Progetto Lauree Scientifiche DINAMICA DI POPOLAZIONI Liceo Statale A. Meucci Aprilia (LT) Anno Scolastico 2007/2008

Indice Modello a due età Modello a tre età Domande Parallelismo Esempi a due fasce Esempi a tre fasce Gli elefanti di mare di Año Nuevo

Popolazione ripartita in due età Consideriamo una popolazione ripartita in due soli classi di età: {n1(t), n2(t)} giovani e adulti, con coefficienti di fertilità f1 e f2. La popolazione totale al tempo t è n(t)=n1(t)+n2(t) p1 è la probabilità che un individuo della prima classe di età sopravviva e raggiunga la seconda. Il vettore profilo costituito dalle percentuali del numero di individui per fascia è (g(t), a(t)) = (n1(t)/n(t), n2(t)/n(t))

Modello a due età Levoluzione della popolazione può essere modellizzata: Usando la scrittura matriciale = dove è detta matrice di Leslie del modello a due fasce di età.

Popolazione ripartita in tre fasce di età Se la popolazione è ripartita in tre classi di età: {n1(t), n2(t), n3(t)} bambini, giovani e adulti, con coefficienti di fertilità f1 e f2 e f3. La popolazione totale al tempo t sarà n(t)=n1(t)+n2(t)+n3(t) p1 è la probabilità di passare dalla prima alla seconda fascia, p2 è la probabilità di passare dalla seconda alla terza fascia. Il vettore profilo, costituito dalle percentuali del numero di individui per fascia, è (b(t), g(t), a(t)) = (n1(t)/n(t), n2(t)/n(t), n3(t)/n(t))

Modello a tre età L'evoluzione di una popolazione a tre fasce d'età è: Usando la scrittura matriciale = dove è detta matrice di Leslie del modello a tre fasce di età.

Domande Se è il vettore colonna della popolazione e A = la matrice di Leslie, si può scrivere I vettori e sono paralleli tra loro? Cambiano direzione in relazione al tempo t e alle condizioni iniziali? Come si evolve la popolazione totale? Come si evolve il vettore profilo?

Il parallelismo Essendo // e quindi ovvero Un sistema lineare omogeneo ha soluzione non banale se det (A – λI) = 0 detta equazione caratteristica della matrice A Ogni soluzione λ di questa equazione si chiama autovalore della matrice A I vettori tali che si dicono autovettori relativi all'autovalore λ. Gli unici numeri λ per i quali // sono gli autovalori della matrice di Leslie A

Esempi a due fasce di età Esempio 1 A = con (n1(0), n2(0)) = (7, 40) La popolazione totale oscilla Il vettore profilo oscilla det (A – λI) = λ² – 1 = 0 λ = ± 1 L'autovettore relativo all'autovalore λ = 1 è = (2y, y) Se modifichiamo con (n1(0), n2(0)) = (20, 10) La popolazione diventa stabile Il profilo converge a (67, 33)

Esempio 2 A = con (n1(0), n2(0)) = (7, 40) La popolazione cresce Il profilo oscilla det (A – λI) = λ² – 2 = 0 λ = ± 2 L'autovettore relativo all'autovalore λ = 2 è = (4y, y) Se modifichiamo il vettore delle condizioni iniziali con (n1(0), n2(0)) = (40, 10) La popolazione continua a crescere Il profilo converge a (80,20)

Esempio 3 A = con (n1(0), n2(0)) = (7,40) La popolazione decresce Il profilo oscilla det (A – λI) = λ² – 1/4 = 0 λ = ± 1/2 L'autovettore relativo all'autovalore λ = 1/2 è = (y, y) Se modifichiamo le condizioni iniziali con (n1(0), n2(0)) = (10, 10) La popolazione continua a decrescere Il profilo converge a (50,50)

