21 apr 041 Schema riassunto precedente lezione OPE : singolarita` sul light-cone e classificazione dei diagrammi dominanti per DIS ed e + e - inclusivi ; definizione operativa di twist estensione del metodo di classificazione in twist a processi con evidente fattorizzazione ! approccio diagrammatico teoria di campo sul light-cone : light-cone dominance, proiettori di elicita` e chiralita` Parton Distribution Functions (PDF) al leading twist (twist 2)

21 apr 042 DIS inclusivo : contributo dominante sul light-cone x 2 ! 0 (attraverso teorema ottico dominanza delle corte distanze x ! 0 per ampiezza Compton in avanti) ; e + e - inclusivo : contributo dominante a corte distanze x ! 0 operatori compositi in teoria di campo divergenti a corte distanze ! OPE = spostare divergenze, in ordine decrescente, in coefficienti calcolabili, lasciando operatori bilocali regolari (espandibili in serie infinita di operatori locali regolari) esempi : teorema di Wick ; applicazione a prodotto di correnti di fermioni liberi ! singolarita` dominante » x - 6 ! in DIS ed e + e - inclusivi si ritrova il risultato di QPM : a corte distanze i quark sono effettivamente liberi (prova rigorosa dellasymptotic freedom) teoria di campo interagente : eq. del gruppo di rinormalizzazione introducono dimensione anomala che altera in modo non banale il conteggio delle singolarita` ! definizione di twist ; correzioni log Q 2 ai coefficienti di Wilson relazioni di dispersione ! legame tra momenti di funzioni di struttura ed elementi di matrice adronici di operatori locali regolari

21 apr 043 Ricorda : OPE dimostrabile solo per e + e - e DIS inclusivi e + e - inclusivo operatore composito a corte distanze ! OPE e + e - semi-inclusivo sistema delladrone a riposo P h = (M h,0) q ¢ finito ! W dominato da 2 » 0 ma stato |P h i impedisce chiusura X ! OPE non puo` essere applicata

21 apr 044 DIS inclusivo X dominante per 2 » 0 ma relazioni di dispersione per ampiezza Compton T in piano complesso = 1/x B ! serie di potenze (1/x B ) n con raggio ! 0 in limite DIS ) ( x B ! 1 ), ( q=0 e ! i 1 ) q ¢ finito in limite DIS ! 0 » 0 ! » 0 DIS semi-inclusivo stato |P h i impedisce chiusura X ! OPE non puo` essere applicata

21 apr 045 Drell-Yan q ¢ finito ! dominanza per 2 » 0 ma h.. i non e` limitato in nessun sistema perche` s=(P 1 +P 2 ) 2 » 2P 1 ¢ P 2 ¸ Q 2 e nel limite Q 2 ! 1 entrambe P 1,P 2 non limitati W riceve contributi fuori dal light-cone! Quali sono i diagrammi dominanti per i processi in cui non si puo` applicare lOPE ? E possibile applicare il concetto dellOPE (fattorizzazione) anche a processi semi-inclusivi?

21 apr 046 Classificazione dei contributi dominanti ai vari processi hard Premessa : - propagatore di quark libero a corte distanze S F (x) - interazione con gluone non incrementa la singolarita`

21 apr 047 e + e - inclusivo = Im correzioni radiative ! » (log x 2 R 2 ) n contributo dominante a corte distanze ! tot del QPM teorema ottico e + e - semi-inclusivo diagramma dominante a corte distanze perche` » S F (x) » 1/x 3 correzioni radiative ! » (log x 2 R 2 ) n quindi fattorizzazione tra vertice hard e frammentazione soft funziona » 2

21 apr 048 DIS inclusivo diagramma dominante a corte distanze perche` » S F (x) » 1/x 3 correzioni radiative ! » (log x 2 R 2 ) n quindi si ritrova risultato di OPE »

21 apr 049 DIS semi-inclusivo » da DIS inclusivo da e + e - inclusivo fattorizzazione tra vertice e.m. hard e funzioni di distribuzione e frammentazione (el. di matrice soft) Drell-Yan 2 » » da DIS inclusivo 2

21 apr 0410 parametro di espansione per classificare i contributi dominanti : il twist definizione non troppo agevole : espandere operatore bilocale in serie di operatori locali regolari trasformata di Fourier twist = (dimensione canonica delloperatore di spin n – il suo spin n) in pratica twist serve per identificare la potenza in 1/Q 2 (a meno di correzioni » log Q 2 perturbative) a cui interviene un certo effetto : se » (1/Q 2 ) p si dice che e` di twist t=2+2p e` utile cercare di applicare la classificazione direttamente ad operatori bilocali, senza espandere in serie tutte le volte… ma …

21 apr 0411 Esempio : corrispondente operatore locale operatore bilocale operatore a traccia nulla t = 2 + t = 4 + …..

