“Frazioni e numeri decimali: un percorso ricco di opportunità didattiche” Terzo incontro Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Di Ester Bonetti Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis 2008

Mazzo 20 carte, 5 per tipo Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis 2008

CHIUDIAMO LE FINESTRE (di Ester Bonetti N.D.R. Pavia) Materiale Pannello a forma di casa con finestre da ricoprire Tessere corrispondenti alle diverse unità frazionarie Un dado: ½, ¼, 1/8, 1/8, 1/16, 1/16 Una moneta: 1/8, 1/16 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

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CHIUDIAMO LE FINESTRE (di Ester Bonetti N.D.R. Pavia) Regole del gioco 2 giocatori scelgono 4 finestre alternativamente. A turno scelgono di lanciare il dado o la moneta e ricoprono la parte di finestra corrispondente all’unità frazionaria ottenuta con il lancio. Vince chi ricopre per primo le finestre scelte Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

ALTRI SIGNIFICATI DELLA FRAZIONE 6.1 LA FRAZIONE COME OPERATORE SU UN INTERO 6.1.1 Costruzione di una nuova grandezza a partire da una grandezza data 6.1.2 Confronto e ordinamento di frazioni - collocazione sulla linea dei numeri - rilievo di frazioni equivalenti 6.2 LA FRAZIONE COME RAPPORTO 6.2.1 Utilizzo di rapporti di scala 6.2.2 Utilizzo delle percentuali Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

6. 1 La frazione come operatore su un intero. 6. 1 6.1 La frazione come operatore su un intero 6.1.1 Costruzione di una grandezza a partire da una grandezza data Esempio Dato il segmento di estremi A e B e lungo 12 cm, si costruisca il segmento di estremi C e D e lungo i di AB. Per eseguire la costruzione si deve dividere il segmento AB in 6 parti uguali, poi si riportano, adiacenti l’uno all’altro, 5 segmenti ciascuno pari a di AB. Gli strumenti che si possono utilizzare sono la riga e compasso oppure la riga graduata. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

6. 1 La frazione come operatore su un intero. 6. 1 6.1 La frazione come operatore su un intero 6.1.1 Costruzione di una grandezza a partire da una grandezza data Come per la frazione come parte di un intero, ciò che interessa dell’intero è la grandezza ad esso associata: con riferimento all’esempio precedente, la grandezza è la lunghezza, per cui, se non venisse esplicitato nel testo del problema che CD deve essere un segmento, si potrebbe tracciare una linea qualunque, purché la sua lunghezza sia i di quella di AB: Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

6. 1 La frazione come operatore su un intero pag. 136. 6. 1 6.1 La frazione come operatore su un intero pag.136 6.1.1 Costruzione di una grandezza a partire da una grandezza data Esempio Si costruisca una figura che sia i del quadrato ABCD. C D B A A C B D Unità frazionaria Divido in 4 parti uguali ne considero una parte Costruisco a piacere una nuova figura formata da tre unità frazionarie ciascuna del valore di 1/4 La frazione come operatore risulta, dunque, dall’applicazione successiva di due operatori definiti da numeri naturali e produce una grandezza omogenea con quella a cui l’operatore frazionario viene applicato. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

6. 1 La frazione come operatore su un intero 6.1 La frazione come operatore su un intero Hanno senso anche frazioni con il numeratore maggiore del denominatore Esempio Si costruisca una figura che sia i del quadrato ABCD. A B C D P Il poligono P costruito ha area maggiore di quella del quadrato ABCD dato. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Frazioni improprie (rappresentazione errata) (rappresentazione corretta) ne considero una parte Divido in 4 parti uguali Unità frazionaria Costruisco a piacere una nuova figura formata da otto unità frazionarie ciascuna del valore di 1/4 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Frazioni improprie (rappresentazione errata) 12 7 (rappresentazione corretta) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

5 = di 2 (rappresentazione errata) (rappresentazione corretta) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Nonna Papera (alla ricerca degli errori) Nonna Papera è in attesa dei suoi 3 nipotini e per fare cosa a loro gradita prepara 3 tortine. Con sua grande sorpresa i nipotini arrivano accompagnati da un amico. Come dovrà fare Nonna Papera per non fare torto a nessuno? Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Nonna Papera Nonna Papera però è una nonna vispa ed intelligente ed immediatamente trova la soluzione del problema: divide ciascuna tortina in 4 parti uguali: ognuna della parti uguali rappresenta 1/4 di tortina, e così, avendo 3 tortine, dispone di un totale di 3 x 4=12 parti uguali, ovvero 12/4 di tortina: Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Nonna Papera A questo punto distribuisce 3 pezzi a ciascun ragazzo, cioè i 3/4 di tortina, non facendo torto a nessuno (è corretto affermare che non ha fatto torto a nessuna?) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

