I Radicali Prof.ssa A.Comis

Definizione e proprietà Operazioni Definizione e proprietà Trasporto dentro e fuori Radicali simili Radicali doppi Razionalizzazione

Definizione Dato un numero n intero positivo, si chiama radice nma aritmetica del numero non negativo a il numero reale non negativo b che, elevato ad n, dà per risultato a.

Questo numero reale non negativo si indica con: Dalla definizione risulta: ovvero, se a e b sono numeri reali non negativi, si ha l’equivalenza cioè: dove a si chiama radicando, n si chiama indice del radicale e b si chiama radice. Possiamo quindi dire che l’operazione di estrazione di radice è inversa a quella di elevamento a potenza.

Osservazioni importanti

Esempio: L’operazione con a quale si passa dal numero a al numero si chiama estrazione di radice ennesima. Esempio: poiché Ricorda che: e si legge : “ la radice quinta di 32 è uguale a 2”. In particolare: 2 si dice radice; 32 si dice radicando; si dice segno di radice; si dice radicale; 5 si dice indice del radicale.

Proprietà invariantiva Il valore di un radicale aritmetico non cambia se si moltiplicano l’indice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo.

Esempi

Semplificazione o Riduzione La proprietà invariantiva si può “invertire”, cioè possiamo dire che : Il valore di un radicale aritmetico non cambia se si dividono l’indice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo. Quando ciò è possibile, diciamo che il radicale è RIDUCIBILE e l’operazione si chiama semplificazione. Se l’indice e l’esponente del radicando non hanno fattori comuni, il radicale si dice IRRIDUCIBILE.

Esempi di riduzione

Riduzione allo stesso indice La proprietà invariantiva che abbiamo già studiato permette di ridurre più radicali aritmetici allo stesso indice, senza alterarne il valore, mediante la seguente regola: Si scrivono i radicali in forma irriducibile. L’indice comune dei radicali è il m.c.m. fra TUTTI gli indici. Si divide tale indice comune per ogni indice dei radicali dati ed il quoziente si moltiplica per il corrispondente esponente del radicando.

Esempi

Prodotto di radicali Il prodotto di due o più radicali ridotti allo stesso indice, è un radicale che ha lo stesso indice dei radicali dati e per radicando il prodotto dei singoli radicandi.

Quoziente di radicali Il quoziente di due radicali ridotti allo stesso indice, dei quali il secondo abbia il radicando diverso da zero,è un radicale che ha lo stesso indice dei radicali dati e per radicando il rapporto dei singoli radicandi

Potenza di un radicale La potenza p-esima di un radicale, con p intero non negativo, è un radicale che ha lo stesso indice del radicale dato e per radicando la potenza p-esima del radicando.

Radice di un radicale La radice m-esima di un radicale è un radicale che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando del radicale dato.

Riassumendo Abbiamo quindi visto che:

Trasporto di un fattore sotto il segno di radice Per trasportare un fattore all’interno di un radicale, basta semplicemente elevarlo ad un esponente pari all’indice del radicale dato.

Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice Dato un radicale di indice n, un fattore del radicando con esponente p multiplo di n, può essere trasportato fuori dal segno di radice come potenza di uguale base e con un esponente pari al quoziente tra p ed n.

Regola per il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice Se l’esponente p di un fattore del radicando è maggiore di n ma NON è multiplo di n, il fattore può essere parzialmente trasportato fuori dal segno di radice con la seguente regola: La parte del fattore che esce fuori, è una potenza con la stessa base che ha per esponente il quoziente tra p ed n; La parte del fattore che rimane dentro, è una potenza che ha la stessa base e per esponente il resto del quoziente tra p ed n.

Esempi

Radicali simili Due o più radicali irriducibili si dicono simili quando hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. Come per i monomi, la somma algebrica di più radicali simili è un radicale simile a quelli dati che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

Osservazione E’ importante sottolineare che la somma algebrica di più radicali con lo stesso indice NON è il radicale della somma. Cioè sono ERRATE le seguenti scritture:

Espressioni con i radicali Si chiama Espressione con i radicali una espressione nella quale figurano operazioni sui radicali. Vediamo qualche esempio:

Altri esempi

Razionalizzazione Razionalizzare significa rendere razionale il denominatore di una frazione. Per razionalizzare una frazione basta moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per un opportuno fattore diverso da zero.

1° caso Se il denominatore della frazione è un radicale quadratico irriducibile, cioè se è del tipo :

2° caso Se il denominatore della frazione è un radicale irriducibile di indice qualunque, cioè se è del tipo :

Esempi

3° caso Se il denominatore della frazione è la somma algebrica di due radicali quadratici, cioè se è del tipo :

Osservazione Si applica un analogo procedimento se la frazione è del tipo :

Esempi

4° caso Se il denominatore della frazione è la somma di tre o quattro radicali quadratici, cioè se è del tipo :

5° caso Se, infine, il denominatore della frazione è la somma algebrica di due radicali cubici, cioè se è del tipo :

Esempi

Radicali doppi Si chiama radicale quadratico doppio ogni espressione della forma :

Potenza con esponente razionale Per concludere l’argomento dei radicali trattato fin qui, possiamo ampliare il concetto di potenza di un numero già studiato, e dire che: