Il rumore nelle apparecchiature elettroniche e probabilita’ d’ errore dei segnali binari SEZIONE 7

Il rumore termico, definizione Il rumore termico e’ la tensione con andamento casuale v(t) esistente ai capi di una resistenza R posta alla temperatura assoluta T. La tensione v(t) e’ un processo casuale a valor medio nullo con densita’ di probabilita’ delle ampiezze gaussiana densita’ spettrale di potenza costante (fino a frequenze di qualche THz) pari a Circuito equivalente R (rumorosa) v(t) R v(t) Non rumorosa t v(t) d.d.p di v(t) mV=0 a T e’ la temperatura assoluta espressa in gradi Kelvin k e’ la costante di Boltzman che vale 1.38 x 10-23 joule La densita’ spettrale di potenza Nv si misura quindi in [V2/Hz]

La potenza di rumore disponibile al carico Quando la resistenza R, che produce la tensione di rumore v(t), viene inserita in un circuito elettrico, si ha circolazione di corrente sia nella resistenza R sia nella resistenza d’ingresso Rin del circuito (che svolge in questo caso la funzione di resistenza di carico e supponiamo non rumorosa). Parte della potenza del rumore termico viene dissipata nella resistenza R (e non e’ utilizzabile), parte finisce sulla resistenza di carico Rin ed e’ quella che interessa conoscere per valutarne gli effetti sul circuito in esame. Circuito elettrico Sorgente rumorosa R Vout(t) Rin Vin(t) v(t) Eventuale segnale utile v1(t)

La massima potenza di rumore disponibile al carico (1) Se la resistenza d’ingresso Rin e’ uguale a R si ottiene il massimo trasferimento di potenza dalla sorgente al carico (condizione che si cerca di ottenere per non dissipare inutilmente la potenza del segnale utile). In questo caso la potenza trasferita all’ingresso del circuito in esame e’ data da: R Vout(t) Vin(t) Sorgente rumorosa Circuito elettrico ad ingresso adattato v(t)

La massima potenza di rumore disponibile al carico (2) In una qualsiasi banda di frequenze Df il valore quadratico medio della tensione v(t) coincide con la densità spettrale di potenza Nv moltiplicata per Df . La potenza trasferita all’ingresso del circuito in esame nella banda Df e’ data da: f f La densita’ spettrale di potenza di rumore disponibile all’ingresso No e’ quindi: INDIPENDENTE DA R

Un esempio numerico La potenza di rumore disponibile generata da una resistenza posta a temperatura ambiente di T=293 gradi Kelvin (20 gradi centigradi) in una banda di frequenze di 2*20KHz=40KHz (quella di un normale amplificatore HI-FI) vale: f B=20KHz f=40KHz E’ un valore estremamente piccolo in assoluto, ma che va confrontato con la potenza del segnale utile. Generalmente nelle apparecchiature elettroniche per telecomunicazioni esistono altri tipi di disturbo con potenze molto maggiori di quella del rumore termico. E’ tuttavia utile introdurre il concetto di potenza di rumore termico (cosi’ come quelli di temperatura e fattore di rumore che seguono) perché, formalmente, la quasi totalita’ dei disturbi verra’ assimilata ad un rumore termico equivalente con temperature T che saranno molto maggiori di quelle fisiche delle apparecchiature.

Banda di un amplificatore (od altra apparecchiatura) Consideriamo una apparecchiatura elettronica (ad esempio un amplificatore), assumeremo per semplicità che abbia guadagno in potenza fra ingresso e uscita G(f) costante nella banda di interesse. f -f0 B G(f) G0 Nel caso in ingresso vi sia un rumore con densità spettrale N0 in uscita avremo una potenza di rumore data da:

Temperatura di rumore La temperatura di rumore di un qualsiasi disturbo con le stesse caratteristiche del rumore termico (ed in particolare densità spettrale di potenza pari a Na) e’ definita come: Data un’apparecchiatura elettronica (ad esempio un ricevitore radio) e’ necessario confrontare la potenza del segnale utile con quella del rumore (termico e non) per valutarne le prestazioni (il rapporto tra le potenze di segnale e rumore viene indicato con Signal to Noise Ratio (SNR)): SNR=PS/PN L’apparecchiatura elettronica e’, in generale, costituita da tanti elementi (nell’esempio del ricevitore radio avremo l’antenna, il cavo di collegamento, il sintonizzatore, l’amplificatore) ognuno dei quali aggiunge il suo rumore. E’ comodo riportare tutti gli effetti del rumore all’ingresso come se ci fosse una sola sorgente di rumore concentrata che possa essere vista come una resistenza posta ad una temperatura equivalente di rumore Te generalmente molto maggiore della temperatura fisica dell’apparecchiatura.

Fattore di rumore di un amplificatore (1) Un amplificatore e’ un dispositivo che aumenta l’ampiezza del segnale d’ingresso e, inevitabilmente, aggiunge del rumore. La potenza Py del segnale d’uscita e’ data dalla somma della potenza Px del segnale d’ ingresso moltiplicata per G0 (guadagno in potenza) e della potenza del rumore Pno introdotta dall’amplificatore. Amplificatore con guadagno G0 x(t) Px y(t) Py =G0Px+Pno Il FATTORE DI RUMORE F di un amplificatore e’ definito come il rapporto tra la densita’ spettrale di potenza in uscita quando all’ingresso c’e’ un rumore con densita’ spettrale di potenza kTo / 2 (dove To e’ la temperatura standard di 290 gradi Kelvin) e la densita’ spettrale di potenza in uscita attribuibile al solo rumore in ingresso.