6.1 La frazione come operatore Esempio Sofia ha 8 fermagli per capelli, Sandra ne ha i di quelli di Sofia. Quanti fermagli ha Sandra? (8 : 2)  5 = 4  5 = 20 I fermagli di Sandra sono 20, più numerosi di quelli di Sofia. Le frazioni con numeratore maggiore o uguale del denominatore sono dette frazioni improprie; fra queste ve ne sono alcune che sono equivalenti ad operatori esprimibili con numeri naturali e sono chiamate frazioni apparenti. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

La frazione come operatore Costruzione di una grandezza a partire da una grandezza data pag.143 L’ARANCIATA Osserva i tre recipienti….L’aranciata contenuta nel secondo recipiente è i 3/4 di quella contenuta nel primo, mentre quella contenuta nel terzo recipiente è i 5/4 di quella contenuta nel primo. Colora tu l’aranciata contenuta nel secondo e nel terzo recipiente Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

FRAZIONI IN LINEA (confronto e ordinamento di frazioni pag.148) Sulle rette sono state collocate alcune frazioni. Completale in modo opportuno 1 2 4 … 7 10 3 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

FRAZIONI IN LINEA (confronto e ordinamento di frazioni) Sulle rette sono state collocate alcune frazioni. Completale in modo opportuno 1 3 2 … 4 5 6 8 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

FRAZIONI IN LINEA (confronto e ordinamento di frazioni) Rispondi osservando le rette. Dove si trovano le frazioni proprie? Nell’intervallo …………… Le frazioni proprie sono maggiori di …….. e minori di ……. Le frazioni improprie sono quelle …………………………………… Le frazioni improprie apparenti sono quelle ………………………… Scrivi due frazioni che occupano la stessa posizione sulla linea dei numeri ………… Sono frazioni ……………. 6/2 e 9/3 sono frazioni equivalenti, perché …………………………. 0 - 1 1 maggiori o uguali a 1 che sulla linea dei numeri occupano lo stesso posto dei numeri naturali equivalenti occupano lo stesso posto sulla linea dei numeri naturali Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

LA FRAZIONE COME RAPPORTO 6.2.1 Utilizzo di rapporti di scala 6.2.2 Utilizzo delle percentuali Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

6.2 LA FRAZIONE COME RAPPORTO Un rapporto può essere tra due grandezze dello stesso tipo: il rapporto in questo caso è privo di dimensioni, è un numero puro; esempi in geometria i rapporti di similitudine (tra lunghezze o aree o volumi) e di scala (tra lunghezze), in statistica la frequenza relativa, in teoria della probabilità la probabilità stessa, … le percentuali. di tipo diverso: il rapporto in questo caso è a sua volta una grandezza, quindi è un numero con dimensione; esempi in ambito scientifico: la velocità di un corpo è il rapporto tra lo spazio percorso dal corpo (una distanza) e l’intervallo di tempo in cui tale spostamento è avvenuto; la densità di una corpo è il rapporto tra la massa del corpo e il volume occupato dal corpo stesso; il peso specifico di una sostanza è il rapporto tra il peso di un corpo costituito da quella sostanza (una forza) e il volume occupato dal corpo, … Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

LA FRAZIONE COME RAPPORTO Utilizzo di rapporti di scala pag.167 UNA "MAPPA" PER GIOCARE A B C D E Nel cortile della scuola “Imparobene” deve essere rifatta la pavimentazione. Il Dirigente scolastico approfitta dei lavori in corso per fare inserire nel selciato schemi di gioco e incarica gli alunni delle classi quinte a formulare le loro proposte. La classe 5a A propone di realizzare lo schema del gioco "Il mondo" che ha progettato nel disegno a fianco. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

UNA "MAPPA" PER GIOCARE AB Lunghezza del segmento Nel disegno Sul progetto il segmento AB è lungo 5 cm e il segmento BC è lungo 1,5 cm. In cortile, il lato corrispondente ad AB dovrà essere lungo 2 m. Aiutandoti con uno schema determina il rapporto tra le lunghezze dei segmenti del progetto e le corrispondenti lunghezze reali. Nel disegno Nella realtà AB In centimetri In metri 5 2 Lunghezza del segmento 200 A ogni centimetro del segmento del disegno corrispondono ………nella realtà Scala ………: ………………. Usando tale rapporto calcola: La lunghezza reale del segmento BC: ………………………… La lunghezza reale del segmento ED …………………………. 40cm 1 40 60cm 40cm Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

