PASSEPARTOUT – Milano Bicocca – 18 Giugno 2002 Expected Shortfall e Misure Spettrali di Rischio: Un’ indagine critica sul concetto di rischio finanziario PASSEPARTOUT – Milano Bicocca – 18 Giugno 2002

Schema della presentazione Definire una Misura di Rischio: Value at Risk (VaR) Expected Shortfall (ES) Misure Coerenti di Rischio Definizione Coerente di ES: alcune sottigliezze matematiche Misure Spettrali di Rischio “Subjective Risk Aversion” e Misure Coerenti. La “Risk Aversion Function” 

Le domande del Risk Manager Argomento: solo finanza (e un po’ di statistica) Le domande del Risk Manager Finanziarie Statistiche Probabilistiche Computazionali Che cosa misuro ? Come stimo la misura ? Che ipotesi devo fare ? Che computer mi serve ? La nostra indagine è dedicata solo a temi finanziari e statistici. I risultati saranno peraltro assolutamente generali

Parte 1: Definire una Misura di Rischio

Per quanto sembri strana questa è la più frequente domanda nella gestione del rischio finanziario Value at Risk (VaR): come funziona Per calcolare il VaR di un portafoglio si deve fissare: Un orizzonte temporale: ad esempio un giorno. Rappresenta il periodo futuro di osservazione. Un livello di confidenza: ad esempio una probabilità del 5%. Rappresenta la frazione scelta di “casi peggiori” per il portafoglio. Il VaR è definito da “Il VaR di un portafoglio è la perdita minima che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori” O analogamente, “Il VaR di un portafoglio è la perdita massima che esso può subire in un giorno nel 95% di casi migliori”

Value at Risk (VaR): come funziona

ES = la media dei casi peggiori VaR = il migliore dei casi peggiori L’Expected Shortfall come evoluzione del VaR Definizione di Expected Shortfall: “L’ ES di un portafoglio è la perdita media che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori” Mentre “Il VaR di un portafoglio è la perdita minima che esso può subire in un giorno nel 5% di casi peggiori” ES = la media dei casi peggiori VaR = il migliore dei casi peggiori

... ma cambia poi così tanto ? Expected Shortfall: come funziona ... ma cambia poi così tanto ?

Il VaR non si preoccupa di che cosa succeda oltre la soglia. Rischi diversi ma stesso VaR Il VaR non si preoccupa di che cosa succeda oltre la soglia. Io invece mi preoccupo !

Protection Selling ... Possiamo classificare gli strumenti o portafogli finanziari in due categorie: Protection Seller Position: è una posizione finanziaria tipicamente soggetta a rischi molto elevati ma di probabilità molto bassa, con profitti relativamente modesti ma molto probabili. es: una compagnia di assicurazione che percepisce una polizza annua ma garantisce l’indennizzo dei danni derivanti da una catastrofe. es: un investitore che compra un bond soggetto a rischio di default, scommettendo in interessi vantaggiosi ma incorrendo nel rischio che l’emittente fallisca. es: una posizione “corta in opzioni” (Put o Call che siano). es: tutte le posizioni in derivati cosiddette “corte di volatilità”

... e Protection Buying Il viceversa è costituito da ... Protection Buying Position: è una posizione finanziaria tipicamente soggetta a rischi limitati ma di probabilità relativamente alta, con profitti molto elevati o anche potenzialmente illimitati ma dall’eventualità remota. es: il sottoscrittore della polizza assicurativa a protezione di un rischio da catastrofe es: un giocatore di totocalcio che compri una schedina a due colonne. es: un investitore che compri un Warrant (Call o Put che sia ...) es: tutte le posizioni in derivati “lunghe di volatilità”

Un confronto tra VaR ed ES: rischi estremi Il Protection Seller rischia sempre più del Protection Buyer se hanno lo stesso VaR !!!!

