistico. annopopolazione effettivar mediocon modello logisticoLerroreerrore percentuale , ,00% ,88% ,86% ,69% ,10% ,30% ,29% ,62% ,51% ,99% ,44% ,84% ,46% ,72% ,34% ,49% ,34%

Confrontando la popolazione effettiva con quella calcolata con il modello logistico possiamo vedere dal grafico che coincidono.

Prendendo un qualsiasi valore della popolazione iniziale e calcolando la crescita con il modello logistico si nota che tutte le curve si stabilizzano quando raggiungono il numero massimo di individui L.

Rapidità di crescita ovvero come e quando la curva cresce e decresce rapidità di crescita crescente rapidità di crescita decrescente Guardando il grafico si nota che la curva raggiunge il massimo della rapidità e inizia a decrescere circa a metà tra il punto di partenza della popolazione e il numero massimo di individui.