Parabola Dato un punto F del piano F d ed una retta d si dice parabola l’insieme dei punti del piano equidistanti dal punto F e dalla retta d

Parabola punto per punto Disegniamo i punti che hanno la stessa distanza dal fuoco F e dalla retta d

Ogni punto è determinato dall’eguaglianza fra le distanze punto-retta punto-fuoco fuoco F direttrice Per ogni punto il valore delle distanze(=raggio) è diversa, tranne che . . . fuoco F direttrice

L’insieme dei punti (parabola) ha un punto particolare detto vertice è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria Asse di simmetria F fuoco V vertice

Rappresentazione della parabola nel piano cartesiano 4 2 6 8 10 F V Se nel piano inseriamo un sistema di assi cartesiani si ha la rappresentazione a fianco della parabola. Il fuoco F e il vertice V sono punti,ognuno con le sue coordinate, l’asse di simmetria è una retta parallela all’asse y.

I punti della parabola sono costruiti sull’eguaglianza delle distanze dal fuoco e dalla direttrice

Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverse per posizione . . .

. . . e per ampiezza

I punti di una parabola soddisfano tutti la proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo determinarne l’equazione. 5 10 4 2 6 8 F P

Equazione generica della parabola a,b,c  R Asse di simmetria parallelo asse y a,b,c  R Asse di simmetria parallelo asse x Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y

Variazione dei grafici al variare dei coefficienti a,b,c  R Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori a,b,c Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano cartesiano le parabole : Esercizio 1 Esercizio 2

Concavità a>0 a<0 Si ottengono i grafici Esercizio 1 Esercizio 2 10 5 Esercizio 2 Concavità a>0 a<0

Vertice Esercizio 3 Al variare di a e b varia la posizione dell’ascissa del vertice, che ha infatti coordinate : Esercizio 4

Esercizio 5 Al variare di c varia la posizione del vertice per quanto riguarda l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato

Intersezioni con gli assi Esercizio 6

Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ? Per determinare il punto d’intersezione con l’asse y si risolve il sistema x = 0 P(0,c) Per determinare i punti d’intersezione con l’asse x si risolve il sistema Y = 0 Si ottiene un’equazione di 2° grado in x le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti d’intersezione

La parabola ha due punti d’intersezione con l’asse x Se b2-4ac> 0 La parabola ha un punto d’intersezione con l’asse x Se b2-4ac= 0 La parabola non ha punti d’intersezione con l’asse x Se b2-4ac< 0

Inoltre y=ax2+bx La parabola passa per l’origine y=ax2+c Se c=0 y=ax2+bx La parabola passa per l’origine Se b=0 y=ax2+c La parabola ha il vertice sull’asse y Se b=0 e c=0 y=ax2 La parabola ha il vertice nell’origine

equazione asse di simmetria Formule y=ax2+bx+c vertice 4 2 6 8 10 F V fuoco direttrice equazione asse di simmetria

Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano Determinare le coordinate del vertice V 4 2 Determinare l’equazione dell’ asse di simmetria Determinare le coordinate degli eventuali punti d’intersezione con gli assi Determinare le coordinate di qualche altro punto, anche tenendo presente la simmetria V Rappresentare punti e asse nel piano : essi caratterizzano il grafico

Per farle a casa Una torcia elettrica accesa posta perpendicolarmente ad una parete la illumina formando un cerchio Le coniche si ottengono intersecando un cono ed un piano : in questo caso il cono è il fascio di luce ed il piano è la parete. Se incliniamo la torcia si ottiene un’altra figura luminosa : l’ellisse. Inclinando maggiormente la torcia, la linea esterna della parte illuminata diventa una parabola Ruotando ancora di più si ottiene un ramo di iperbole.

Parabola : applicazioni e meccanismi Moto di un proiettile Fontane Fuochi artificiali Ponti sospesi Proprietà focali della parabola Specchi ustori Antenna parabolica Fari dei porti Fari auto, flash, proiettori

FINE