Lezione 9 Invarianze e leggi di conservazione: definizioni generali Teorema di Noether Invarianze e costanti del moto Traslazioni nello spazio Rotazioni nello spazio. Il momento angolare. Lo spin Il gruppo SU(2)

Invarianze e leggi di conservazione Quando una legge fisica non cambia aspetto per effetto di una certa operazione, si parla di simmetria nella natura. “Simmetria”=invarianza delle leggi fisiche rispetto ad una trasformazione. Il TEOREMA DI NOETHER afferma che ad ogni simmetria, quindi ad ogni invarianza delle leggi della fisica per effetto di una certa trasformazione corrisponde una certa quantità conservata. Quando non sono conosciute direttamente le leggi che regolano determinati processi, come solitamente accade nella fisica delle particelle elementari, la scoperta di quantità conservate ci permette di dedurre le invarianze delle leggi fisiche e quindi le caratteristiche delle interazioni. Vi sono due categorie di simmetria: 1) simmetrie dello spazio-tempo: nascono dal fatto che esistono diversi sistemi di riferimento spazio-tempo che sono equivalenti e nei quali le leggi assumono la stessa forma (es. traslazioni, rotazioni); 2) simmetrie interne (es. isospin, carica)

Trasformazione di simmetria = trasformazione che connette due sistemi di riferimento equivalenti. APPROCCIO DI SCHRÖDINGER ALLA MECCANICA QUANTISTICA La funzione d’onda che descrive lo stato evolve nel tempo mentre gli operatori sono fissi. APPROCCIO DI HEISENBERG ALLA MECCANICA QUANTISTICA La funzione d’onda che descrive lo stato è fissa mentre gli operatori evolvono nel tempo. Partendo dall'approccio di Schrodinger, possiamo trovare le leggi che regolano l'evoluzione temporale degli operatori. Nell' approccio di Schrodinger, l’evoluzione di una funzione d’onda da un istante t0 a un istante t è cosi descritta: (1)

Per il principio di sovrapposizione delle onde l’operatore U(t,t0) deve essere lineare. Affinchè sia soddisfatta l’equazione di Schrödinger: dobbiamo avere (sostituendo la (1) nella (2)): (2) I membro eq. (1) (3) II membro eq. (1) (4) Uguagliando la (3) con la (4) otterremo dunque: (5)

L’operatore U(t,t0) è unitario, in quanto: U†=U-1 (N. B. H†=H) L’operatore U(t,t0) è unitario, in quanto: U†=U-1 (N.B. H†=H). Infatti: †  U† U = U U†= 1 In tal modo è garantita la conservazione della norma degli stati durante l’evoluzione temporale, cioè la probabilità si conserva: †

EVOLUZIONE DI UN OPERATORE DINAMICO D Il valore medio dell’operatore DS (S= approccio di Schrodinger, quindi è un operatore statico) nello stato  (t)  è dato da: † DH = U† D U (6) dove DH è l' operatore in rappresentazione di Heisenberg che non è statico (come DS), ma ha una legge di evoluzione temporale. Con tale definizione, la dipendenza temporale degli stati è stata trasferita dai vettori di stato agli operatori. Dal momento che U è un operatore unitario, osserviamo che all'inverso la legge di evoluzione temporale di DS sarà data da: (7) † † †

OPERATORE IN RAPPRESENTAZIONE DI HEISENBERG E QUANTITÀ CONSERVATE Se all’operatore DS è associata una quantità conservata, cioè una costante del moto, allora DS non dipenderà dal tempo cioè (N.B. D/t sta ad indicare la dipendenza esplicita dell’operatore dal tempo): † † † † (8) Dalla (5): † † E quindi: † † † † †

Pertanto se un operatore DS è una costante del moto: Se inoltre esso non presenta dipendenza esplicita dal tempo DS/t=0 :  Un operatore è associato a una costante del moto se esso commuta con l’operatore hamiltoniana del sistema † Questo significa che l’hamiltoniana è invariante rispetto alla trasformazione generata da D. Consideriamo ora alcuni esempi di trasformazioni di simmetria.

Traslazioni nello spazio Consideriamo una traslazione infinitesima delle coordinate spaziali: x  x + dx che modifica la funzione d’onda dello stato nel modo seguente: Ricordando che in meccanica quantistica: l’operatore D che genera una traslazione infinitesima sarà dato da:

Nel caso di traslazioni tridimensionali: una traslazione finita può essere ottenuta applicando successivamente n volte l’operatore di traslazione infinitesima (gruppo di Lie): La trasformazione generata da D è una operazione di simmetria perchè le leggi della fisica devono essere invarianti per traslazioni del sistema di riferimento. Questa invarianza riflette una proprietà di simmetria che è quella della omogeneità dello spazio.

Il fatto che la fisica sia la stessa indipendentemente dalla scelta dell'origine del sistema di riferimento, significa che l' hamiltoniana è invariante per traslazioni spaziali, cioè che l’operatore hamiltoniano e il generatore della traslazione commutano tra loro: Potremo allora dire che la quantità conservata in seguito all' invarianza per traslazioni spaziali è l’ IMPULSO. D è detta rappresentazione del gruppo di simmetria delle traslazioni, generate dall’operatore p. Poichè inoltre le tre componenti dell’impulso soddisfano alle regole di commutazione seguenti: [px, py] = [py, pz] = [pz, px] = 0 il gruppo delle traslazioni è detto ABELIANO ( o commutativo) (ciò significa che il sistema può effettuare prima una traslazione lungo x e poi una lungo y oppure il viceversa ottenendo lo stesso risultato).

Rotazioni nello spazio Consideriamo dapprima una rotazione finita degli assi del sistema di riferimento (O, x, y) di un angolo  sul piano (x,y), che porta gli assi in (O'O, x’,y’). y’ y La relazione tra le coordinate (xP, yP) di un punto nel sistema (O, x, y) e quelle (xP’, yP’) dello stesso punto nel sistema (O, x’, y’) è: xP  xP’ = xP cos  + yP sin  yP  yP’ = -xP sin  + yP cos   yP P(x,y) x’ y’P  x’P x (1) O O’ xP Per rotazioni infinitesime d ~ 0: cos d ~ 1 e sin d ~ d Le (1) diventano: xP  xP’ = xP +    yP yP  yP’ = yP -    xP

Dalla rotazione delle coordinate, la funzione d’onda viene così modificata: Ricordando che in meccanica quantistica: l’operatore D che genera una rotazione infinitesima intorno all’asse z sarà:

Una rotazione finita può essere ottenuta applicando successivamente n volte l’operatore di rotazione infinitesima: Una generica rotazione intorno ad un asse caratterizzato dal versore n sarà descritta dall’operatore: La trasformazione generata da D è una operazione di simmetria perchè le leggi della fisica devono essere indipendenti dalla orientazione degli assi del sistema di riferimento. Questa invarianza riflette una proprietà di simmetria che è quella della isotropia dello spazio.

L’invarianza della hamiltoniana per rotazioni spaziali significa che l’operatore hamiltoniano e il generatore della rotazione commutano tra loro: Ne concludiamo che la quantità conservata in seguito alla invarianza per rotazioni spaziali è il MOMENTO ANGOLARE. La conservazione del momento angolare è, come detto prima, una conseguenza dell' isotropia dello spazio. D è detta rappresentazione del gruppo di simmetria delle rotazioni, generate dall’operatore L. Le tre componenti del momento angolare soddisfano alle regole di commutazione seguenti: [ Li,Lj ] = ieijk Lk il gruppo delle rotazioni non è abeliano perchè i generatori del gruppo non commutano fra loro (cioè l’ordine con cui vengono eseguite due rotazioni non è indifferente).

Rotazioni Abbiamo già parlato del momento angolare intrinseco di cui sono dotate alcune particelle, che è chiamato spin. Se la particella è dotata di spin S ma anche di momento angolare orbitale L, è utile introdurre una nuova quantità, il momento angolare totale dato dalla somma dei due: e le cui componenti soddisfano alle stesse regole di commutazione viste prima: [ Ji, Jj ] = i eijk Jk La quantità che si conserva in tal caso non sono i momenti angolare orbitale e di spin separatamente ma la loro somma totale. J sarà dunque il generatore delle rotazioni.

Le proprietà del gruppo delle rotazioni sono definite dalle proprietà delle trasformazioni infinitesime (gruppo di Lie). In particolare le proprietà delle trasformazioni sono completamente definite dalle relazioni di commutazione a cui soddisfano i generatori: [ Ji, Jj ] = i eijk Jk I coefficienti eijk sono detti "costanti di struttura" del gruppo. L'operatore J2 commuta con tutti e tre i generatori del gruppo: [ J2,Ji] = 0 i=x,y,z Un operatore che commuta con tutti i generatori di un gruppo (il gruppo delle rotazioni) è detto OPERATORE DI CASIMIR: pertanto J2 è l’operatore di Casimir del gruppo delle rotazioni. Dal momento che gli operatori J2 e Ji commutano è sempre possibile costruire un sistema di stati che siano simultaneamente autostati di J2 e di uno dei tre generatori (convenzionalmente viene scelto Jz). La base per tali autostati è costituita dalle funzioni armoniche sferiche Ylm(, ): J2  j, m  = ħ2 j(j+1)  j, m  j = intero o semiintero Jz  j, m  = ħ m  j, m  m = -j, -j+1,..., j-1, j

