Laboratorio “Matematica dell’incerto” Anno scolastico 2010/11 Liceo Scientifico LICEO SCIENTIFICO con opzione SCIENZE APPLICATE Liceo Classico “Federico Quercia” Marcianise

La Matematica dell’Incerto Nel mondo in cui viviamo gli eventi incerti sono molto più frequenti di quelli certi o impossibili. È in situazioni di incertezza che si devono fare scelte e prendere decisioni. Quindi è importante familiarizzare con l’idea che un avvenimento può essere possibile, senza per questo essere certo. Da qui nasce la necessità di sviluppare uno strumento per misurare questa incertezza che chiamiamo Teoria della Probabilità. Dove per probabilità si intende la misura del grado di fiducia in un evento.

Il laboratorio L’obiettivo del nostro laboratorio è stato quello di avvicinare gli alunni al concetto di incertezza matematica e, quindi, al concetto di probabilità stimolando la loro curiosità e chiedendo la soluzione di problemi, legati alla realtà, il cui esito non può essere previsto in anticipo. Gli alunni divisi in gruppi hanno realizzato esperimenti, raccogliendo dati, su cui si sono poi basate le discussioni per l’interpretazione dei risultati ottenuti. Per meglio comprendere l’andamento di alcune situazioni si sono anche realizzati simulazioni al computer. Infine, si sono anche studiate e discusse alcune problematiche che più volte sono state affrontate nella storia della matematica come il calcolo di aree e la determinazione di .

Il laboratorio Le attività del laboratorio sono state divise in 5 fasi nel seguente modo: Fase 1: Test sull’intuizione probabilistica (2h) Fase 2: Studio di un caso pratico (Lancio di dadi) e simulazioni al computer (4h) Fase 3: Ricerca sulla Storia della Probabilità (4h) Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede con il Metodo di Montecarlo (2h) Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon (2h)

Fase 1: intuizione del concetto di probabilità L’obiettivo di questa fase è stato quello di arrivare alle varie definizioni di probabilità, rispondendo in maniera intuitiva a quesiti e problemi su cui poi si è discusso tutti insieme. Questo modo di lavorare ci ha permesso di guardare la matematica da un punto di vista più pratico e meno teorico e di acquisire un metodo di lavoro di gruppo, aumentando inoltre le nostre conoscenze.

Fase 1: intuizione del concetto di probabilità Alla fine dopo la discussione tra di noi e sotto la guida del professore siamo arrivati alla distinzione tra le tre definizioni di probabilità. Definizione classica Probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero f dei casi favorevoli e il numero n degli eventi possibili cioè: P(E)= f/n 0 < P(E) <1 Gli eventi devono avere tutti la stessa probabilità di accadere, cioè essere equiprobabili.

Fase 1: intuizione del concetto di probabilità Definizione frequentistica Relativamente ad un esperimento A, che può essere osservato molte volte, la probabilità di un evento E è il valore a cui tende il rapporto tra il numero di prove che hanno avuto esito favorevole ad E ed il numero totale di prove fatte. Anche in questo caso 0 < P(E) <1

Fase 1: intuizione del concetto di probabilità Definizione soggettiva Né il modello classico né il modello statistico sono in grado di dare valutazioni di probabilità su eventi che ci coinvolgono direttamente o che non possono essere ripetuti nelle stesse condizioni. Ad esempio non è possibile stabilire chi vincerà fra quattro giocatori di una partita di poker, perché ogni partita è diversa dall’altra e anche la fortuna gioca un ruolo importante. Inoltre non ha senso parlare di rapporto fra casi favorevoli e casi possibili, perché questo significherebbe dire che ogni giocatore ha esattamente le stesse possibilità di vincere. La probabilità diventa in questo caso una misura della fiducia che noi riponiamo nel fatto che si verifichi o meno un certo evento; tale fiducia si può misurare in termini di somma di denaro che il soggetto che sta valutando la probabilità è disposto a versare in anticipo per poter ricevere una quota maggiore se l’evento si verifica.

Fase 1: intuizione del concetto di probabilità Definizione soggettiva La probabilità di un evento E è rappresentata dal rapporto fra il prezzo P che un individuo ritiene giusto di pagare e la somma S che ha diritto di avere in cambio se l’evento si verifica. P(E)= P/S Esempio: Enrico è disposto a pagare 40 Euro per ricevere 100 Euro se Mario vince la gara di sci P(E)= 40/100 = 2/5 = 0,4 40% Anche questo modo di concepire la probabilità dà origine ad un numero compreso tra 0 e 1, perché si suppone che la somma che si è disposti ad anticipare sia, in caso di esito favorevole, inferiore o tutt’al più uguale a quella che si vincerà.