1997: qualcuno comincia a sollevare pesanti critiche al VaR “(…) The basic reasons to reject the value at risk measure of risks are the following: (a) value at risk does not behave nicely with respect to addition of risks (…) creating severe aggregation problems. (b) the use of value at risk does not encourage and, indeed, sometimes prohibits diversification, because value at risk does not take into account the economic consequences of the events the probabilities of which it controls” P. Artzner, F. Delbaen, et al, 1999, “Coherent Measures of Risk”, see http://www.math.ethz.ch/~delbaen “Can VaR be used to allocate capital? This question is much related to the non-subadditivity of VaR (…) VaR is more than questionable” P. Embrechts, “Extreme Value Theory: potential and limitations as an integrated Risk Management Tool”, 1999, see http://www.math.ethz.ch/~embrechts

rischio di (A) + rischio di (B) Il principio di diversificazione dei rischi L’ aggregazione di due portafogli ha sempre l’effetto di ridurre o al più di lasciare inalterato il rischio complessivo. + = Portfolio A Portfolio B Portfolio A + B Il rischio di ( A + B ) è inferiore o uguale a rischio di (A) + rischio di (B)

Il VaR vìola questo assioma Il principio di diversificazione finisce qui Misure Coerenti di Rischio In un celebre articolo “Coherent measures of Risk” (Artzner, Delbaen, Eber, Heath Mathematical Finance, Luglio 1999) venne proposto un insieme di assiomi per definire i requisiti fondamentali di una “misura coerente di rischio”. (Monotonicità) se allora (Omogeneità Positiva) se allora (Invarianza Translazionale) (Subadditività) Il VaR vìola questo assioma

... una misura non coerente non è una misura di rischio Ma che cosa significa “misura coerente di rischio” ? Una misura è coerente se attribuisce sempre valori maggiori a rischi più elevati Una misura che non sia coerente può quindi aumentare al diminuire del rischio e viceversa. Quindi .... ... una misura non coerente non è una misura di rischio

Una violazione di subadditività del VaR Consideriamo un Bond A e supponiamo che, a maturità, ci siano tre possibilità: 1) No default: rimborsa il nominale (100 Euro) e la cedola (8 Euro) 2) Soft default: rimborsa solo il nominale (100 Euro) 3) Hard Default: non rimborsa nulla

RISCHI ANTICORRELATI = Una violazione di subadditività del VaR Consideriamo un altro Bond B identico ad A, ma di diverso emittente Supponiamo inoltre che i rischi di default dei due bond siano mutuamente esclusivi e cioè che i due emittenti A e B non facciano mai default assieme. Caso tipico: RISCHI ANTICORRELATI = RIDUZIONE DEL RISCHIO IN CASO DI DIVERSIFICAZIONE

Il VaR sconsiglia la diversificazione ! L’ES suggerisce la diversificazione Misura del Rischio

Il VaR non è coerente Non-coerenza del VaR L’esempio precedente mette in luce i tipici problemi del VaR Il VaR può scoraggiare la diversificazione (non è subadditivo) Il VaR, fornisce un valore inferiore (44) per un portafoglio più rischioso (1000 Euro di bond A) e un valore maggiore (484) per un portafoglio meno rischioso (1000 Euro di A+B diversificati). Il VaR non è coerente

Bond payoff = Nominale (o 0 con probabilità del 2%) Un portafoglio prototipo Si consideri un portafoglio di n bonds rischiosi tutti con probabilità di default del 2% e si supponga per semplicità che tutte le probabilità di default siano tra loro indipendenti. Portfolio = { 100 Euro investiti in n Bonds indipendenti ugualmente rischiosi} Bond payoff = Nominale (o 0 con probabilità del 2%) Domanda: si scelga n in modo da minimizzare il rischio del portafoglio Proviamo a vedere come rispondono a questa domanda il VaR, l’ES e TCE con livello di confidenza al 5% e orizzonte temporale uguale alla maturità del bond.