Se l’hamiltoniana dell’interazione è invariante per rotazioni, cioè: [H, Jz] = [H, J2] = 0 gli autostati di H saranno anche autostati di J2 e Jz: H  n, j, m  = En  n, j, m  J2  n, j, m  = ħ2 j(j+1)  n, j, m  j = intero o semiintero Jz  n, j, m  = ħ m  n, j, m  m = -j, -j+1,..., j-1, j

OPERATORI DI INNALZAMENTO E DI ABBASSAMENTO È utile introdurre i seguenti operatori ottenuti dalla combinazione lineare degli operatori Jx, Jy e Jz: J+ = Jx + i Jy operatore di innalzamento J- = Jx - i Jy operatore di abbassamento A partire dalle proprietà di commutazione di Jx,y,z : [ Jx,Jy ]=i e123 Jz = i Jz [ Jy,Jz ]=i e231 Jx = i Jx [ Jz,Jx ] = i Jy si può dimostrare che: [Jz, J±] = ± J± Infatti (per esempio): [Jz, J+] = [Jz, Jx+i Jy ] = [Jz, Jx] + i [Jz, Jy ] = i Jy + Jx = J+  Jz ·J+ - J+· Jz = J+  Jz ·J+ = J+· Jz + J+

Se prendiamo allora lo stato ottenuto applicando J+ a un autostato di J2 e Jz cioè: J+  j, m  e vi applichiamo l’operatore Jz otteremo: Jz (J+  j, m  ) = (J+· Jz + J+)  j, m  = J+ (Jz + 1)  j, m  = J+ (m + 1)  j, m  = (m + 1) J+  j, m  Pertanto lo stato J+  n j m  è ancora autostato di Jz ma con autovalore m +1 della terza componente (da qui il nome “operatore di innalzamento”). Analogamente avremo per l’operatore J-: Jz (J-  j, m  ) = (m - 1) J-  j, m  cioè lo stato J-  j, m  è ancora autostato di Jz ma con autovalore m-1 della terza componente (da qui il nome “operatore di abbassamento”).

Pertanto potremo dire che lo stato J+  j, m  è proporzionale allo stato  j, m+1  (a meno di fattore di proporzionalità C+m) e cosi pure lo stato J-  j, m  rispetto allo stato  j, m -1  : J+  j, m  = C+m  j, m +1  J-  j, m  = C-m  j, m -1  Dal momento che m=+j è il valore più alto accessibile per m e m=-j è quello più basso, dovrà essere: C+ = 0 per m =+ j C- = 0 per m = - j

Per trovare le altre costanti di proporzionalità (a meno di una costante di fase arbitraria), notiamo che (se gli stati  j, m  sono normalizzati): 1) applicando l’operatore J+ allo stato a destra:  j, m  J+  j, m-1  =  j, m  C+m-1  j, m  = C+m-1 2) applicando l’operatore J+ allo stato a sinistra (ricorda che: J+†= J-):  j, m  J+ = C-m  j, m-1   j, m  J+  j, m-1  =  j, m-1  C-m  j, m-1  = C-m Pertanto: C+m-1 = C-m

Consideriamo allora lo stato ottenuto applicando dapprima J+ e poi J- allo stato  j, m  : J- J+  j, m  = C+m J-  j, m+1  = C+m C-m+1  j, m  =  C+m  2  j, m  Dalle relazioni di commutazione segue che: J2 = Jx2+ Jy2 + Jz2 = Jz2 + (Jx + i Jy) (Jx - i Jy) + i Jx · Jy - i Jy · Jx = = Jz2 + J+ · J- + i [Jx, Jy] = Jz2 + J+ · J- - Jz  J+ · J- = J2 - Jz2 + Jz = J2 - Jz (Jz-1) (e analogamente) J- · J+ = J2 - Jz2 - Jz = J2 - Jz (Jz+1) Da un lato avremo: J- · J+  j, m  = (J2 - Jz2 - Jz)  j, m  = [j (j+1) - m2 - m]  j, m  = = [j (j+1) - m (m + 1)]  j, m  e dall’altro: J- J+  j, m  =  C+m  2  j, m    C+m  = [j (j+1) - m (m + 1)] 1/2

Riassumendo pertanto avremo: J2  j, m  = j (j+1)  j, m  Jz  j, m  = m  j, m  J  j, m  = [j (j+1) - m (m  1)] 1/2  j, m  1  Per ogni valore possibile di j esistono 2j+1 stati diversi con diversi valori di m: -j  m  j  m = -j, -j+1, ..., j-1, j Si dice dunque che lo stato con momento angolare j ha "degenerazione" 2j+1. Gli stati con uguale valore di j e diverso valore di m formano quello che viene chiamato un multipletto. Es.: se j= 0  m = 0 singoletto se j= 1/2  m = -1/2, +1/2 doppietto se j= 1  m = -1, 0, 1 tripletto se j= 3/2  m = -3/2, -1/2, 1/2, 3/2 quadrupletto