Fattore di rumore di un amplificatore (2) La densita’ spettrale di potenza di rumore aggiunta dall’amplificatore in uscita vale dunque: Se vogliamo riportare in ingresso all’amplificatore una densita’ spettrale di potenza che produca gli stessi effetti sull’uscita otteniamo: = kTe/2 Quindi, per quanto riguarda gli effetti del rumore, un amplificatore puo’ essere rappresentato come una sorgente di rumore all’ingresso con una temperatura equivalente di rumore:

Temperatura equivalente di rumore B e’ la banda dell’amplificatore Amplificatore guadagno G0 fattore di rumore F x(t) Px y(t) Py =G0Px+ (G0kTe /2 )2B= =G0Px+ G0kTeB Amplificatore guadagno G0 non rumoroso x(t) Px y(t) Py =G0Px+ (G0kTe /2 )2B = =G0Px+ G0kTeB Pn = kTeB

Temperatura di rumore di amplificatori in cascata guadagno G1 Amplific. 2 guadagno G2 Amplific. 3 guadagno G3 kTe2B kTe3B kTe1B Amplificatore 1 guadagno G1 Amplificatore 2 guadagno G2 Amplificatore 3 guadagno G3 Pn = kTeB La temperatura di rumore del primo stadio e’ la piu’ critica.

Temperatura di rumore di un attenuatore (1) Un attenuatore e’ un dispositivo passivo che riduce l’ampiezza del segnale d’ingresso e, inevitabilmente, aggiunge del rumore termico. La potenza Py del segnale d’uscita e’ data dalla somma della potenza Px del segnale d’ ingresso moltiplicata per G0<1 e della potenza del rumore Pn introdotta dall’attenuatore a temperatura fisica Ta. Per ricavare l’espressione della densita’ spettrale di potenza di rumore introdotta dall’attenuatore si pensi di collegare all’ingresso una resistenza alla stessa temperatura dell’attenuatore. La densita’ spettrale di potenza di rumore disponibile all’ingresso sara’ quindi: Attenuatore R Ta La densita’ spettrale di potenza di rumore all’uscita dovuta al solo ingresso sara’:

Temperatura di rumore di un attenuatore (2) In uscita, tuttavia, si avra’ ancora la stessa densita’ spettrale di potenza di rumore disponibile all’ingresso dato che tutto l’attenuatore e’ alla stessa temperatura fisica Ta La densita’ spettrale di potenza di rumore all’uscita Nout dovuta sia all’ ingresso sia all’attenuatore sara’: Attenuatore R Ta Circuito (bipolo) Passivo Ora e’ facile ricavare la densita’ spettrale di potenza di rumore aggiunta in uscita dall’attenuatore Riportandola in ingresso si ottiene:

Temperatura di rumore di un attenuatore (3) La temperatura equivalente di rumore Te di un attenuatore con temperatura fisica Ta e con guadagno in potenza G0 < 1 ha la seguente espressione: Attenuatore non rumoroso e guadagno G0 < 1 x(t) y(t)

Temperatura di rumore di un’apparecchiatura complessa Amplificatore 1 G1=10dB (10) Te1=435K Attenuatore Ga= -3dB (0.5) Ta=300K Amplificatore 2 G2=20dB (100) Te2=870K Tei= Ta(1/Ga-1)+Te1/Ga+Te2/G1Ga Tei=300+870+174=1344 G = 27dB (500) non rumoroso Pn = kTe B Tei = 1344 Kelvin

Sistema di trasmissione Probabilita’ d’ errore di segnali binari antipodali n(t) mn=0 sn2= kT B y(t)=-A;+A 0;1 P(0)=P(1)=0,5 Gen. Segn. Sistema di trasmissione non rumoroso Soglia Th 0;1 x(t)=y(t)+n(t) x<Th 0 x>Th 1 0 -A 1 A px(A+n) px(-A+n) sn2= s12 <s22 sn2= s22 >s12 x -A Th=0 A

Probabilità d’ errore del segnale binario (caso generale) Simboli trasmessi: s={0;1} ; segnali corrispondenti y={-A;A} Segnale ricevuto e campionato: x=y+n Criterio di decisione: s=1 se p(x,s=1) > p(x,s=0); altrimenti s=0 Calcolo della soglia di decisioneTh p(x=Th,s=1)= p(x =Th,s=0) e quindi p(x =Th /s=1)P(s=1)=p(x =Th /s=0)P(s=0) Simbolo riconosciuto: 0 se x<Th ,1 se x<Th Errore: “evento costituito dall’ unione di due eventi mutuamente esclusivi” Probabilita’ d’errore: PE=P(x<Th,s=1)+P(x>Th,s=0) = P(x<Th/s=1)P(s=1)+P(x>Th/s=0)P(s=0) 0 -A 1 A P(x/s=1)P(s=1) P(x/s=0)P(s=0) x -A Thott A

Probabilita’ di errore del segnale antipodale Eb=A2 No= kT ATTENZIONE: Eb e’ l’ energia del segnale che rappresenta ogni bit N0 e’ la densita spettrale di potenza di rumore Il rapporto Eb / N0 e’ adimensionale!! simbolo ricevuto= 0 Errore!!! 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 Eb/N0 [dB] n x x<Th x=y+n -A A Th=0 simbolo trasmesso =1

Sistema di trasmissione n(t) mn=0 sn2= kT B y(t) 0;1 0;1 Gen. Segn. Sistema di trasmissione non rumoroso campionatore e Soglia x(t)=y(t)+n(t) Sincronizzatore di bit canale Filtro PB campionatore ( ) s m nT g a -A 0 A am 0;1 soglia 0;1 Trasmissione antipodale in banda base

( ) Sincronizzatore di bit o simbolo 0;1 Ricostruttore di portante 0;1 canale Filtro PB campionatore ( ) s m nT g a 0;1 Ricostruttore di portante soglia 0;1 -A 0 A am Trasmissione antipodale in banda traslata