21 apr 0412 Morale : se operatore locale ha twist t, il corrispondente operatore bilocale ha twist minimo t, cioe` t, t+2, t+4, etc… (cioe` lo stesso termine dominante piu` contributi piu` piccoli) Definizione operativa (Jaffe, 95) twist di un operatore bilocale e` lordine leading in M/Q (M=massa delladrone) a cui un certo elemento di matrice delloperatore interviene in un processo DIS (a meno di correzioni perturbative » log Q 2 ) N.B. potenze di Q intervengono come rapporto M/Q per questioni dimensionali Criterio operativo nella decomposizione dellelemento di matrice delloperatore bilocale in tutti i possibili tensori indipendenti di Lorentz, contare le potenze di M ; ad ognuna e` associato un fattore di riduzione 1/Q M 0 =1 ! nessuna riduzione ! twist 2 (leading twist) M ! 1/Q ! twist 3 (subleading twist) ……

21 apr 0413 correzioni QCD correzioni di potenze 1 1/Q 1/Q 2 1/Q 3 … 1 s s 2 … QPM IQPM Operator Product Expansion diagrammatic approach …. convolution approach studio sistematico delle correzioni di potenze ( $ OPE per DIS e e + e - inclusivi) (Ellis,Furmanski,Petronzio, 82) convoluzione con scattering hard fattorizzato (Efremov,Teryaev,Jaffe, Ji,Ralston,Soper,Qiu, Sterman,Collins,Leader Anselmino…)

21 apr 0414 Per tutti i processi di tipo DIS o e + e - (sia inclusivi che semi-inclusivi) il contributo dominante al tensore adronico viene dalla cinematica light-cone definizione e proprieta` delle variabili light-cone teoria di campo quantizzata sul light-cone algebra di Dirac sul light-cone

21 apr 0415 variabili light-cone dato 4-vettore a prodotto scalare metrica base light-cone : metrica trasversa

21 apr 0416 adrone-bersaglio a riposo DIS inclusivo bersaglio assorbe momento trasverso di * ; ad esempio se q k z P z =0 ! P z =q À M in regime DIS regime DIS ) direzione + dominante direzione - soppressa boost di 4-vettore a ! a lungo asse z boost lungo asse z N.B. rapidity

21 apr 0417 A = M ! rest frame delladrone A = Q ! Infinite Momentum Frame (IFM) definizioni : invariante di Nachtmann frazione light-cone (longitudinale) di momento partonico miglior scaling in x N quando Q & M

21 apr 0418 Quantizzazione di teoria di campo sul light-cone regole di commutazione al tempo x 0 =t=0 evoluzione in x 0 regole di commutazione al tempo light-cone x + =0 evoluzione in x + variabili cinematiche x x -, x ? momenti coniugati k k +, k ? Hamiltoniana k 0 k-k- quanto di campo ….. spazio di Fock

21 apr 0419 Algebra di Dirac sul light-cone rappresentazione usuale delle matrici di Dirac cosi` (anti-)particelle hanno solo componenti upper (lower) nello spinore di Dirac nuova rappresentazione per teoria di campo light-cone definizioni : proiettori ok

21 apr 0420 Proiettare eq. di Dirac non contiene tempo x + : dipende da e A ? a x + fissato A ? gradi di liberta` indipendenti good bad componenti light-cone generatore delle rotazioni di spin lungo z se momento k z, misura lelicita` 1, 2, 5 e P § commutano ! 2 possibili scelte : diagonalizzare 5 e 3 ! base di elicita` diagonalizzare 1 (o 2 ) ! base di trasversita` N.B. in base di elicita` hanno stesso autovalore per, ma opposto per

21 apr 0421 Tensore adronico in DIS inclusivo sul light-cone regime DIS ! direzione + dominante in spazio momenti densita` di probabilita` di annichilare in |P i un quark con momento x N P + risultato di QPM contano solo le componenti good

21 apr 0422 Teoria di campo standard – DIS inclusivo adrone-bersaglio ! boost lungo lasse z ; Infinite Momentum Frame (IFM) tensore adronico quark liberi

21 apr 0423 » approccio diagrammatico continua

21 apr 0424 operatore bilocale (correlatore quark-quark) twist t= 2, 4,6… regime DIS : Q 2 ! 1 ; IFM ! isolare contributo leading in 1/Q Hermiticity + invarianza per parita` e time-reversal ! analogamente per antiquark

21 apr 0425 continua densita` di probabilita` di annichilare in |P i un quark con momento xP + includendo anche lantiquark x » x B F 1 (x B ) Ã risultato di QPM componenti light-cone good

21 apr 0426 Morale : DIS inclusivo teoria di campo standard approccio diagrammatico ! contributo dominante (quindi e`, OPE) operatore bilocale ha twist ¸ 2 ; il contributo a leading twist si ottiene nellIFM (Q 2 ! 1 ) = probabilita` di trovare un quark con flavor f e frazione x del momento longitudinale (light-cone) P + delladrone al leading twist (t=2) si ritrova risultato di QPM per W il risultato e` lo stesso di quello che si ottiene per teoria di campo light-cone ! boost allIFM e quantizzazione sul light-cone sono equivalenti (x » x N )

21 apr 0427 Ma quanti sono i contributi al leading twist ? Ricordiamo la strategia : decomposizione della matrice di Dirac (p,P) sulla base delle strutture di Dirac e dei 4-vettori p,P, compatibili con Hermiticity e invarianza per parita` e time-reversal q f (x) e coinvolge P + | > = quali sono i proiettori di Dirac in [ ] al leading twist ? Il resto alla prossima lezione…