Abbiamo già parlato della somma di più momenti angolari, che può essere la somma dei momenti angolari di più particelle tra loro che compongono un unico sistema oppure somma del momento angolare orbitale e di spin per una stessa particella: J = J1 + J2 Questo operatore è ancora un momento angolare che soddisfa alle solite regole di commutazione. Può essere descritto sia in termini delle basi degli operatori J1 e J2 ( j1, m1  e  j2, m2  ) o in termini di una nuova base  j, m  che può essere espressa in termini delle vecchie basi attraverso i cosiddetti coefficienti di Clebsch-Gordan: dove:  j1- j2   j  j1+ j2 m = m1 + m2

Il gruppo SU(2) Come abbiamo già accennato, una rotazione in uno spazio non continuo ma su coordinate intrinseche può dare luogo a numeri quantici anche semi-interi. L’operatore che realizza una rotazione in questo spazio è detto operatore di spin. I generatori della rotazione sono Sx, Sy e Sz che soddisfano le stesse regole di commutazione del momento angolare viste prima: [ Si, Sj ] = i eijk Sk Se il sistema può assumere unicamente due stati, cioè si tratta di un doppietto di spin, poichè la degenerazione dello stato con spin s è: 2s + 1 = 2, ciò vuol dire che s = 1/2 e ms = -1/2, 1/2: Le matrici di Pauli sono una possibile rappresentazione:

e gli operatori Sx, Sy, Sz sono legati alle matrici di Pauli dalle relazioni: Si = 1/2 i i = 1, 2, 3 Gli operatori S+, S- sono dati da: S = Sx  i Sy Pertanto gli elementi di matrice di Sz, S+, S- sono dati da: Gli autostati di S2 ed Sz sono: S2  s, ms  = 3/4  s, ms  Sz  s, ms  =  1/2  s, ms 

† L’insieme di tutte le matrici 2x2 unitarie cioè tali che: U† = U-1  U† U = U U † = 12x2 è chiamato gruppo U(2). Le trasformazioni unitarie conservano la norma degli stati: † Se la matrice U è unitaria essa può essere rappresentata come: U = exp(i X) dove la matrice X è hermitiana (X† = X). In tal caso infatti la matrice aggiunta di U e quella inversa di U coincidono: U † = exp(-i X † ) = exp(-i X ) U-1 = exp(-i X )  U † = U-1

Inoltre: det (U† U) = det (12x2) = 1= (det U†) (det U) = (det U)*(det U) = |det U|2  |det U|2 = 1  det U = e i con  reale La fase  non ha una grande importanza in quanto corrisponde solo ad una rotazione globale dello stato |. Il gruppo particolare avente =0 (e quindi det U = 1) è detto gruppo speciale delle rotazioni o unimodulare ed è indicato con la notazione SU(2). Visto che: U = exp(i X ) avremo: det U = det [exp(i X )] = exp(i Tr(X)) = 1  Tr(X) = 0  I generatori hermitiani di trasformazioni unimodulari sono a traccia nulla

Pertanto poichè le matrici di Pauli sono hermitiane e a traccia nulla, il set di matrici: forma una rappresentazione di SU(2). Il gruppo SU(2) e il gruppo delle trasformazioni di fase citato prima U(1) = eif1 componendosi tra loro formano il più generale gruppo delle rotazioni unitarie non unimodulari U(2): U(2) = SU(2)  U(1)

Come abbiamo già visto, stati a dimensione maggiore si possono ottenere componendo fra di loro stati a dimensionalità 2: Es: S1 = ½ S2 = ½  S = S1 + S2  -  S1 - S2   S  S1 + S2  1) S = 0 -S  MS  +S  MS = 0 un solo stato possibile: STATO DI SINGOLETTO DI SPIN  A (s=0 ms =0) = 1/2 [  (1)  (2) -  (1)  (2) ] 2) S = 1 -S  MS  +S  MS = 0, 1 tre stati possibili: STATO DI TRIPLETTO DI SPIN  S (s=1 ms =+1) =   (1)   (2)  S (s=1 ms =0) = 1/2 [  (1)  (2) +  (1)   (2) ]  S (s=1 ms =-1) =  (1)  (2) Si tratta in totale di quattro stati ottenuti dalla composizione di due particelle a spin 1/2 (cioè 2  2) che vengono scomposti su una base a 3 stati e a uno stato: 2  2 = 3  1 Tale decomposizione è detta rappresentazione irriducibile.