Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 13 Modelli Media Varianza

Utilità attesa e modello media-varianza Nella teoria dell’utilità attesa, le scelte di investimento vengono ordinate sulla base di due funzioni La funzione di probabilità del rendimento degli investimenti La funzione di utilità che descrive la propensione al rischio dell’investitore Nel modello più noto di allocazione del portafoglio le scelte tra diversi investimenti vengono caratterizzate in termini di rendimento atteso e varianza: è il cosiddetto modello media-varianza Il modello media-varianza è una rappresentazione precisa del problema di utilità attesa solo nei casi in cui La funzione di utilità è quadratica La distribuzione dei rendimenti è normale Negli altri casi la rappresentazione in termini di media e varianza è un’approssimazione dell’utilità attesa, basata su un’espansione di Taylor intorno al rendimento medio e arrestata al secondo ordine.

Il modello media-varianza In un modello media-varianza dobbiamo definire L’insieme delle combinazioni di titoli che garantiscono le migliori combinazioni rischio-rendimento atteso. Domanda: qual è il rischio più basso che possiamo conseguire per ogni target di rendimento atteso? Riportando queste relazioni su un grafico otteniamo la frontiera efficiente L’insieme delle combinazioni di rischio e rendimento che determinano lo stesso grado di utilità. Domanda: quanto rendimento atteso in più richiediamo per compensare un aumento del rischio della nostra posizione, in modo che la nostra utilità attesa resti immutata? Riportando queste relazioni su un grafico otteniamo l’isoquanto della funzione di utilità. Il portafoglio ottimo sarà quella combinazione di titoli che appartiene alla frontiera efficiente e che consente di raggiungere il livello di utilità più alto possibile. Graficamente il portafoglio ottimo ha rendimento atteso e varianza corrispondenti al punto di tangenza dell’isoquanto della funzione di utilità e della frontiera efficiente.

Utilità attesa e modelli media varianza Secondo l’utilità attesa, le scelte di investimento sono ordinate sulla base di due funzioni La distribuzione di probabilità della lotteria La funzione di utilità che determina la preferenza per il rischio Nel modello più noto (media-varianza) le scelte sono ordinate secondo i primi due momenti (media e varianza, appunto)

Modelli media varianza Il modello media varianza fornisce una rappresentazione rigorosa e completa della scelta solo nei casi in cui La funzione di utilità è quadratica La distribuzione dei rendimenti è normale. In tutti gli altri casi la rappresentazione media varianza rappresenta un’approssimazione, basata su un’espansione di Taylor.

Costruire un modello media-varianza In un modello media varianza definiamo L’insieme dei portafogli che danno la migliore combinazione rischio rendimento Domanda: qual è il rischio minore raggiungibile per un dato obiettivo di rendimento atteso? Tracciare la frontiera efficiente L’insieme dei portafogli che danno lo stesso livello di utilità. Domanda: quanto rendimento richiediamo per accettare un aumento di un’unità di rischio? Tracciare un grafico delle curve di livello della funzione di utilità

Il portafoglio ottimale Il portafoglio ottimale è la combinazione di attività finanziarie che giace sulla frontiera efficiente e che consente all’investitore di raggiungere il maggore livello di utilità possibile. Graficamente, il portafoglio ottimale è quello con rendimento atteso e varianza corrispondente al punto di tangenza della curva di livello dell’utilità attesa con la frontiera efficiente.

Costruzione della frontiera efficiente Obiettivo: portafoglio efficiente: ha il minor rischio possibile, misurato con lo standard error P Vincoli tutta la ricchezza deve essere investita in qualche attività finanziaria in media il portafoglio deve avere un rendimento target pari a P.

Trade-off rischio/rendimento Obiettivo Il livello più alto della funzione di utilità Vincolo: Il portafoglio deve appartenere alla frontiera efficiente

Modello con un titolo rischioso ed uno privo di rischio Assumiamo che le possibilità di investimento disponibili nell’economia consistano in due soli titoli: Un titolo privo di rischio (risk-free), con rendimento i e volatilità zero Un titolo rischioso con rendimento atteso E(r ) e volatilità  . Calcoliamo il rendimento atteso e la volatilità di una strategia di allocazione del portafoglio che consiste nell'impiego di una quota  della ricchezza nel titolo rischioso e della quota rimanente (1 - ) nel titolo privo di rischio:

Curva d’indifferenza media-varianza Espandiamo l’utilità attesa intorno alla ricchezza media. E(U(W)) = U()+0.5 U’’()2 dove  è la media della ricchezza e 2 è la varianza. La curva d’indifferenza (trascurando U’’’ ) è rappresentata da dE(U(W)) = U’()d + U’’()d  = 0 da cui d/ d = – (U’’()/ U’()) = ARA 

Frontiera efficiente Nel modello con un titolo rischioso ed uno privo di rischio la frontiera efficiente è Poiché l’inclinazione dell’isoquanto della funzione di utilità è ARAP la scelta ottima è

Il portafoglio ottimo Il portafoglio ottimo nel punto di tangenza tra frontiera efficiente e isoquanto della funzione di utilità è quindi ricavato come …e l’investimento nel titolo rischioso è tanto minore quanto maggiore è l’indice di l’avversione al rischio assoluta ARA

Rendimento e rischio del portafoglio ottimo

Modello con due titoli rischiosi Assumiamo che le opportunità di investimento nell’economia siano rappresentate da due attività i = 1,2, con rendimento atteso E(ri) e volatilità i Calcoliamo il rendimento atteso ed il rischio di una strategia di allocazione del portafoglio con l’investimento di una quota di ricchezza  nel primo titolo rischioso e il resto nel secondo:

Correlazione perfetta