UNIVERSITA DEGLI STUDI DI SALERNO FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO di CORSO di TEORIA dello SVILUPPO dei PROCESSI CHIMICI Impostazione di una Simulazione con il metodo Monte Carlo di un caso per lIngegneria Chimica utilizzando software MatLab®. rev. 1.5 del 13 giugno 2008 PROF.: ALLIEVI: Attianese Ilaria matr.: 564/ Attianese Ilaria matr.: 564/ Michele Miccio Russo Giuseppina matr.: 564/ Torino Enza matr.: 564/ Torino Enza matr.: 564/ ANNO ACCADEMICO

Problema dei miscelatori Unindustria chimica produce una serie di componenti che vengono combinati in 5 miscele diverse da vendere ai consumatori. Lazienda vuole stabilire se il numero di miscelatori (mixers) è adeguato a soddisfare le richieste del mercato.

Dati Statistici Pregressi Media giornaliera degli ordini per ogni miscela Da unanalisi semplicistica potremmo concludere che sono necessari soltanto 13 mixers per sopperire alle richieste giornaliere……MA NON È COSÌ!!!!!!!!!!!! MisceleMedia degli ordini per giorno A3.5 B2.35 C3.5 D1.4 E1.75 Totale12.50

ordini/ giorno Percentuale sul totale dei giorni (n°)ABCDE Se guardiamo, infatti, la distribuzione differenziale di frequenza percentuale degli ordini giornalieri, per es. per la miscela A, si ricava che ci sono ALMENO 5 ordini piuttosto che 3.5 (valore medio) per ( ) % della storia passata (ossia circa il 20%). Dati Statistici Pregressi Distribuzione differenziale di frequenza

Avendo a disposizione i dati relativi alla frequenza degli ordini per ogni miscela, se ne costruisce il diagramma: Dati Statistici Pregressi Distribuzione differenziale di frequenza

Se rappresentiamo la distribuzione di frequenza su di un diagramma a torta, otteniamo un sistema simile ad una roulette attraverso cui possiamo realizzare una vera e propria simulazione con il metodo Monte Carlo. Facendo ruotare più volte la freccia in maniera casuale, le successive posizioni di arresto genereranno una distribuzione degli eventi in funzione delle relative aree del settore. Estrazione a sorte manuale

Prima di procedere alla simulazione: 1) trasformiamo la distribuzione differenziale degli ordini giornalieri in una distribuzionedi tipo cumulativoed 1) trasformiamo la distribuzione differenziale degli ordini giornalieri in una distribuzione di tipo cumulativo ed 2) assegniamo a ciascun n° ordini (righe) e ciascuna miscela (colonna) un range di numeri interi, a partire da 0 sino a 999 MiscelaAMiscelaBMiscelaCMiscelaDMiscelaE Numero di ordini Frequenza cumulativa percentuale Numeri assegnati Frequenza cumulativa percentuale Numeri assegnati Frequenza cumulativa percentuale Numeri assegnati Frequenza cumulativa percentuale Numeri assegnati Frequenza cumulativa percentuale Numeri assegnati Simulazione computerizzata

GIORNO PROGRESSIVO DELLA SIMULAZIONE ABCDE Estratton°Estratton°Estratton°Estratton°Estratton° Estrazione computerizzata Per ciascun giorno e per ciascuna miscela, estraiamo, con un generatore di numeri casuali, un numero [0, 1] ed associamo un intero [0, 999] allestratto. Il corrispondente n° ordini si deduce dalla tabella precedente. NB: per semplicità riportiamo i primi 10 giorni

GIORNO PROGRESSIVO DELLA SIMULAZIONE ABCDE ORDINI GIORNA LIERI ORDINI INEVASI ORDINI RESIDUATI LAVORATI MEDIA, VAR., ecc. MEDIA, VAR., ecc. MEDIA, VAR., ecc Simulazione (Ip.: 13 mixers a disposizione) Costruzione della Tabella dei risultati

Possibili obiettivi attesi dalla simulazione (e modelli matematici per generarli) N. Ordini evasi nel giorno stesso % Ordini evasi nel giorno stesso N. Ordini inevasi nel giorno stesso % Ordini inevasi nel giorno stesso N. Ordini residuati ed evasi dopo x giorni di simulazione % Ordini residuati ed evasi dopo x giorni di simulazione N. Ordini residuati ed evasi dopo 2 giorni % Ordini residuati ed evasi dopo 2 giorni N. Giorni senza Ordini inevasi nel giorno stesso % Giorni senza Ordini inevasi nel giorno stesso N. Miscelatori in grado di soddisfare evasione ordini (odierni e/o residuati) in x% dei giorni lavorativi

n° di ordini odierni + eventuali residuati evasi Numero di giorni % Percentuale cumulativa Dai risultati ottenuti si evince che per riuscire a soddisfare tutte le richieste nei 2000 giorni, abbiamo bisogno di 22 miscelatori. Riassumiamo in una tabella i risultati della simulazione (per 13 mixers e 2000 giorni): Obiettivo della simulazione: n° ordini evasi nel giorno stesso

Altri risultati La simulazione è stata ripetuta in MatLab® facendo variare il numero di miscelatori. Riportiamo nella seguente tabella i dati ottenuti: Numero di miscelatori Percentuale di ordini senza ritardi Percentuale di giorni senza ritardi

Simulazione in assenza di dati storici Associare tramite una legge matematica, ritenuta già nota ed attendibile (ad es. una proporzione), il valore della variabile dingresso al numero estratto dal generatore casuale Associare tramite una legge matematica, ritenuta già nota ed attendibile (ad es. una proporzione), il valore della variabile dingresso al numero estratto dal generatore casuale Ipotizzare una legge di distribuzione di probabilità, ritenuta realistica ed attendibile (ad es. una gaussiana), per la variabile dingresso della ns. simulazione ed utilizzare un comando software o un algoritmo di estrazione di numeri secondo la distribuzione di probabilità prescelta Ipotizzare una legge di distribuzione di probabilità, ritenuta realistica ed attendibile (ad es. una gaussiana), per la variabile dingresso della ns. simulazione ed utilizzare un comando software o un algoritmo di estrazione di numeri secondo la distribuzione di probabilità prescelta Ad es. per il n° ordini atteso per la miscela A per ogni nuovo giorno:

Si fa riferimento al problema dei miscelatori trattato come esempio di applicazione delle Tecniche di Montecarlo nel paragrafo 15.4 a pag. 442 del RUDD-WATSON. Si supponga di avere a disposizione 13 miscelatori e di volere quindi fare una simulazione. La distribuzione di frequenze degli ordini è la stessa in tab Si chiede quanto segue: 1 In base alla tabella allegata, calcolare la % di ordini rispetto al totale che non possono essere evasi nello stesso giorno dellordinazione. 2.a – Allo scopo di ridurre la varianza del risultato atteso da questa simulazione, discutere come si potrebbe proseguirla senza estrarre nuovi numeri, ma utilizzando gli stessi dati della tabella allegata e la tecnica delle Antithetic Variates 2.b – Ricordando che il Numero Estratto nella simulazione in Tabella è una variabile aleatoria X con una distribuzione di probabilità uniforme, dimostrare come la opportuna scelta della Variabile Antitetica Y comporta: cov(X,Y) < 0 2.c – Qual è in questo caso la % di ordini che non vengono evasi nel giorno stesso? Problema 88

Riduzione della varianza con le variabili antitetiche SEQUENZA DI ESTRATTI (Var. Aleatoria uniformemente distribuita) r 1, r 2,... r i,... r N-1, r N [0,1] ISTANZE della VAR. ALEATORIA x 1 (mappata su r i uniformemente distribuita) x 11, x 12,... x 1i,... x 1N-1, x 1N MEDIA e VARIANZA del CAMPIONE SEQUENZA DI ESTRATTI (Var. Aleatoria uniformemente distribuita) 1-r 1, 1-r 2,... 1-r i,... 1-r N-1, 1-r N [0,1] ISTANZE della VAR. AL. ANTITETICA x 2 (mappata su r i uniformemente distribuita) x 21, x 22,... x 2i,... x 2N-1, x 2N MEDIA e VARIANZA del CAMPIONE Per essere la nuova stima di MEDIA e VARIANZA del CAMPIONE migliore deve essere: Def. una nuova Var. Aleatoria dalle precedenti: x = (x 1 + x 2 )/2

Covarianza

GIORNO PROGRESSIVO DELLA SIMULAZIONE ABCDE ORDINI GIORNA LIERI ORDINI INEVASI ORDINI RESIDUATI LAVORATI (8,02%) 4 (2.9%) Simulazione antitetica (Ip.: 13 mixers a disposizione) Costruzione della Tabella dei risultati

Risultato finale Ad es., dallapplicazione della tecnica delle variabili antitetiche: % ordini inevasi nel giorno = ( )/2 = 8.12 % NB: Questo risultato è caratterizzato da una Dev. St. minore dei risultati singoli della simulazione

Per lapplicazione del metodo Monte Carlo utilizziamo come programma di calcolo MatLab®. Di seguito riportiamo lalgoritmo di calcolo: Collegamento Matlab......