Lezione 5 Equazioni di Maxwell nel vuoto e in presenza di sorgenti. Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell.

Equazioni di Maxwell nel vuoto Le equazioni di Maxwell scritte in termini dei campi E e B descrivono il campo elettrico e magnetico nel vuoto o in presenza di sorgenti in modo non relativisticamente covariante. Nel vuoto, adoperando il sistema di Gauss, le equazioni assumono la forma seguente:

Introduciamo il potenziale scalare A0 e il potenziale vettore e A tali che: Essi non sono univocamente determinati dalle relazioni (1) e (2). In termini di questi due potenziali, la II e la III equazione di Maxwell sono identicamente verificate, in quanto:

In termini di questi due potenziali, la I e la IV equazione di Maxwell diventano: Il potenziale vettore e il potenziale scalare sono definiti a meno di trasformazioni dette di gauge, che lasciano invariati i campi elettrico e magnetico E e B: dove y è una funzione scalare.

Sfruttiamo il grado di libertà su A0 e A per imporre che sia (gauge di Lorentz): E in tal modo le equazioni (3) e (4) diventano equazioni delle onde per A0 e A:

Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell Possiamo ora esprimere le equazioni di Maxwell in una forma relativisticamente covariante. Il potenziale scalare e il potenziale vettore sono considerabili come le componenti temporale e spaziale di un unico quadrivettore, così definito: Introduciamo il concetto di tensore Tmn a due indici: esso è definito come una matrice i cui elementi si trasformano così, sotto una trasformazione di Lorentz: N.B. La ripetizione di un indice sottintende una somma su tutti i possibili indici. Pertanto gli indici che sono ripetuti, cioè sommati, non appaiono nel risultato finale dell’operazione; tali indici si dicono contratti; quelli non ripetuti compaiono nel risultato finale e sono detti indici liberi.

Definiamo il tensore del campo e.m. Fmn : (6) In componenti ciò significa:

Analogamente per il tensore con gli indici in basso:

La I e la IV equazione di Maxwell possono essere riassunte in forma relativisticamente covariante nel modo seguente: Infatti la (7) in componenti significa:

Definiamo ora Fmn , il tensore duale del campo : La II e la III eq. di Maxwell possono essere ricavate dall’eq.:

Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell in presenza di sorgenti In presenza di sorgenti le equazioni di Maxwell si trasformano cosi: Definiamo la quadricorrente jm In tal modo le equazioni di Maxwell assumono la forma relativisticamente covariante (N.B. si dice covariante un’equazione la cui dipendenza dalle variabili non cambia per effetto delle trasformazioni di Lorentz) :

FORMULAZIONE TENSORIALE DELL’ EQUAZIONE DI CONTINUITÀ In termini della quadricorrente, l’equazione di continuità dell’elettromagnetismo: può essere così riespressa: Anche la condizione che definisce il gauge di Lorentz: può essere così riformulata: