Lezione 13 Equazione di Klein-Gordon Equazione di Dirac (prima parte) equazione di continuità hamiltoniana di Dirac matrici alpha, beta

Equazioni d’onda relativistiche L’equazione di Schrödinger, come abbiamo già visto, descrive il comportamento di una particella non dotata di spin e non relativistica, descritta in termini di una funzione d’onda, dipendente dalle coordinate spazio-temporali, e il cui modulo a quadrato ci fornisce la densità di probabilità di posizione della particella. Tale densità integrata su tutto lo spazio deve essere normalizzata a 1. La particella può essere libera o soggetta a un potenziale. L’equazione di Schrödinger però non parte da relazioni relativistiche, bensi da relazioni classiche ed è ottenuta, come abbiamo visto, sostituendo nell’equazione classica per una particella libera: E = p2 / (2m) nella quale abbiamo fatto corrispondere a E e a p i seguenti operatori: Con un procedimento analogo dovrebbe essere possibile costruire un’equazione relativistica per una particella libera di spin zero.

Equazione di Klein-Gordon Klein e Gordon nel 1926 costruirono un’equazione a partire dalla relazione relativistica tra energia e impulso: E2 = p2 + m2 nella quale, come nel caso dell’equazione di Schrödinger, si sostituiscono a E e p gli operatori corrispondenti: ħ=c=1 EQUAZIONE DI KLEIN GORDON PARTICELLA RELATIVISTICA LIBERA (1) ) Φ m ( 2 = + D’ALAMBERTIANO L’equazione di Klein-Gordon si applica a particelle relativistiche a spin=0 (bosoni)

Osservazioni sull' equazione di Klein-Gordon 1) La relazione relativistica tra energia e impulso: prevede la possibilità di due soluzioni per l'energia in corrispondenza di un certo valore dell'impulso: Ci troviamo dunque a dover trattare soluzioni a energia negativa che sembrano non avere significato fisico. 2) Se tentiamo di derivare dall’equazione di K.-G. una equazione di continuità, come abbiamo fatto per l’equazione di Schrödinger che dava luogo all’equazione: ci troviamo di fronte al problema di non poter interpretare  come una densità di probabilità. Vediamo perchè...

Equazione di continuità dall’eq. di K.-G. Prendiamo l’equazione di Klein-Gordon e la sua complessa coniugata: Moltiplichiamo la prima per F* e la seconda per F: Quindi sottraiamole membro a membro: (2)

  Definiamo le seguenti grandezze:  DENSITA’ DI PROBABILITÀ ??  DENSITA’ DI CORRENTE DI PROBABILITÀ ??  Con queste definizioni l'equazione (2) diventa: cioè assume la tipica forma di un’equazione di continuità, tuttavia la quantità r non è definita positiva, come invece dovrebbe essere una densità di probabilità. Pertanto NON possiamo interpretare r come una densità di probabilità.

Osservazioni sull’ eq. K.-G. 1) Gli autovalori dell’energia possono anche essere negativi: questa è una conseguenza naturale della relazione relativistica energia-impulso. Gli stati a energia negativa non sembrano interpretabili come stati fisici. 2) La densità di probabilità non è definita positiva, come lo era invece nell'equazione di Schrödinger, perchè, mentre l'eq. di S. conteneva una derivata prima rispetto al tempo, quella di K.-G. contiene una derivata seconda rispetto al tempo. Ciò deriva dal fatto che l'eq. di S. scaturisce dalla relazione classica energia-impulso nella quale l'energia è elevata al primo grado (E  i /t) e l'impulso al secondo (p2 - 2/2m), mentre l'equazione di K.-G. deriva dalla relazione relativistica, nella quale entrambe sono elevate al quadrato (E  - 2/t2 e p2 - 2/2m) . Questo impedisce di usare l’equazione di K.-G. come equazione della meccanica quantistica ordinaria. Tuttavia essa è stata nuovamente riutilizzata con la nascita della teoria dei campi quantizzati (seconda quantizzazione), nella quale l’equazione di K.-G. è l’equazione che descrive non la funzione d’onda di una particella, ma un operatore associato a un campo bosonico  che può creare o distruggere particelle a spin zero, che sono i quanti del campo stesso.

Equazione di Dirac Allo scopo di descrivere particelle relativistiche di spin ½ e senza struttura, Dirac propose nel 1927 un altro tipo di equazione, tentando di risolvere i problemi posti dall’ eq. di K.-G.. L’equazione deve avere le seguenti caratteristiche: Da essa deve conseguire un’equazione di continuità ∂m jm =0 La densità di probabilità r deve essere definita positiva, in modo che sia interpretabile come una densità di probabilità: l’equazione deve pertanto contenere solo derivate prime rispetto al tempo L’equazione deve essere lineare e omogenea (principio di sovrapposizione) L’equazione di Schrödinger considera solo particelle a spin zero. Per poter descrivere particelle a s=1/2, la funzione d’onda deve essere a N componenti, cioè deve essere uno spinore (due particelle con la stessa massa, una a spin up e una a spin down devono essere due stati della stessa particella e quindi soddisfare alla stessa equazione di Dirac) Deve valere la relazione relativistica energia-impulso: E2 = p2 + m2. Pertanto le singole componenti dello spinore devono soddisfare a un’equazione di K.-G.