Il “rischio” come funzione del numero di bonds del portafoglio La superficie di rischio dell’ES ha un solo minimo globale a n= e nessun minimo locale. L’ES ti dice semplicemente: “compra più bonds che puoi” VaR suggerisce di NON COMPRARE il 6o, 36o o 83o bond perché aumenta il rischio del portafoglio .... (!!! ???) Forse le cose migliorano per n maggiore ???...

Portafogli grandi ... il problema permane ! Su portafogli più grandi si riscontra lo stesso schema caotico ... Si noti che il portafoglio con 320 bonds ha un VaR inferiore di quello con 400 bonds. Portafogli grandi ... il problema permane !

...forse c’è davvero qualche problema nel 36o bond ?! Se usiamo un VaR al 3% invece che al 5% il “bond pericoloso” non è più il 36o bensì il 28o.... (!?... Nonsense !)

Riserve come se VaR = 10 ? BANCA Subadditività e allocazione del capitale L’assenza di subadditività rende il VaR inadatto per allocare capitale. In una banca costituita da più centri di rischio, è comune (o inevitabile per ragioni pratiche) misurare i rischi in ciascuna entità separata, riportando i valori ad un ufficio centrale di gestione dei rischi Riserve come se VaR = 10 ? BANCA business unit: Fixed Income business unit: Equities business unit: Forex VaR = 5 VaR = 3 VaR = 2

... ma il VaR della banca può essere anche molto superiore a 10 Subadditività e vigilanza bancaria Disponendo dei singoli valori di VaR per le diverse Business Units, è consuetudine provvedere ad accantonamenti ai fini della Vigilanza bancaria per ciascuno di questi Valori di VaR. Ma questo equivale a credere che il VaR sia SUBADDITIVO ! VaR Equity = 5 VaR Forex = 3 VaR Bonds = 2 Riserve per un VaR = 10 ? ... ma il VaR della banca può essere anche molto superiore a 10

E l’Expected Shortfall è coerente ? La definizione originale di Expected Shortfall (anche nota come TCE, CVaR o Expected Loss) è Anche questa misura NON è SUBADDITIVA in generale e quindi NON è COERENTE. Si può mostrare che è subadditiva se la distribuzione delle perdite è continua. Nel caso di distribuzioni generali tuttavia essa non gode di subadditività.

2001: una definizione coerente di Expected Shortfall Febbraio 2001: nuova definizione di Expected Shortfall Dimostrazione generale di coerenza: C.Acerbi, C.Nordio and C.Sirtori, “Expected Shortfall as a Tool of Financial Risk Management” http://www.aifirm.com/archivio/Pubblicazioni/Expected%20Shortfall%20as.pdf Nel caso di distribuzioni continue essa coincide con La dimostrazione di coerenza vale senza alcuna ipotesi sulla distribuzione.

Stimare l’Expected Shortfall Si può dimostrare (Acerbi, Tasche 2001) che l’ES è effettivamente stimabile in modo consistente tramite il semplice stimatore “Media dei 100% casi peggiori”. Ordered statistics (= dati ordinati dal peggiore al migliore)

Parte 2: Misure Spettrali di Rischio

Una domanda naturale L’ Expected Shortfall è un caso isolato o esiste una classe più ampia di misure coerenti di rischio ? E’ possibile costruire nuove misure coerenti a partire da misure coerenti note ? La risposta è semplice e consente di generare un’intera CLASSE di misure coerenti. Date n misure di rischio coerenti 1, 2,... n qualsiasi combinazione lineare convessa  = 1 1 + 2 2 + ...+ n n ( con k k = 1 e k>0 ) è una MISURA COERENTE

Interpretazione Geometrica Date n misure coerenti note, la loro combinazione convessa più generale, è uno qualsiasi dei punti dello spazio di misure di rischio racchiuse nel “poligono convesso” generato. Se ogni punto rappresenta una misura coerente nota ... ... Allora ogni altro punto nel “poligono convesso” generato è una nuova misura coerente

