Introduzione al Calcolo integrale 5ATC – 5Btc 2015/16 Versione del 22/04/2017

Introduzione al calcolo integrale Quadratura Uno dei problemi che ha impegnato i matematici sin dall’antichità è quello di calcolare le aree. Se cerchiamo nel vocabolario il termine «Quadratura>> troviamo «ridurre a forma quadrata>> … <<nella geometria elementare […] consiste nella costruzione di un quadrato di area uguale a quella della figura data>>. Nell’antichità si cercava di risolvere questo problema con la sola riga e compasso; ma ben presto (ad esempio davanti al cerchio) si intuì che questa operazione non sempre era possibile. Per risolvere questa situazione si iniziarono a cercare nuovi metodi. Già nel III secolo a.C. Archimede (sfruttando gli studi di Eudosso 408-355 a.C.) affrontò il calcolo di alcune aree utilizzando un metodo detto di <<esaustione>>. [Torneremo su questo metodo.] L’idea è quella di inscrivere (e circoscrivere) nella figura della quale vogliamo calcolare l’area, una successione di figure delle quali già conosciamo il metodo per il calcolo dell’area. Il lavoro di Archimede sarà la base di partenza per quello che oggi si chiama calcolo integrale e che vedrà la luce solo nel Seicento. Dovremo invece attendere il XIX secolo per essere certi che la quadratura del cerchio con riga e compasso è impossibile.

Quadriamo la parabola {(𝑥,𝑦)∈ ℝ 2 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑐ℎ𝑒 0≤𝑥≤𝑏 𝑒 0≤𝑦≤ 𝑥 2 } Introduzione al calcolo integrale Quadriamo la parabola Iniziamo con un esempio: vogliamo calcolare l’area della superficie in figura delimitata da: l’asse x, la retta x=b e la porzione della parabola. Tale superficie è detto anche segmento di parabola e può essere descritto: {(𝑥,𝑦)∈ ℝ 2 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑐ℎ𝑒 0≤𝑥≤𝑏 𝑒 0≤𝑦≤ 𝑥 2 } L’idea è quella di «piastrellare» questa superficie con dei rettangoli.

Quadriamo la parabola – un caso con «i numeri» Introduzione al calcolo integrale Quadriamo la parabola – un caso con «i numeri» Per semplificarci la vita iniziamo con un caso numerico, ovvero vogliamo calcolare l’area del segmento di parabola 𝑦= 𝑥 2 delimitato da x=0 e x=4 Dividiamo l’intervallo [0,4] in sottointervalli Partiamo dal nostro intervallo I=[0,4] e decidiamo di dividerlo ad esempio in n=10 sottoinvervalli tutti della stessa ampiezza Indichiamo ogni sottointervallo con 𝐼 1 , 𝐼 2 , …, 𝐼 10 . Ogni sottointervallo è individuato dai suoi estremi: 𝐼 1 = 0, 𝑥 1 ; 𝐼 2 = 𝑥 1 , 𝑥 2 … Il k-esimo sottointervallo sarà 𝐼 𝑘 = 𝑥 𝑘−1 , 𝑥 𝑘 Indichiamo questa ampiezza con il simbolo Δ𝑥 (e la chiameremo passo o step). Nel nostro caso numerico Δ𝑥= 4−0 10 =0,4 𝐼 𝑘 = 𝑥 𝑘−1 , 𝑥 𝑘 Costruiamo i rettangoli «dentro» il segmento di parabola Su ciascun sottointervallo costruiamo un rettangolo che avrà per base il sottointervallo e per ampiezza il valore «minimo» assunto dalla parabola nel sottointervallo. Passiamo ora calcolare l’area di ogni rettangolo:

Quadriamo la parabola – un caso con «i numeri» - qualche calcolo Introduzione al calcolo integrale Quadriamo la parabola – un caso con «i numeri» - qualche calcolo Vediamo come possiamo calcolare ogni estremo dei sottointervalli: 𝑥 𝑖 =(𝑖)∙Δ𝑥 con 𝑖=0,1,2,…10 2. Per calcolare l’altezza di ogni rettangolo: Il primo rettangolo su 𝐼 1 = 𝑥 0 , 𝑥 1 ha altezza =𝑓 𝑥 0 =𝑓 0 =0 Il secondo rettangolo su 𝐼 2 = 𝑥 1 , 𝑥 2 ha altezza =𝑓 𝑥 1 = 0,4 2 … e possiamo continuare così. 3. Possiamo concludere che il rettangolo sull’intervallo 𝐼 𝑘 =[ 𝑥 𝑘−1 , 𝑥 𝑘 ] ha altezza 𝑓 𝑥 𝑘−1 . Sfruttiamo quanto visto nel punto 1. Otteniamo 𝑓 𝑥 𝑘−1 =𝑓 𝑘−1 ∙Δ𝑥 = 𝑘−1 ∙Δ𝑥 2 con 𝑘=1,2,,,,10 𝑓 𝑥 𝑘−1 4. Ora possiamo calcolare l’area di ogni rettangolo. Possiamo procedere per ogni rettangolo, oppure considerare il generico rettangolo sull’intervallo 𝐼 𝑘 =[ 𝑥 𝑘−1 , 𝑥 𝑘 ] : Area rettangolo tutti gli intervallini hanno lo stesso passo Δ𝑥: =Δ𝑥∙ 𝑓 𝑥 𝑘−1 = per quanto visto sopra 𝑓 𝑥 𝑘−1 = 𝑘−1 ∙Δ𝑥 2 =Δ𝑥∙ 𝑘−1 ∙Δ𝑥 2 = ∆𝑥 3 ∙ 𝑘−1 2 𝑥 𝑘−1 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘−1 ∙𝑓 𝑥 𝑘−1 = 5. Per conoscere l’area dell’insieme dei rettangoli (detto anche plurirettangolo) sommiamo: 𝑘=1 10 ∆𝑥 3 ∙ 𝑘−1 2 = ∆𝑥 3 𝑘=1 10 𝑘−1 2

Introduzione al calcolo integrale Quadriamo la parabola – un caso con «i numeri» - l’area del plurirettangolo Tornando al nostro caso numerico, la sommatoria risulterà: 0,4 3 𝑘=1 10 𝑘−1 2 = 0,4 3 (0+ 1 2 + 2 2 +…+ 9 2 ) Cerchiamo, ad esempio con Google, se esiste una formula che mi permetta di calcolare rapidamente la somma dei quadrati in parentesi…altrimenti procederemo con la calcolatrice. 1+ 2 2 +…+ 𝑛 2 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 Per ulteriori informazioni ad esempio http://www.batmath.it/matematica/avista/somma_quadr/somma_quadr.htm Possiamo ora calcolare l’area del nostro plurirettangolo: 0,4 3 0+ 1 2 + 2 2 +…+ 9 2 = 0,4 3 ∙ 9 9+1 2∙9+1 6 ≅18,24

Proposta di attività Introduzione al calcolo integrale Attività n. 1: A conclusione di questa prima parte ti propongo alcune attività. Riguarda prima tutto quello che abbiamo fatto in classe e le slides precedenti e poi prova a svolgere le attività. Nel prossimo incontro avremo un poco di tempo per lavorare a gruppi e confrontare le risposte e poi proveremo a riorganizzarle assieme Attività n. 1: Anziché 10 sottointervalli decidiamo di costruire 20 sottointervalli: Prova a riscostruire tutti i passaggi Individua cosa si modifica e cosa rimane uguale (nei calcoli, ma anche nella sequenza di operazioni svolte) Calcola l’area del nuovo plurirettangolo. Attività n. 2: Ritorniamo ai 10 sottointervalli e decidiamo di costruire dei rettangoli che «contengono» il segmento di parabola, come in figura Prova a riscostruire tutti i passaggi Individua cosa si modifica e cosa rimane uguale (nei calcoli, ma anche nella sequenza di operazioni svolte) Calcola l’area del nuovo plurirettangolo.

Proposta di attività Introduzione al calcolo integrale Attività n. 3: Per i rettangoli «dentro» abbiamo scelto come altezza il valore assunto dalla parabola nell’estremo sinistro. Perché siamo certi che in ogni intervallino (limitato e chiuso) esiste questo minimo? Perché siamo certi che è nell’estremo sinistro? Attività n. 4: a) Sempre per i rettangoli «dentro» anziché considerare un numero fissato di sottointervalli, lasciamo indicato con n i sottointervalli. Prova a scrivere i passaggi ed i calcoli necessari a calcolare l’area del plurirettangolo. b) Come potremmo modificare i passaggi trovati sopra nel caso in cui l’intervallo che consideriamo è [0,b] anziché [0,4]? Attività n. 5: Proviamo adesso a descrivere i passaggi (ed eventualmente i calcoli lasciandoli indicati) nel caso volessimo calcolare l’area dei sottografici indicati nella figura (b) e (c) sempre in I=[0,4]