L’ EQUAZIONE DI DIRAC (per fermioni relativistici) deve contenere: Uno spinore y a N componenti Derivata prima rispetto al tempo con un coefficiente matriciale Derivate prime rispetto alle coordinate con tre coefficienti matriciali (uno per ogni derivata) Termine senza derivata dove le a1, a2, a3 e la b sono delle matrici di dimensione NN. Indicando con a un "vettore" di tre componenti che ha come componenti le tre matrici ai: possiamo riscrivere la (1) in forma più compatta: (2) EQUAZIONE DI DIRAC

In forma matriciale: In componenti, ciò significa che l' equazione di Dirac equivale in realtà a N equazioni, una per ogni componente dello spinore y:

Vediamo che cosa significa l’equazione di Dirac in componenti Vediamo che cosa significa l’equazione di Dirac in componenti. Poichè tra poco vedremo tra poco che la dimensione di  è 4, in componenti scriveremo:

L'equazione di Dirac corrisponde quindi a quattro equazioni (perchè quattro è la dimensione dello spinore y):

Equazione di continuità dall’eq. di Dirac Prendiamo l’equazione di Dirac e la sua hermitiana coniugata: i ∂0 y + i ak∂k y – mby = 0 – i∂0y† –i ∂ky† (ak)†–m y† b† = 0 Moltiplichiamo la prima a sinistra per y† e la seconda a destra per y i y†∂0 y + i y† ak∂ky –my†by = 0 –i(∂0 y†) y –i (∂k y †)(ak)† y –my†b† y = 0 Quindi sottraiamole membro a membro: i ( y†∂0 y + (∂0 y†) y ) + i ( y† ak ∂ky + (∂k y †)(ak)† y ) – m (y† by – y† b† y) = 0 derivata del prodotto y† y potrebbe essere la derivata del prodotto y† ak y se fosse (ak)†=ak potrebbe annullarsi se fosse (b)†=b Per ottenere un'equazione di continuità dobbiamo quindi necessariamente imporre che le matrici a1, a2, a3 e b siano hermitiane: (ak)† = ak e b† = b

 In tal modo infatti l' equazione diventa: i ∂0 (y† y) + i (y† ak ∂ky + (∂k y †) ak y) – (my† b y - my† b y) = 0 (3) i ∂0 (y† y) + ∂k(y† aky) = 0 Dando le seguenti definizioni di densità di probabilità e di densità di corrente di probabilità, perveniamo a una equazione di continuità:  † DEFINITA POSITIVA †

Hamiltoniana di Dirac Per trovare l'hamiltoniana dell'equazione di Dirac, possiamo esprimere l'equazione nella forma seguente: Pertanto l'hamiltoniana per una particella libera fermionica che soddisfa l'equazione di Dirac è: N.B. La condizione che le matrici ai e b debbano essere hermitiane si poteva anche ottenere imponendo che l'hamiltoniana fosse hermitiana.

RELAZIONE RELATIVISTICA ENERGIA-IMPULSO Richiederemo ora che le singole componenti di y soddisfino all' equazione di Klein-Gordon, o, il che è equivalente, richiediamo che valga la relazione relativistica energia-impulso: EQ. DI DIRAC EQ. DI KLEIN-GORDON Applichiamo all'equazione di Dirac un operatore appropriato, che permetta di ottenere l'equazione di K.-G. a partire da quella di Dirac:

Dato che le matrici ai e b sono i coefficienti dell' equazione di Dirac, essi devono essere parametri non dinamici, cioè non dipendono nè dal tempo nè dalle coordinate, pertanto esse filtrano attraverso le derivate temporali e spaziali:

Ma l'equazione di K.-G. è: o anche: (3) Ma l'equazione di K.-G. è: o anche: (4) Perchè la (3) e la (4) coincidano occorre che valgano per le matrici ai e b le seguenti regole: cioè le matrici ai e b anticommutano e il loro quadrato è uguale all'identità.

ALTRE PROPRIETÀ DELLE MATRICI ai E b 1) Dal momento che le matrici ai e b anticommutano, non è possibile trovare una base nella quale esse siano tutte e quattro contemporaneamente diagonalizzabili. In ogni base solo una delle quattro sarà diagonalizzata. 2) Le matrici ai e b hanno traccia nulla. Infatti: (proprietà delle tracce) Ma poichè le matrici a e le b anticommutano, si avrà:  3) La loro dimensione è necessariamente pari. Infatti:

4) Qual è il valore minimo per N 4) Qual è il valore minimo per N? Non è ammessa la dimensione N=2, in quanto in tal caso il numero massimo di matrici che anticommutano è 3 (vedi matrici di Pauli). La dimensione minima è N=4. Una possibile scelta è quella della rappresentazione detta di Dirac-Pauli, nella quale la matrice b è diagonale: dove le sk sono le matrici di Pauli e pertanto:

PARTICELLE A MASSA NULLA Notiamo che l'equazione di Dirac: per particelle a massa nulla (m=0), come il neutrino, si riduce a: Per descrivere il sistema, sono dunque sufficienti tre matrici linearmente indipendenti ai (i=1, 2, 3). Pertanto le dimensioni dello spinore diminuiscono a 2 in quanto la dimensionalità più bassa per tre matrici anticommutanti è N=2 e le matrici in questione sono le tre matrici di Pauli. Possiamo dunque assumere: Indicando con s il vettore composto dalle tre matrici: s = (s1, s2, s3), l'equazione di Dirac si riduce a un'equazione a due componenti sole nello spinore yL (detta equazione di Weyl, vedremo meglio dopo il suo significato):