Campionamento e ricostruzione di segnali SEZIONE 7

Numerizzazione dei segnali Nei moderni sistemi di trasmissione e memorizzazione i segnali in ingresso sono di tipo numerico, normalmente rappresentati in formato binario {0,1}. In alcuni casi (si pensi ad esempio alle informazioni provenienti da una base dati di un calcolatore), i segnali da trasmettere o elaborare sono segnali numerici gia’ all’origine (la sorgente e’ una sorgente numerica). In alcuni casi la rappresentazione numerica dei segnali originari e’ molto semplice (alle lettere di un testo può essere facilmente associato un codice numerico ad es. binario: a00001, b 00010, c 00011 ecc.). In molti altri casi, invece, la rappresentazione numerica dei segnali originari richiede un’analisi più accurata. Come, ad esempio, rappresentare numericamente il segnale tempo-continuo in uscita da un microfono?

Molti dei segnali con cui abbiamo a che fare nella realtà quotidiana sono continui sia nel tempo che nelle ampiezze. t x(t) La discretizzazione nel tempo e’ detta campionamento, la discretizzazione nelle ampiezze e’ detta quantizzazione. La rappresentazione di un segnale continuo con un segnale numerico richiede di discretizzare sia il tempo che le ampiezze.

Campionamento dei segnali Segnale originale x(t) Campioni del segnale x(nT) Campionare un segnale significa convertire il segnale x(t), continuo nel tempo t, nella sequenza dei suoi campioni x(nT), i valori che il segnale assume negli istanti equidistanti nT, dove T e’ l’intervallo costante tra due campioni successivi. Se il segnale x(t) ha ampiezza continua in un certo intervallo anche i suoi campioni hanno un’ ampiezza x(nT) continua nello stesso intervallo. Perche’ l’operazione di campionamento sia di utilita’ pratica, e’ necessario che la sequenza dei suoi campioni rappresenti il segnale continuo, nel senso che sia possibile ricostruire esattamente il segnale continuo a partire dalla sequenza x(nT). T e’ detto periodo (o passo) di campionamento; fc=1/T e’ detta frequenza di campionamento.

Trasformata di una sequenza periodica d’ impulsi dTc(t)=S k d (t-kTc) DTc(f)=fc Sk d (f-kfc) dTc(t) DTc(f) 1 fc Tc=1/fc Tc fc Trasformata di un segnale campionato (teorema del campionamento) x(t) X(f) xTc(t)=x(t)dTc(t) XTc(f)= X(u)DTc(f-u)du XTc(f)= X(u)DTc(f-u)du = fcS k  X(u) d (f-kfc-u)du = fcS k X(f-kfc) xTc(t)=x(t)dTc(t) fc Sk X(f-kfc)

X(f) SkX(f-kfc) X(f) x(t) x(t)dTc(t) x(t) X( f - kfc ) filtro passabasso ideale X(f) campionatore x(t) x(t) x(t)dTc(t) dTc(t) 1 Tc

Ambiguita’ causata dal campionamento (esempio)

Ambiguita’ causata dal campionamento Consideriamo il generico segnale x(t) e campioniamolo a passo T=1/ fc , ottenendo la sequenza di campioni x(nT). E’ immediato rendersi conto che si ottiene la stessa sequenza di campioni se campioniamo a passo T=1/ fc il segnale Infatti e j 2p n = 1 per qualsiasi n intero In generale, non e’ possibile dire quale, tra i segnali xk(t) o loro combinazioni lineari, abbia generato i campioni x(nT)

Il teorema del campionamento Se e’ noto a priori che il segnale tempo continuo x(t) non contiene frequenze maggiori di fc / 2 e inferiori a -fc / 2, esiste un legame univoco tra il segnale continuo nel tempo e i suoi campioni x(nT): tra tutti i possibili segnali tempo continui xk(t), l’unico che non contiene frequenze maggiori di fc / 2 e inferiori a -fc / 2 e’ x0(t). Se un segnale x(t) e’ campionato con frequenza di campionamento fc almeno doppia della massima frequenza contenuta fM e’ perfettamente ricostruibile (repliche in frequenza disgiunte). Altrimenti, le repliche sono sovrapposte e non e’ piu’ possibile distinguere le componenti di X(f) alle frequenze f-n fc. fc / 2 X(f) -fc / 2 L’operazione di campionamento nel tempo corrisponde, nel dominio delle frequenze all’operazione di replicazione dello spettro del segnale continuo. Chiamiamo S(f) lo spettro del segnale cotinuo e G(f) lo spettro del treno di impulsi ideali, G(f) e’ sua volta un treno di impulsi ideali centrati nei multipli kfc della fc, e moltiplicati per 1/T. Applicando la proprieta’ della trasformata di Fourier di moltiplicazione nel tempo, la trasf. del prodotto delle due funzioni nel tempo si ottiene facendo la convoluzione degli spettri. La convluzione di S(f) con un impulso centrato in kfc equivale a traslare lo spettro in kfc, dunque lo spettro del segnale campionato si ottiene sommando le infinite repliche dello spettro S(f) traslate nei multipli kfc della frequenza di campionamento. Nella figura abbiamo rappresentato solo tre repliche centarate in 0 in fc e -fc. X( f - kfc ) K=0 K=1 K=-1 fc / 2 -fc / 2 fc -fc

X( f - kfc ) fc =2fM X( f - kfc ) fc >2fM X( f - kfc ) fc < 2fM

X(f) X(f) X(f) SkX(f-kfc) x(t) x(t) x(t)dTc(t) x(t) Campionatore: S/H (sample&hold) X(f) X(f) X(f) SkX(f-kfc) LPF f3dB< fc- fM LPF fM< f3dB <fc/2 S/H x(t) x(t) x(t) x(t)dTc(t) |X(f)|=0 per |f| >fM dTc(t) fc>2fM XTc( f - kfc ) -fc / 2 fc / 2 fM -fc -fM fc -fM fc

La ricostruzione del segnale tempo-continuo + = Il segnale tempo continuo x(t) a banda limitata tra -fc / 2 e fc / 2 si ottiene sommando seni cardinali centrati ai tempi nT, con ampiezze massime uguali a x(nT) e zeri in t = mT per tutti gli m  n. Infatti questa somma di segnali e’ a banda limitata e, se campionata, rida’ x(nT) .

Il contenuto in frequenza di un segnale costituito da una sequenza di campioni impulsivi (1) Consideriamo ancora il segnale utilizzato nell’esempio precedente … : … e tutti i segnali che producono gli stessi campioni se campionati a passo T=1 Proviamo a sommare tra loro i segnali xk(t) ...

… otteniamo

Il contenuto in frequenza di un segnale costituito da una sequenza di campioni impulsivi (2) Al crescere di K (numero degli elementi della sommatoria), il risultato della somma e’ pari a Kx(nT) agli istanti di campionamento nT, mentre altrove tende a zero. Ogni elemento della sommatoria corrisponde ad una diversa replica di X(f) centrata alla frequenza kfc. Quindi la somma di infinite repliche in frequenza di X(f) corrisponde ad un segnale campionato pari a Snx(nT)d(t-nT). Lo spettro di un SEGNALE CAMPIONATO con impulsi a passo T (nel tempo) e’ pertanto PERIODICO di passo fc =1/T (in frequenza)

Il contenuto in frequenza del segnale campionato FdT FdT K=0 K=1 K= -1 fc -fc K=2 K= -2 -2fc 2fc

La ricostruzione del segnale tempo-continuo (1) K=0 K=1 K= -1 fc -fc K=2 K= -2 -2fc 2fc -fc / 2 +fc / 2 1 - La trasformata di Fourier del segnale campionato con impulsi e’ quella del segnale tempo-continuo replicata a passo fc in frequenza infinite volte. 2 - Per ottenere la trasformata di Fourier del segnale tempo-continuo da quella del segnale campionato con impulsi, bisogna eliminare tutte le repliche spettrali tranne quella in k=0. 3 - Per eliminare tutte le repliche spettrali tranne quella in k=0 si moltiplica la trasformata di Fourier del segnale campionato con impulsi per un rettangolo con banda compresa tra -fc / 2 e +fc / 2. Si applica un FILTRO PASSA-BASSO IDEALE.

La ricostruzione del segnale tempo-continuo (2) + = Moltiplicare in frequenza per un rettangolo con banda compresa tra -fc / 2 e +fc / 2 equivale a convolvere nel tempo il segnale campionato con impulsi con un seno cardinale che ha ampiezza unitaria in t = 0 e zeri in t = nT.

La ricostruzione del segnale tempo-continuo (3) + = Operativamente e’ inutile passare attraverso un segnale impulsivo (che peraltro e’ un’astrazione). Basta sommare seni cardinali centrati ai tempi nT, con ampiezze massime uguali a x(nT) e zeri in t = mT per tutti gli m  n.

La ricostruzione del segnale tempo-continuo (4) K=0 K= -2 K= -1 K=1 K=2 -2fc -fc -fc / 2 +fc / 2 fc 2fc Se la frequenza di Nyquist fc / 2 e’ maggiore della massima frequenza del segnale, il filtro passa-basso di ricostruzione puo’ avere transizioni piu’ “morbide”. Ne segue che la sua risposta all’impulso puo’ non essere un seno cardinale (che peraltro ha durata infinita e non e’ realizzabile), ma una forma d’onda di durata praticamente finita. 1 0.5 -0.5 -10 T -5 T T 5 T 10 T

La trasformata di Fourier di un segnale campionato La trasformata di Fourier di un segnale costituito da una sequenza di campioni x(nT) e’ definita in modo identico a quella di un segnale costituito da campioni impulsivi Snx(nT)d(t-nT). Quindi, la trasformata di Fourier della sequenza di campioni x(nT) e’ uguale (a parte un fattore moltiplicativo pari a fc ) a quella del segnale tempo-continuo x(t) replicata a passo fc in frequenza infinite volte. Trasformata di Fourier del segnale x(t) fc -fc -2fc 2fc Trasformata di Fourier della sequenza di campioni x(nT)