Esempi a tre fasce di età Esempio 4 A = con (n1(0), n2(0), n3(0)) = (2, 2, 1). la popolazione cresce e il profilo converge a (66, 27, 7). Sostituendo al vettore iniziale (n1(0), n2(0), n3(0)) = (66,27, 7) otteniamo la crescenza della popolazione e la convergenza immediata del vettore profilo

Esempio 4 è detta di Bernardelli A = e genera il modello Se (n1(0), n2(0), n3(0)) = (2, 1, 1), la popolazione oscilla, così come il profilo, con periodo 3. det (A- λI) = λ³ - 1 = 0 λ=1 è l'unico autovalore reale (gli altri due sono complessi coniugati e di modulo 1) L'autovettore relativo a λ=1 è = (8z, 4z, z) Se (n1(0), n2(0), n3(0)) = (8, 4, 1) La popolazione diventa stabile e il profilo converge all'autovettore (62, 31, 8)

Conclusioni La popolazione cresce quando la matrice di Leslie ha un autovalore dominante di modulo maggiore di 1 La popolazione decresce quando la matrice di Leslie ha gli autovalori di modulo minore di 1 In entrambi i casi precedenti il vettore profilo converge ad un autovettore. Se le condizioni iniziali sono un autovettore, il profilo converge immediatamente. La popolazione oscilla,anche con delle periodicità, se gli autovalori sono tutti di modulo 1. Il profilo oscilla se gli autovalori sono di segno opposto, ma converge se si parte con un autovettore. Nel caso di profilo oscillante e popolazione oscillante, se il dato iniziale è un autovettore, allora la popolazione si stabilizza e il profilo converge all'autovettore.

GLI ELEFANTI DI MARE

Gli elefanti di mare in tre fasce d'età Siamo partiti per ogni fascia dalla popolazione relativa agli anni 0, 5, 10. f1 = 0 f2 = 0,99921 f3 = 5,79773 p1 = 264/1000 = 0,264 p2 = 41/264 = 0,1553 (n1(0), n2(0), n3(0))= (1000, 264, 41) La popolazione decresce e il profilo converge a (70, 25, 5) Se (n1(0), n2(0), n3(0))=(70, 25, 5) la convergenza del profilo è immediata

Gli elefanti di mare in tre fasce d'età Abbiamo sviluppato il modello a tre fasce d'età anche partendo dalla popolazione relativa agli anni 2, 7, 12. f1 = 0 f2 = 1,89778 f3 = 21,06972 p1 = 139/396 = 0,35101 p2 = 11/139 = 0,07913 (n1(0), n2(0), n3(0))= (396, 139, 11) La popolazione cresce e il profilo converge a (74, 24, 2) Se (n1(0), n2(0), n3(0))=(74, 24, 2) la convergenza del profilo è immediata

Considerazioni sul modello a tre fasce Abbiamo implementato anche i modelli a tre fasce scegliendo come anni di riferimento per ciascuna fascia rispettivamente Anni 1, 6, 11 Anni 3, 8, 13 Anni 4, 9, 14 In tutti e tre i casi la popolazione cresce negli anni e il profilo converge ad un autovettore. Probabilmente la scelta degli anni iniziali 0, 5 e 10 come rappresentativi di ogni fascia rendeva instabile la popolazione.

Modello a 14 fasce per gli elefanti marini Abbiamo implementato anche il modello a 14 fasce: Siamo partiti dal vettore (1000, 490, 396, 324, 283, 264, 202, 139, 104, 69, 41, 14, 11, 8). Relativamente ad ogni anno abbiamo preso come fattore di fertilità e come probabilità di sopravvivenza i dati indicati in tabella: Il modello ci ha dato una popolazione decrescente e un profilo che dopo parecchie iterazioni converge al vettore (25, 13, 11, 10, 9, 9, 7, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 0); Inserendolo come vettore di partenza abbiamo ottenuto una convergenza immediata del profilo.

Modello a quattordici fasce