Riassunto lezione precedente dato gruppo di simmetria SU(N), definizione e proprietà di generatori, rappresentazioni fondamentale, regolare, coniugata; esempio di SU(2) operatore di Casimir e classificazione dei multipletti; esempi di SU(2) e SU(3) applicazione allo spettro barionico, proprietà di simmetria delle rappresentazioni e identificazione degli stati; esempio di due e tre particelle descritte da doppietto di SU(2); stati simmetrici, antisimmetrici, e a simmetria mista 29-Ott-12

Rappresentazioni di SU(2) Rappresentazione fondamentale (dim. 2): 2 oggetti : |χ1> , |χ2> |S1 S1z ; S2 S2z >  |S Sz > |χ1> |χ2> scambio 1 <-> 2 u uu d 1/√2 (ud+du) 1/√2 (ud-du) dd S A |½ ½ ; ½ ½ >  |1 1 > 1/√2 [ |½ ½ ; ½ -½ > +  |1 0 > |½ -½ ; ½ ½ > ] 1/√2 [ |½ ½ ; ½ -½ > -  |0 0 > |½ -½ ; ½ -½ >  |1 -1 > notazione di teoria di gruppo Consideriamo SU(2) e la sua rappresentazione fondamentale, cioè a dim.2, cioè stati = doppietti. Prendiamo 2 stati così e combiniamoli. Ci sono 4 possibilità, elencate in tabella: 3 S e 1 A, con relativa notazione di teoria di gruppo. I coeffs. garantiscono ortonormalità degli stati. Ex: combinazione di 2 spin ½ a fare Stot = 1 o 0. Casi in tabella rappresentati da accoppiamenti di momenti angolari usando Clebsh-Gordan. Ex: S1 = ½ S2 = ½  S = 1 o 0 18-Ott-12

3 oggetti : |χ1> , |χ2> , |χ3> |χ1>|χ2>|χ3> scambio 1  2 Sz uuu 3/2 uud, udu, duu 1/√3 (uud+udu+duu) 1/√2 (ud-du)u 1/√6 [ (ud+du)u - 2 uud ] ½ udd, dud, ddu 1/√3 (udd+dud+ddu) 1/√2 (ud-du)d -1/√6 [ (ud+du)d - 2 ddu ] -½ ddd -3/2 S MA MS antisimmetrico simmetrico in 12 ma non definito negli altri Adesso prendiamo 3 oggetti della rappresentazione fondamentale di SU(2). Si combinano come in tabella, i coeffs. necessari per l’ortonormalità degli stati. A parte il caso S, si formano combinazioni che sono S in (1,2) o A in (1,2) ma indefinite in (1,3) o (2,3)  simmetrie miste MS e MA. Ex: combinazione di 3 spin ½: prima si combinano i primi due a fare S12=1,0; quest’ultimo =1 con il terzo spin dà Stot=3/2 e ½ simmetrico, quando =0 dà Stot=½ antisimmetrico. Si può vedere la stessa cosa con i Clebsh-Gordan. Ad esempio, la combinazione S=3/2 e Sz=½ si costruisce da Tab.3.5 e eq.(3.6)-(3.8) Simbolo. Ex: S1 =½ S2 =½ S3 =½  S12 =1 S3 =½ + S12 =0 S3 =½  S = 3/2 o ½S + S = ½A 18-Ott-12

Rappresentazioni di SU(3) Rappresentazione fondamentale (dim. 3): 2 oggetti : |χ1> , |χ2> |χ1> |χ2> scambio 1 <-> 2 u uu d 1/√2 (ud+du) 1/√2 (ud-du) dd s 1/√2 (us+su) 1/√2 (us-su) 1/√2 (ds+sd) 1/√2 (ds-sd) ss S A − stati A sono 3 perché Y ud Consideriamo adesso SU(3), quindi stati di tripletto perché rappresentazione fondamentale ha dim.3. Ne prendiamo 2 di stati così. Le combinazioni possibili sono elencate in tabella: 6 stati simmetrici e 3 antisimmetrici. Notazione spettroscopica di gruppo indicata. Gli stati A sono un antitripletto perché plottati su spazio (I3,Y) formano stessa struttura di (ubar, dbar, sbar), rovesciata rispetto a quella di (u,d,s). Simbolo. I3 ds us 29-Ott-12

