PROBLEMI RISOLUBILI E COMPUTABILITÀ Secondo la Tesi di Church-Turing, non esiste un formalismo “più potente” della Macchina di Turing, ossia capace di risolvere una classe più ampia di problemi. Dunque...

PROBLEMI RISOLUBILI E COMPUTABILITÀ Secondo la Tesi di Church-Turing, non esiste un formalismo “più potente” della Macchina di Turing, ossia capace di risolvere una classe più ampia di problemi. Dunque... se neanche la macchina di Turing riesce a risolvere un problema, quel problema non è risolubile!

QUALCHE DEFINIZIONE PROBLEMA RISOLUBILE Un problema la cui soluzione può essere espressa da una Macchina di Turing o formalismo equivalente.

QUALCHE DEFINIZIONE PROBLEMA RISOLUBILE Un problema la cui soluzione può essere espressa da una Macchina di Turing o formalismo equivalente. La macchina di Turing calcola funzioni, quindi occorre un modo (semplice) per associare a un problema una funzione.

QUALCHE DEFINIZIONE FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN PROBLEMA Dato un problema P, l’insieme X dei suoi dati di ingresso, l’insieme Y delle risposte corrette, si dice funzione caratteristica del proble- ma P la funzione: fP: X ® Y che associa a ogni dato d’ingresso la corri- spondente risposta corretta.

QUALCHE DEFINIZIONE FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN PROBLEMA Perché questo artificio? Perché grazie a questa funzione, decidere se un problema è risolubile equivale a chiedersi se la funzione fP è computabile

QUALCHE DEFINIZIONE FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN PROBLEMA Perché questo artificio? Perché grazie a questa funzione, decidere se un problema è risolubile equivale a chiedersi se la funzione fP è computabile D’ora in poi parleremo quindi solo di funzioni computabili, sapendo che ciò equivale a parlare di problemi risolubili.

QUALCHE DEFINIZIONE FUNZIONE COMPUTABILE Una funzione f: A®B per la quale esiste una Macchina di Turing che data sul nastro una rappresentazione di xA dopo un numero finito di passi produce sul nastro una rappresentazione del risultato f(x)B

QUALCHE DEFINIZIONE Attenzione Nel seguito considereremo solo funzioni f: N ® N questo non è limitativo perché ogni informazione è necessariamente finita, quindi può essere codificata in una collezione di numeri naturali la quale collezione può essere a sua volta espressa con un unico numero naturale mediante il procedimento di Gödel.

IL PROCEDIMENTO DI GÖDEL “Data una collezione di numeri naturali, esprimerla con un unico numero naturale.” Procedimento: Siano N1, N2, … Nk i numeri naturali dati e siano P1, P2, … Pk i primi k numeri primi Il nuovo numero R definito come R ::= P1N1 · P2N2 · … · PkNk rappresenta univocamente la collezione N1, … Nk grazie all’unicità della scomposi- zione in fattori primi.

COMPUTABILITÀ È noto dall’analisi matematica che l’insieme F = { f: N ® N } non è enumerabile (cardinalità del continuo)

COMPUTABILITÀ È noto dall’analisi matematica che l’insieme F = { f: N ® N } non è enumerabile (cardinalità del continuo) Invece, l’insieme delle Macchine di Turing (e quindi delle funzioni computa-bili) è enumerabile. Infatti, poiché il numero di simboli di ingresso, di uscita e di stati di una TM è finito, ogni Macchina di Turing può essere associata a un numero naturale con il procedimento di Gödel.

COMPUTABILITÀ CONSEGUENZA: la maggioranza delle funzioni NON può essere calcolata!!!

COMPUTABILITÀ Però… a pensarci bene, le sole funzioni che davvero ci interessano sono quelle che possiamo definire

COMPUTABILITÀ Però… a pensarci bene, le sole funzioni che davvero ci interessano sono quelle che possiamo definire ma per definire qualcosa ci vuole un linguaggio…

COMPUTABILITÀ Però… a pensarci bene, le sole funzioni che davvero ci interessano sono quelle che possiamo definire ma per definire qualcosa ci vuole un linguaggio… .. e quindi un alfabeto…

COMPUTABILITÀ Però… a pensarci bene, le sole funzioni che davvero ci interessano sono quelle che possiamo definire ma per definire qualcosa ci vuole un linguaggio… .. e quindi un alfabeto… ..che è fatto di un numero finito di simboli!