LA FRAZIONE COME RAPPORTO Utilizzo delle percentuali IL BOSCO DI FORNOLOVASCO Il bosco di Fornolovasco, che ricopre le pendici dell’Appennino, è un querco-carpineto in cui le essenze arboree sono così distribuite: Querce 45% Carpini 40% Robinie 5% altre 10% Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

LA FRAZIONE COME RAPPORTO Utilizzo delle percentuali IL BOSCO DI FORNOLOVASCO pag. 159 Su 500 piante censite, quante saranno le querce, quanti i carpini e quante le robinie? 45 45 1. QUERCE 45% = di 500 (500 : 100) x 45= 100 100 2. CARPINI 40% = …….. ………di ………………………….. 3. ROBINIE 5% = …….. ………di ………………………….. 4. ALTRE 10% = …….. ………di ………………………….. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

LA FRAZIONE COME RAPPORTO Utilizzo delle percentuali BISCOTTI CONVENIENTI Giovanni e Carla devono comperare al supermercato un sacchetto di biscotti, seguendo le raccomandazioni della mamma: comperate i biscotti più convenienti guardate bene anche il peso. I fratelli arrivano al negozio e osservano bene i prodotti esposti: 1kg 500g 1kg 3,10 euro 3 euro 4 euro sconto 20 % sconto 25 % sconto 36 % Scopri qual è la confezione più conveniente. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

LA FRAZIONE COME RAPPORTO Utilizzo delle percentuali BISCOTTI CONVENIENTI Sconto 20% = 20 100 di 3,10 20 100 0.62 1kg 1kg Sconto 25% = ….. di … …. … 1kg Sconto 36% = ….. di …. … …. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

A SPASSO NEL DESERTO LIBICO (pag. 184) I signori Germa e i signori Pinco hanno prenotato, nel periodo delle vacanze pasquali, un viaggio nel Sahara libico: oasi sperdute, laghi tra le grandi dune di sabbia, straordinari paesaggi e graffiti preistorici. Il viaggio durerà 7 giorni e sul catalogo dell'agenzia sono indicati i seguenti costi per ciascun partecipante: quota di partecipazione, comprendente: viaggio i aereo con partenza e arrivo dall'aeroporto di Roma, pernottamento in camera doppia, trattamento di pensione completa € 1 467,00 quota d'iscrizione € 44,50 supplemento partenza da altri aeroporti € 165,00 spese visto per passaporto € 51,20 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

A SPASSO NEL DESERTO LIBICO (pag. 184) I signori Germa e i signori Pinco partiranno dall'aeroporto di Milano per congiungersi al resto del gruppo a Roma. Calcola quanto costerà il viaggio ai signori Germa e ai signori Pinco. All'atto della prenotazione dovrà essere versato un acconto pari al 25% del costo del viaggio, che per i signori Germa e Pinco significa euro … I signori Pinco, quando ormai avevano versato l'intera quota, sono costretti a rinunciare al viaggio perché la signora Pinco si è fratturata una gamba. Chiedono, allora, all'agenzia il rimborso: l'agenzia restituirà loro l'80% del costo complessivo. Quanto non verrà rimborsato ai signori Pinco…………………………… Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis marzo 2015

Bottiglie e caraffe (da Mathe école) Il cameriere di un ristorante riempie delle caraffe con delle bottiglie di vino: quando versa il contenuto di una bottiglia in una caraffa, nella bottiglia resta del vino; con quattro di questi resti può riempire una bottiglia. Quale frazione di bottiglia rappresenta uno di questi resti? Quanti resti sono necessari per riempire una caraffa? Quale frazione di caraffa rappresenta uno di questi resti? Quante bottiglie sono necessarie per riempire esattamente 4 caraffe? Prendendo la bottiglia come unità qual è il contenuto della caraffa? Prendendo la caraffa come unità qual è il contenuto della bottiglia? Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis 2008

Bottiglie e caraffe Risposte Quale frazione di bottiglia rappresenta uno di questi resti? 1/4 Quanti resti sono necessari per riempire una caraffa? 3 Quale frazione di caraffa rappresenta uno di questi resti? 1/3 Quante bottiglie sono necessarie per riempire esattamente 4 caraffe? 12 Prendendo la bottiglia come unità qual è il contenuto della caraffa? 3/4 Prendendo la caraffa come unità qual è il contenuto della bottiglia? 4/3 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis 2008