3 oggetti : |χ1> , |χ2> , |χ3> |χ1>|χ2>|χ3> scambio 1  2 spettro uuu Δ++ uud, udu, duu 1/√3 (uud+udu+duu) 1/√6 [ (ud+du)u-2uud ] 1/√2 (ud-du)u Δ+(S) p(M) udd, dud, ddu 1/√3 (udd+dud+ddu) -1/√6 [ (ud+du)d-2ddu ] 1/√2 (ud-du)d Δ0(S) n(M) ddd Δ- uus, usu, suu 1/√3 (uus+usu+suu) 1/√6 [ (us+su)u-2uus ] 1/√2 (us-su)u Σ*+(S) Σ+(M) uds 1/√6 (uds+usd+dus +sud+dsu+sdu) 1/2√3 [s(du+ud) + usd+dsu-2(du+ud)s ] 1/2 [ (usd+dsu) - s(ud+du) ] 1/√6 [ s(du-ud) + usd–dsu + (du-ud)s ] Σ*0(S) Σ0(M) Λ1405(A) Λ0(M) 1/2 [ (dsu-usd) + s(ud-du) ] 1/2√3 [s(du-ud) + usd-dsu-2(du-ud)s ] dds, dsd, sdd 1/√3 (dds+dsd+sdd) 1/√6 [ (ds+sd)d-2dds ] 1/√2 (ds-sd)d Σ*-(S) Σ-(M) ssu, sus, uss 1/√3 (ssu+sus+uss) -1/√6 [ (us+su)s-2ssu ] 1/√2 (us-su)s Ξ*0(S) Ξ0(M) ssd, sds, dss 1/√3 (ssd+sds+dss) -1/√6 [ (ds+sd)s-2ssd ] 1/√2 (ds-sd)s Ξ*-(S) Ξ-(M) sss Ω-(S) S MS MA A Osservazioni: avere dim.3, quindi 3 stati diversi u≠d≠s genera stato A, che era assente in dim.2 di SU(2) simmetria dello stato permette di associare 11 stato con particella nello spettro, rompendo degenerazione in tab. di lez. 2 - slide 10 simbolo identificazione barioni={qqq} con sapore di q governato da SU(3)f permette di riprodurre multipletti osservati varie simmetrie nello spettro: partendo da p, u->d porta a n, d->s porta a Σ+, u->s porta a Ξ-; analogamente da n, d->s porta a Ξ0, u->s porta a Σ-; etc.. in Σ0 la coppia (u,d) ha I=1, essendo in stato simmetrico, mentre in Λ0 ha I=0 perché in stato antisimmetrico. 29-Ott-12

SU(N) e i tableaux di Young |χ1>, |χ2>, |χ3> SU(3): |χ1>, |χ2> SU(6): |χ1>, |χ2>, |χ3> ⊗ (↑,↓) …. c’è una procedura automatica per calcolare le dimensioni delle rappresentazioni irriducibili? I tableaux di Young identificazione rappresentazioni di SU(N) Ripasso dei risultati in notazione spettroscopica gruppale di quello che abbiamo visto per SU(2) e SU(3). Si può andare avanti includendo charm in SU(4), oppure associando spin a flavor per i 3 quark, quindi SU(6), e ottenere 56+70+70+20 nei barioni, e 6x6bar=1+35 nei mesoni. Serve però una procedura automatica per calcolare le dimensioni delle rappresentazioni irriducibili per ogni SU(N)  i tableaux di Young. Definizioni: dato SU(N) una box è la rappr. fondamentale a dim.N. La rappr. coniugata N* si descrive con N-1 box in colonna. Risulta quindi 2 2* e 3 non  3* Simbolo. rappresentazione fondamentale N a dim.N = rappresentazione coniugata N* = . N-1 quadrati 29-Ott-12

