Trasformazioni 2D e 3D Daniele Marini
Ambiente Spazio affine, coordinate omogenee 3D Matrici traslazione, scala, rotazione, shear: prodotto matrice vettore colonna (il punto)
Concetti base Spazio vettoriale lineare: operazioni di somma tra vettori Campo scalare e operazioni prodotto vettore x scalare Spazio affine: addizione vettore - punto; l’operazione di sottrazione punto-punto produce un vettore
Matrici
Traslazione, Rotazione e Scala sul piano espresse come trasformazioni nello spazio di coordinate omogenee 3D Il vettore trasformato si ottien premoltiplicando il vettore originale per la matrice di trasformazione: v’=Tv
traslazione scala
rotazione attorno all’origine rotazione attorno al centro dell’oggetto: prima traslare poi ruotare poi contro-traslare
x’=r cos(a+b) = r cos a cos b - r sin a sin b = x cos b - y sin b (x’,y’) (x,y) (x’,y’) a (x,y) a b x=r cosa y=r sina x’=r cos(a+b) = r cos a cos b - r sin a sin b = x cos b - y sin b y’=r sin(a+b) = r cos a sin b - r sin a cos b = x sin b + y cos b
Trasformazioni conformi preservano relazioni angolari considerare punti come numeri complessi anamorfosi conica: z’=r/z
Trasformazioni di Mœbius z’ = (az+b)/cz+d) con: ad-bc ≠ 0 al variare dei coefficienti si hanno: scala, rotazione, traslazione, inversione, ...
3D Ambiente: spazio coordinate omogenee 4D matrici, prodotto vettore per matrice
Rotazione attorno a un punto e a un asse generico: Composizione di trasformazione come prodotti successivi di matrici. Attenzione all’ordine: non commutatività delle trasformazioni Trasformazioni di modellazione: gerarchia di modello e gerarchia di trasformazioni mediante gestione a stack.