Fase 1: intuizione del concetto di probabilità "... non ha senso parlare della probabilità di un evento se non in relazione all'insieme di conoscenze di cui una persona dispone. ... La probabilità soggettiva è quindi un aiuto per dare un'attendibile misura di ciò che non si può misurare oggettivamente" Bruno De Finetti (1906 - 1985), Filosofia della Probabilità.

Fase 2: Studio del Lancio di Dadi In questa fase del laboratorio si sono formati due gruppi. Ogni gruppo ha portato avanti due esperienze diverse, tutte relative agli eventi legati al lancio di dadi. In un primo tempo, ciascun gruppo ha effettuato le esperienze ripetendo 30 volte il lancio dei dadi e riportato i risultati ottenuti in una tabella, da cui si sono ricavate le frequenze relative di ogni evento. Si sono poi individuati gli spazi degli eventi per ciascun caso in esame, stabilendo così il numero di casi favorevoli e la probabilità dell’evento. Per completare le esperienze si sono realizzate delle simulazioni al computer utilizzando Excel. Per simulare il lancio dei dati nei fogli Excel si è utilizzata la funzione CASUALE.TRA(1;6) che restituisce un numero intero compreso nell’intervallo specificato. Si è simulato il lancio dei dadi per circa 400 volte e si sono calcolate poi le frequenze assolute e relative per ciascun evento.

Fase 2: Studio del Lancio di Dadi I GRUPPO “Qual è la probabilità che esca almeno un sei lanciando due dadi contemporaneamente?” Eventi possibili = 36 Eventi favorevoli = 11 Probabilità dell’uscita del 6 = 11/36 Per tutti i numeri la probabilità è la stessa 1 2 3 4 5 6 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6) (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6) (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)

Fase 2: Studio del Lancio di Dadi II GRUPPO “Qual è la probabilità che lanciando due dadi contemporaneamente su entrambe le facce non compaia il numero sei?” Eventi possibili = 36 Eventi favorevoli = 25 Probabilità del evento = 25/36 Per tutti i numeri la probabilità è la stessa 1 2 3 4 5 6 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6) (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6) (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)

Fase 2: Studio del Lancio di Dadi Frequenze assolute – Lancio di due dadi

Probabilità dell’evento P(6) = 5/36 “Qual è la probabilità che nel lancio dei due dadi la somma dei numeri sia 6?” Eventi possibili = 36 Eventi favorevoli = 5 Probabilità dell’evento P(6) = 5/36 L’evento con probabilità maggiore è che la somma sia 7 P(7)=6/36 I Gruppo

Probabilità dell’evento P(6) = 42/246 = 7/41 “Qual è la probabilità che nel lancio di tre dadi la somma dei numeri sia 6?” Eventi possibili = 246 Eventi favorevoli = 42 Probabilità dell’evento P(6) = 42/246 = 7/41 II Gruppo

Fase 3: Ricerca Storica Questa fase è stata dedicata allo sviluppo storico della Teoria della Probabilità. Si è partiti nell’analizzare le motivazioni e le questioni che hanno portato allo sviluppo di questa parte della matematica, concentrando poi la nostra attenzione sulle figure dei matematici che hanno contributo allo sviluppo della matematica dell’incerto. Lo sviluppo del Calcolo delle Probabilità si fa generalmente risalire alle corrispondenze epistolari tra Pascal e Fermat della metà del 1600, ma alcuni problemi riguardanti giochi d’azzardo erano già stati studiati precedentemente. Ad esempio, Luca Pacioli aveva trattato un problema di probabilità nel suo libro “Summa de arithmetica”, stampato a Venezia nel 1494, anche se trovò una soluzione errata.

Fase 3: Ricerca Storica Alla fine del 1500, inizi del 600, Gerolamo Cardano e Galileo Galilei si cimentarono nella soluzione di alcuni problemi di calcolo delle probabilità legati al gioco dei dadi. Il concetto di fenomeno casuale è però molto antico; esso risale agli antichi filosofi materialisti greci, ad es., è trattato nel “De rerum natura” di Lucrezio. La casualità è ripresa anche nella “Fisica” da Aristotele. Nel corso dell’800 si ebbe l’apporto di tanti altri matematici come Simeon-Denis Poisson (1781-1840) e Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Nel 900, infine, il Calcolo delle Probabilità ha avuto uno sviluppo travolgente e costituisce una delle parti trainanti della Matematica moderna. I risultati della ricerca storica effettuata sono stati inseriti in una ulteriore presentazione PowerPoint.

Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede L’area del segmento parabolico ABVA è uguale ai 2/3 dell’area del rettangolo ABCD A B C D V

Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede Metodo di Montecarlo In molti casi pratici il calcolo dell’area di una regione di piano non è facile (ad esempio l’area di una macchia). Il metodo Monte Carlo, che sfrutta le capacità di calcolo iterativo di un elaboratore, può fornire almeno un valore approssimativo della misura cercata. L’area da determinare può essere espressa mediante un sistema di disequazioni. Si racchiude l’area da calcolare in un quadrato di lato unitario (cosa sempre possibile con una opportuna scelta delle unità di misura).

Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede Supponiamo ora di disporre di due sequenze di numeri casuali distribuiti nell’intervallo (0;1) e consideriamo il punto P di coordinate (x;y) con x e y appartenenti rispettivamente alle due sequenze casuali e guardiamo se la coppia (x;y) soddisfa le disequazioni che definiscono l’area interessata. Ripetendo l’operazione un numero molto grande di volte (legge dei grandi numeri) il rapporto fra il numero di punti che cadono internamente all’area (casi favorevoli) e il numero totale di tentativi (casi possibili) approssima l’area considerata.

Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede Per la verifica del teorema si è realizzato un foglio Excel. Una parte del foglio è dedicata alla costruzione del grafico di una parabola con vertice nell’origine, di equazione y=ax2. Un’altra parte invece genera delle coppie di numeri casuali che vengono interpretati come coordinate in un piano cartesiano. Le ordinate di questi punti casuali vengono confrontate con quelle ottenute dall’equazione della parabola nel seguente modo se y < ax2 il punto è esterno alla parabola se y ≥ ax2 il punto è interno alla parabola

Fase 4: Verifica del Teorema di Archimede Il rapporto tra il numero di punti che cadono all’interno dell’arco di parabola e il numero totale di punti totali approssima sempre meglio il valore 2/3 al crescere dei punti generati.

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon E’ noto che il numero  = 3.14… rappresenta il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del suo diametro. Con il metodo dell’ago di Buffon è possibile determinare sperimentalmente il valore di .

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L ≤ d) si getta a caso sul piano.

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta a caso sul piano.

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta a caso sul piano.

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta a caso sul piano.

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta a caso sul piano.

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon Supponiamo di tracciare su un piano delle linee parallele, distanziate tra loro di una lunghezza d. Un ago di lunghezza L (con L < d) si getta a caso sul piano.

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon Si può dimostrare che la probabilità, che un ago intersechi una linea orizzontale, è p = 2L/d Se si tira l’ago n volte e si conta il numero m delle volte che esso finisce su una delle linee, si ha approssimativamente che il rapporto m/n non varia apprezzabilmente per n sufficientemente grande. Il valore di m/n può essere assunto come la probabilità che l’ago intersechi la linea. Dunque, si ha m/n ≈ 2L/d , da cui si ottiene  ≈ 2Ln/md ; questa relazione fornisce una valutazione sperimentale del valore di .

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon Per realizzare la simulazione con il foglio Excel bisogna individuare un criterio per stabilire se un ago incontra o no una linea orizzontale. Poniamo: Con M punto medio di AB Un ago interseca una delle rette solo se risulta soddisfatta la condizione y < AC , cioè se

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon Quindi l’evento E: ”l’ago interseca una delle rette”, ammette come casi favorevoli quelli dati dalla relazione y < (L/2)sin x mentre l’insieme dei casi possibili è definito dalle condizioni 0≤ x ≤  e 0 ≤ y ≤ (d/2) Interpretando geometricamente in un piano (x,y) le precedenti considerazioni, la probabilità dell’evento E, risulta dal rapporto fra l’area sottesa dalla curva di equazione y = (L/2)sin x e l’area del rettangolo di dimensioni  e d/2

Fase 5: Calcolo di  con il metodo dell’Ago di Buffon

Referente : Prof. Vincenzo Serafino Realizzato da Bizzarro Giuseppe – 4^C Capuano Girolamo – 4^F Laurenza Pasquale – 4^C Lieto Raffaele – 3^C Marino Pietro – 4^C Piccolo Antonio – 3^C Piccolo Luigi – 4^C Russo Gaspare – 4^C Vitale Fabio – 4^C Vitale Pasquale – 4^C Referente : Prof. Vincenzo Serafino