Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 16 Teorema della separazione dei fondi

Modello con N titoli rischiosi Assumiamo di investire un’unità di ricchezza, in un insieme di N titoli rischiosi, con rendimento atteso dato dal vettore  matrice di covarianza V. Le migliori allocazioni del portafoglio possibili sono l’insieme dei vettori w che risolvono il problema (e è il vettore unità)

La soluzione La soluzione è …e dobbiamo ricavare i moltiplicatori di Lagrange dai vincoli

Teorema di separazione dei fondi Ri-scriviamo il portafoglio ottimale come

Separazione dei due fondi E’ immediato verificare che Sia w0 che w1 sono portafogli (e’w0 = e’w1 =1) Sia w0 che w1 sono sulla frontiera efficiente. Più specificamente, w1 è il portafoglio di minimo rischio globale w0 è il portafoglio sulla frontiera efficiente ottenuto congiungendo l’origine con il portafoglio di minima varianza

Quali fondi, e perché due? Quali fondi possono essere utilizzati per reolicare i portafogli efficienti? Solo w0 e w1? No, ovviamente qualunque altra combinazione di w0 e w1 potrebbe essere utilizzata Perché abbiamo ottenuto due fondi? Dalla derivazione matematica, perché abbiamo imposto due vincoli.

Allocazione del portafoglio con copertura Supponiamo di includere altri vincoli nella strategia di allocazione del portafoglio (esempio, vogliamo che il portafolgio abbia un obiettivo di sensitività a qualche fattore di rischio). Allora otteniamo

La soluzione La soluzione è

Teorema di separazione di S+2 fondi Procediamo come prima otteniamo

Modello con N titoli rischiosi ed uno privo di rischio Assumiamo di investire un’unità di ricchezza, in un insieme di N attività rischiose, con rendimento atteso dato dal vettore  e matrice di covarianza V e un titolo non rischioso che garantisce un rendimento pari a Rf Il problema di allocazione del portafoglio

La soluzione La soluzione è ottenuta con la stessa tecnica di prima

Separazione dei due fondi Troviamo ancora un teorema di separazione dei due fondi (due perché ricordiamo che formalmente abbiamo ancora due vincoli anche se uno è sostituito nella funzione obiettivo). Ogni allocazione del portafoglio può essere rappresentata come

Modello con N titoli rischiosi ed uno privo di rischio In un modello con N titoli rischiosi ed uno privo di rischio la determinazione della frontiera efficiente conduce a una relazione lineare. Anche in questo caso otteniamo un risultato di separazione dei fondi: rendimento e rischio di un qualsiasi portafoglio sulla frontiera efficiente possono essere ottenuti con un portafoglio composto da Una posizione nel titolo privo di rischio Una posizione in un portafoglio composto di soli titoli rischiosi