tableaux di Young: prodotto di rappresentazioni = N N = ? ? come calcolare le dimensioni delle rappresentazioni prodotto? numeratore dimensioni = denominatore numeratore = = prodotto dei numeri in tutte le caselle N N+1 N+2 N-1 N N+1 N-2 N-1 N N-3 “gancio” = = nr. di caselle attraversate Come calcolare le dimensioni del risultato del prodotto di rappresentazioni irriducibili in SU(N) con N arbitrario? Il risultato è il rapporto di un numeratore ed un denominatore. Numeratore: dato un diagramma di caselle, mettere N su quelle della diagonale, N+1 e N-1 su quelle delle diagonali adiacenti superiore ed inferiore, N+2 e N-2 su quelle successive, e così via; il numeratore è dato dal prodotto dei numeri associati a tutte le caselle. Simbolo. Definizione di gancio: data casella in una certa riga e colonna di un diagramma, prendo una linea che da dx attraversa tutte le caselle della stessa riga finché non raggiunge la casella desiderata, gira in giù di 90 gradi ed esce dal diagramma attraversando tutte le caselle della stessa colonna; il gancio è il numero di caselle attraversate, inclusa quella considerata. Denominatore: è il prodotto dei ganci di tutte le caselle di un diagramma. Applicazione al nostro caso di prodotto di due rappr. a dim.N eq.(3.18),(3.19) Simbolo. Ex: SU(2) N=2  2x2 = 3+1; SU(3) N=3  3x3 = 6+3*. Il 3* è coniugato perché colonna di N-1=2 box in rappr. dim.3. Inoltre associando simmetria degli stati descritti (in SU(2) 3S+1A, in SU(3) 6S+3*A) si postula regola che pure righe di box sono S, pure colonne sono A. denominatore = prodotto dei “ganci” di tutte le caselle quindi dim. = 29-Ott-12 stato S A

si combinano le caselle in tutti i modi purché continua = ( ) ? si combinano le caselle in tutti i modi purché no figure concave verso l’alto no figure concave verso il basso a sinistra = Per combinare la terza casella, si devono costruire tutte le combinazioni escluse figure concave verso l’alto e verso il basso a sx. Risultano quindi 4 contributi che hanno dimesioni indicate, secondo regola del gancio eq.(3.20),(3.21) Simbolo. Per N=2 si ritrova risultato di SU(2): 2x2x2 = 4S+2M+2M. Per N=3 si ritrova risultato di SU(3): 3x3x3 = 10S+8M+8M+1A. Si noti che stati A (colonne) possono avere al max N caselle, perché poi antisimmetrizzazione manda a 0 la dim. : N (N-1) (N-2)….. Quindi si può predirre che SU(6) = SU(3)f x SU(2) ha dim. 6x6x6 = 56S+70M+70M+20A. Per un quarto flavor c SU(4) si avrebbe 4x4x4 = 20S+20M+20M+4A. Per i mesoni = quarkonio si deve combinare N e N*, solo due possibilità indicate. Le dim. sono 1 (stato antisimmetrico puro) e NxN-1 Simbolo. Quindi per N=3 3x3* = 1A+8M. per strutture mesoniche, cioè “quarkonio” . . . N-1 = N + N-1 29-Ott-12

spettro mesonico e simmetria degli stati − mesone = {qq} con q = u,d,s  nonetto come distinguere ? quark carica stranezza stati ud 1 π+ ρ+ du -1 π- ρ- uu π0 ρ0 dd η0 ω0 ss η’0 ϕ0 us K+ K*+ ds K0 K*0 K- K*- − − − Ex: stati a C=0 S=0 come distinguere singoletto da ottetto ? iso-singoletto da iso-tripletto ? − − − − − distinzione per G parità e carica C  ogni |χ> si sdoppia in |χ>S e |χ>A Mesoni = {q qbar}, se ogni q ha 3 flavor, allora 3x3=9 combinazioni  nonetto. Solito problema: come distinguere gli stati osservati? Prima risposta: ex. di stati a C=0 S=0. In SU(2) 2x2=3+1 in 3 c’è |I=1, I3=0>, in 1 c’è |I=0, I3=0>. Ma mesoni coinvolgono 2x2*. Utilizzando rappr. coniugata si modificano i due stati eq.(4.1)-(4.3) Simbolo. Corrisponde a <χ|σ|χ> tripletto e <χ|1|χ> singoletto. Generalizzazione a SU(3) stato |I=0, I3=0> come singoletto isoscalare <χ|1|χ> (1,1) dove adesso rappr. a dim.3. ssbar non può apparire in isovettore perché ha I=0, quindi stato |I=1, I3=0> rimane invariato e corrisponde a <χ|λ3|χ> ottetto isovettore (8,3). Infine <χ|λ8|χ> corrisponde a ottetto isoscalare (8,1). In questo modo si distinguono π0,ρ0 (8,3), da η8,ω8 (8,1), da η1,ω1 (1,1). Particelle fisiche η,η’ sono combinazioni di η1,η8. Le ω,ϕ di ω1,ω8. Secondo criterio più generale è simmetria in associazione di nr. quantici. Ex: stato C=1 S=0 u dbar è (u dbar ± dbar u). Usando G parità si associa -1 a combinazione S e +1 a quella A. Simbolo. Analogamente per stati a C=0 S=0  si distingue π0 (S) da ρ0 (A), e così via. − − − 29-Ott-12

spin dei quark: SU(3)f  SU(6) = SU(3)f ✕ SU(2) − se quark avessero spin=0 allora avremmo spettro {q q} L=0 JP=0+ scalari L=1 JP=1- vettori L=2 JP=2+ tensori … … … invece spettro è 0- pseudoscalari 1- vettori … … compatibile con spin=½ : massa |χ> rappr. di SU(3) di sapore |φ> rappr. di SU(2) di spin rappr. di SU(6) per 0-,1- sono |χ>A |φ>S |χ>S |φ>A Se quark fossero mesoni a S=0, la classificazione spettrale vedrebbe stati a parità alternata partendo da scalari, poi vettori, poi tensori… in base a L relativo. Ma spettro fisico non è così: si comincia da pseudoscalari a P=- e poi si hanno i vettori. Mesoni scalari non si vedono. Il tutto è compatibile con quark a spin ½ , che combinati in coppia danno S=0 degli pseudoscalari e S=1 dei vettori. Combinando stati di SU(3)f e SU(2) spin si hanno combinazione S da χSφS e χAφA , e A da χSφA e χAφS. Solo le A corrispondono a stati fisici. Ex: stati a C=0, la χSφA ha C=+1 S=0  π0, quella χAφS ha C=-1 S=1  ρ0. Simbolo. Si elencano tutte le combinazioni possibili, che sono 9 + (9+9) + 9 = 36, il che corrisponde a 6x6* = 1+35. i= 0 (singoletto), 1…8 (ottetto) In totale 36 stati, cioè conseguenza di spin(q)=½ e 29-Ott-12

SU(6) e spettro dei mesoni quark stati 1/√2 (ud ± du) π+ ρ+ -1/√2 (du ± ud) π- ρ- ½ [(dd-uu) ± (dd-uu)] π0 ρ0 1/√6 [(uu+dd+ss) ± (uu+dd+ss)] η1 ω1 1/(2√3) [(uu+dd-2ss) ± (uu+dd-2ss)] η8 ω8 1/√2 (us ± su) K+ K*+ 1/√2 (ds ± sd) K0 K*0 -1/√2 (su ± us) K- K*- -1/√2 (sd ± ds) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 29-Ott-12