La nostra strategia .... Ma noi conosciamo già infinite misure coerenti di rischio, date da tutte le possibili -Expected Shortfalls per ogni valore di  compreso tra 0 e 1 Perciò possiamo generare un nuovo spazio di misure coerenti. Questa classe verrà definita “Misure Spettrali di Rischio” Insieme di Expected Shortfalls con (0,1] Poligono Convesso = Nuovo spazio di misure coerenti

Misure Spettrali: La classe di Misure Spettrali di Rischio può essere facilmente parametrizzata come imponendo opportune condizioni sullo Spettro di Rischio definito sull’intervallo [0,1]. Si noti che questa parametrizzazione contiene sia il VaR che l’ES: ES: Funzione a Gradino di Heaviside VaR: Delta di Dirac

Misure Spettrali di Rischio Teorema: (Acerbi 2001) la Misura Spettrale di Rischio è coerente se e solo se il suo Spettro di Rischio soddisfa è positivo è decrescente

“(p) decrescente” spiega l’essenza di coerenza: La “Risk Aversion Function” (p) “(p) decrescente” spiega l’essenza di coerenza: ...una misura è coerente solo se assegna “pesi maggiori ai casi via via peggiori” Ogni ammissibile (p) rappresenta un possibile legittimo atteggiamento razionale verso il rischio Un investitore razionale può esprimere la propria soggettiva avversione verso il rischio mediante la sua soggettiva (p) ottenendo la sua misura coerente spettrale M (p): Risk Aversion Function Può essere pensata come una funzione che “pesa” tutti i casi dal peggiore al migliore Casi peggiori Casi migliori

La Risk Aversion Function (p) per l’ES e il VaR Expected Shortfall: Funzione a Gradino positiva decrescente Value at Risk: Funzione a Picco positiva non decrescente

Stimare le Misure Spettrali di Rischio Si può dimostrare (Acerbi 2001) che ogni misura spettrale ha il seguente stimatore consistente: Ordered statistics (= dati ordinati dal peggiore al migliore) Funzione  discretizzata

Ci vuole un quinto e un sesto assioma ? Se in un certo senso “X è peggiore di Y in probabilità”, allora il suo rischio dev’essere più elevato. La misura di rischio dipende SOLO dalla distribuzione di probabilità di X e ciò consente di stimarla da dati empirici di X. Se X e Y sono “perfettamente correlati”, allora il rischio della somma X+Y dev’essere esattamente pari alla somma dei rischi di X e Y. (X+Y) = (X) + (Y) Ci vuole un quinto e un sesto assioma ? Si può mostrare che le misure spettrali M sono tutte e sole le misure coerenti che soddisfano due ulteriori assiomi: (Kusuoka 2001 e Acerbi, Tasche, working paper) La prima condizione può essere espressa in due modi equivalenti: (“First Stochastic Dominance”) Se Prob(X a)  Prob(Y a), aR allora (Y)  (X) (“Stimabilità da dati empirici” o “law invariance”) Dev’essere possibile stimare (X) da estrazioni empiriche di X La seconda condizione è data da: (“Additività Comonotona”) Se X e Y sono rischi comonotoni, allora (X+Y) = (X) + (Y)

Conclusioni Lo spazio delle Misure Spettrali M fornisce la rappresentazione di tutte le misure coerenti di rischio che si prestano ad applicazioni concrete. Ogni misura coerente di questo spazio è in corrispondenza biunivoca con ogni forma razionale di avversione al rischio di un investitore. Per ogni misura spettrale M è disponibile uno stimatore empirico consistente. L’applicazione concreta di qualsiasi misura spettrale è elementare. L’ES non gioca alcun ruolo privilegiato all’interno delle Misure Spettrali. Il Value at Risk da questo punto di vista risulta del tutto inadeguato per la descrizione e misurazione dei rischi di un portafoglio. E’ associabile ad un atteggiamento al rischio non razionale.

Riferimenti

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