COMPUTABILITÀ CONSEGUENZA: le funzioni che possiamo realmente defi-nire sono molte di meno, e costituiscono un insieme enumerabile!

COMPUTABILITÀ CONSEGUENZA: le funzioni che possiamo realmente defi-nire sono molte di meno, e costituiscono un insieme enumerabile! Ergo, potremmo sperare che almeno queste si potessero calcolare tutte…

COMPUTABILITÀ CONSEGUENZA: le funzioni che possiamo realmente defi-nire sono molte di meno, e costituiscono un insieme enumerabile! Ergo, potremmo sperare che almeno queste si potessero calcolare tutte… … E INVECE NO!!

FUNZIONI NON COMPUTABILI È facile dimostrare che esistono funzioni definibili ma non computabili e, quindi, problemi non risolubili.

FUNZIONI NON COMPUTABILI È facile dimostrare che esistono funzioni definibili ma non computabili e, quindi, problemi non risolubili. ESEMPIO: Problema dell’ halt della macchina di Turing. Dire se una data macchina di Turing T, con un generico ingresso X, si ferma oppure no.

FUNZIONI NON COMPUTABILI Questo problema è perfettamente definito, ma non è computabile (nel caso generale).

FUNZIONI NON COMPUTABILI Questo problema è perfettamente definito, ma non è computabile (nel caso generale). Dimostrazione Sia M l’insieme di tutte le Macchine di Turing e X l’insieme di tutti i possibili ingressi. Sia poi: x  X un generico dato di ingresso m  M una generica Macchina di Turing.

FUNZIONI NON COMPUTABILI La funzione caratteristica fH di questo problema può essere così definita: fH (m,x) = 1, se m con ingresso x si ferma 0, se m con ingresso x non si ferma

FUNZIONI NON COMPUTABILI La funzione caratteristica fH di questo problema può essere così definita: fH (m,x) = 1, se m con ingresso x si ferma 0, se m con ingresso x non si ferma Dimostreremo che questa funzione è definita ma non computabile, in quanto tentare di calcolarla conduce a un assurdo.

FUNZIONI NON COMPUTABILI Se fH è computabile, deve esistere una Macchina di Turing TF capace di calcolarla.

FUNZIONI NON COMPUTABILI Se fH è computabile, deve esistere una Macchina di Turing TF capace di calcolarla. Definiamo allora una nuova funzione gH come segue: dove n è il numero naturale che rappresenta una data Macchina di Turing (procedimento di Gödel). gH (n) = 1, se fH (n,n) = 0 , se fH (n,n) = 1

FUNZIONI NON COMPUTABILI In pratica, con un dato ingresso n: g si ferma e risponde 1 quando f non si ferma g non si ferma e entra in un ciclo infinito quando invece f si ferma. gH (n) = 1, se fH (n,n) = 0 , se fH (n,n) = 1

FUNZIONI NON COMPUTABILI Come caso particolare, sia ora n = ng, ossia prendiamo come ingresso proprio quel particolare numero che rappresenta la Macchina di Turing TG che calcola gH.

FUNZIONI NON COMPUTABILI Come caso particolare, sia ora n = ng, ossia prendiamo come ingresso proprio quel particolare numero che rappresenta la Macchina di Turing TG che calcola gH. Questo significa dare come ingresso a TG, come caso particolare, la sua stessa descrizione.

FUNZIONI NON COMPUTABILI Sostituendo si ottiene: che è assurdo, in quanto afferma che: se g vale 1 (e quindi TG si ferma), f vale 0 (e quindi TG non si ferma) se invece g è indefinita (cioè TG non si ferma), f vale 1 (perciò TG si ferma). gH (ng) = 1, se fH (ng, ng) = 0 , se fH (ng, ng) = 1

FUNZIONI NON COMPUTABILI Conclusione: il problema di decidere se una data Macchina di Turing T, con un generico ingresso X, si ferma oppure no non è computabile: È UN PROBLEMA INDECIDIBILE.