Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio RIFLESSIONI TEORICHE E DIDATTICHE SUI NUMERI NATURALI, DECIMALI E SULLE RELATIVE OPERAZIONI Durante gli incontri verranno sinteticamente illustrati gli aspetti teorici più importanti legati agli argomenti trattati. Verranno affrontati, inoltre, testi di problemi in quanto si ritiene che siano significativi soprattutto sul piano didattico. Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Calendario in contri 1° Incontro: martedì 13 OTTOBRE 2015 2° Incontro: martedì 27 OTTOBRE 2015 3° Incontro: martedì 10 NIVEMBRE 2015 4° Incontro: martedì 24 NIVEMBRE 2015 5° Incontro: martedì 1 DICEMBRE 2015 Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio MATEMATICA Non è cosa da geni. Non è un linguaggio incomprensibile. Non è un sistema di formule. Non è abilità di calcolo. Non è un insieme di simboli astrusi. Non è un oscuro gioco di numeri. Non è esercizio di memoria. MATEMATICA E’ UN MONDO DA SCOPRIRE Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Riflessioni su “cifra” e “numero” da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli Nella lingua “cifra” “numero” Esempi (soprattutto con i costi) Si dispone di una certa cifra Quel vestito costa una cifra L’inflazione è a due cifre La cifra da pagare si aggira sui 10 000 euro 500 000 euro sono una bella cifra Fare cifra tonda Battuto all’asta per una cifra di 26 000 euro Si parla di numeri rappresentati da cifre Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Riflessioni su “cifra” e “numero” In matematica: uso improprio delle parole “cifra” e “numero” Criteri di divisibilità del valore Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un suo multiplo. 771   7+7+1=15 (divisibile per 3) Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Riflessioni su “cifra” e “numero” da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli Le parole si possono scrivere solo in un modo (“tavolo” è il nome di un oggetto). I numeri si possono scrivere in due modi in lettere in cifre Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Riflessioni su “cifra” e “numero” da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli Problema che mette in gioco “numeri” e “cifre” “Qual è il numero più grande che si può scrivere servendosi tre volte della stessa cifra?” 9 SOLUZIONE: Senza altri segni oltre alle cifre (9!) 9 (9 9) Con altri segni oltre alle cifre Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Invece …. “Qual è il numero più grande che si può scrivere con tre cifre?” 999 100 “Qual è il numero più piccolo che si può scrivere con tre cifre?” “Qual è il numero più grande che si può scrivere con tre cifre diverse?” 987 “Qual è il numero più piccolo che si può scrivere con tre cifre diverse?” 102 Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Riflettiamo “Qual è il numero più grande che si può scrivere con tre cifre diverse?” Tutte diverse? Non tutte uguali? 987 998 Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Riflettiamo “Qual è il numero più piccolo che si può scrivere con tre cifre diverse?” Tutte diverse? Non tutte uguali? 102 100 Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Riflettiamo … 5 “è un numero o una cifra?” Può essere considerato numero o cifra a seconda del contesto Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Riflettiamo sul contesto … Nel numero 258 la cifra 5 che posto occupa? Nel numero 258 qual è il numero delle decine? Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Riflettiamo … 35 “è un numero o una cifra?” È un numero rappresentato da due cifre. Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Concludendo … Solo per i numeri che si scrivono con una cifra è necessario precisare il contesto. Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Il mago dei numeri di Hans M. Enzensberger                                                                                          Prezzo di listino: € 10,50 Einaudi, 1997 - pp.260 Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Da Il mago dei numeri di Hans M. Enzensberger (prima notte) - … Perché sei così diffidente? Se vuoi, ti faccio vedere come dall’1 si fanno tutte le altre cifre? E allora come si fa? È semplicissimo, così: 1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 123211 Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio LA COMBINAZIONE DELLA CASSAFORTE Il signor Gianni Smemorini ha dimenticato la combinazione della sua cassaforte; chiama a raccolta tutta la famiglia per vedere se mettendo insieme i loro ricordi si riesce a ricostruire la combinazione. Il signor Gianni ricorda che il numero è formato da 5 cifre tra loro diverse la moglie dice che la prima cifra è 9 il figlio ricorda che l’ultima cifra è 8 la figlia è certa che la somma dei valori delle cifre della combinazione è 22. Con queste informazioni la famiglia Smemorini riesce a trovare alcune possibili combinazioni. * Scrivi tutte le possibili combinazioni che rispettano le informazioni date. Analisi del compito e dei possibili sviluppi Le informazioni date esplicitamente consentono di fissare la prima e l’ultima cifra della combinazione della cassaforte: 9 8 La somma dei valori delle cifre della combinazione è 22, quindi la somma dei valori delle cifre mancanti è 22 – (9 + 8) = 5. Tale somma deve essere ottenuta con tre addendi distinti; si hanno i casi Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Nella seconda parte del problema viene data un’ulteriore informazione (l’ordine decrescente dei valori delle prime quattro cifre della combinazione) che permette di ridurre le soluzioni possibili alle due seguenti 9 0 1 4 8 9 0 4 1 8 9 0 2 3 8 9 0 3 2 8 9 1 0 4 8 9 1 4 0 8 9 2 0 3 8 9 2 3 0 8 9 3 0 2 8 9 3 2 0 8 9 4 0 1 8 9 4 1 0 8 9 3 2 0 8 9 4 1 0 8 Dato che il signor Gianni ha a disposizione tre tentativi per aprire la cassaforte prima di fare scattare l’allarme, ora può provare entrambe le combinazioni senza correre rischi. Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio NUMERI "CROCIATI" (cat. 4, 5) 7o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999 Completate questo schema di numeri disponendo una cifra per ogni casella, in base alle seguenti indicazioni: Orizzontali 1. Multiplo di 4 2. Le tre cifre di questo numero sono numeri naturali consecutivi (che si susseguono in ordine crescente) 3. Le due cifre di questo numero sono numeri la cui differenza è un multiplo di 2 Verticali A. Le due cifre di questo numero sono numeri dispari consecutivi (che si susseguono in ordine crescente) B. Multiplo di 9 C. Multiplo di 7 e di 11 Spiegate come avete ragionato Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio NUMERI "CROCIATI" (cat. 4, 5) 7o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999 Campo concettuale: - aritmetica: numerazione, multipli - organizzazione dei dati Analisi del compito: - leggere tutte le definizioni e scegliere quella che permette di definire un numero in modo univoco: C verticale (77); - capire che, di conseguenza, anche il 2 orizzontale risulta definito in modo univoco (567) etc.; - formulare le ipotesi necessarie per individuare l'1 e il 3 orizzontale e il B verticale Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Le proprietà dello zero … a fumetti Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Notizie, non da poco, sullo zero Zero. Storia di una cifra autore Kaplan Robert Prezzo: € 9,80  Editore Rizzoli collana anno1999  pp.325  Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Storia dello zero (Zero. Storia di una cifra) DUE CUNEI obliqui appaiati o parzialmente sovrapposti IN UN MUCCHIO DI ARGILLA (inizio II millennio a.C) ZERO Inizio carriera Numerazione binaria, composta solo da 0 e 1, grazie alla quale funziona tutto ciò che è digitale ZERO Uno degli utilizzi odierni Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Creato da: Tim Bell, Ian H. Witten e Mike Fellows I numeri binari Creato da: Tim Bell, Ian H. Witten e Mike Fellows Materiale occorrente e regole del gioco: cinque carte per ogni alunno, come mostrato qui sotto, con punti su un lato e niente sull'altro. Quale regola unisce il numero dei punti presente sulle carte? (Ogni carta ha il doppio dei punti della carta immediatamente alla destra). Quanti punti avrebbe la prossima carta se ne aggiungessimo una a sinistra? (32) e quella successiva?... Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Potete usare queste carte per scrivere numeri tenendone alcune coi punti rivolti verso di sè e girando le rimanenti dal lato del dorso. La somma dei punti visibili è il numero. Chiedete agli studenti di scrivere 6 (la carta 4 e la carta 2) poi 15 (la 8, la 4, la 2 e la 1), Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Una carta visibile, cioè esposta dal lato coi punti, si rappresenta con un uno. Una carta girata dal lato senza punti, si rappresenta con uno zero. Questo è il sistema di numerazione binario. 1 1 1001 (2)= 9(10) Quale numero binario corrisponda al decimale 17? (10001) Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio ESERCITIAMOCI Ora, mantenendo le carte nello stesso ordine rovesciate alcune carte sul dorso in modo che siano visibili esattamente 5 punti. Nello stesso modo provate ora a far comparire 3 punti, poi 12 e 19. Qual è il massimo numero di punti che riuscite a far comparire? Qual è il minimo? C'è qualche numero di punti che non potete ottenere fra il numero minimo e quello massimo? Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio RIASSUMENDO: Nel sistema binario, un numero  può essere scritto come la somma di prodotti di numeri minori della base DUE, per le potenze decrescenti del 2. Quindi il nostro numero potrebbe essere scritto così: 1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23+ 1 x 22+ 1 x 21 + 1 x 20 =  = 1 x 32 + 0 x 16 + 0 x 8+ 1 x 4+ 1 x 2 + 1 x 1 = = 32 + 0 + 0 +4 +2 + 1 = 39. Quindi possiamo scrivere: 39(10) = 100111(2). Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

DAL NUMERO DECIMALE A QUELLO BINARIO Se vogliamo trasformare un numero del sistema decimale, ad esempio 39, in un numero del sistema binario, procediamo nel modo seguente: DIVIDIAMO il nostro NUMERO per 2. Quindi, se prendiamo i resti delle successive divisioni in ordine contrario (1, 0, 0, 1, 1, 1) abbiamo esattamente il numero binario cercato: Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Origine del termine “zero” Direttamente dall'arabo, essendo questo numero una cifra. In arabo, infatti, "zerret" significa: "cosa da nulla". Da "cifra", che risale all'arabo "sifr" e che significa "nulla", Origine del termine “zero” Dal "latino medievale del tredicesimo secolo": "Zephyrum", accusativo di quello "Zephyrus" col quale si soleva indicare il vento occidentale primaverile, che spira con tale leggerezza da ritenersi un "vento da nulla"; Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Fibonacci Fu in particolare Leonardo Fibonacci (Leonardo Pisano) a far conoscere la numerazione posizionale in Europa: nel suo Liber Abaci, pubblicato nel 1202, egli tradusse sifr in zephirus; da questo si ebbe zevero e quindi zero. Anche il termine "cifra" discende da questa stessa parola sifr. (Pisa, 1170 – Pisa, 1250) Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Utilizzo dello zero Rende possibile la notazione “posizionale” Assume il significato di “valore limite” (calcolo infinitesimale) “lo zero assoluto” rappresenta la temperatura in cui le molecole non hanno nessuna agitazione termica Rappresenta, nella scala del tempo, l’istante 0 dell’universo (Big Bang) 0°C, nella scala centigrada, individua il punto di fusione del ghiaccio L’altitudine 0 è l’altitudine di riferimento per la misura della pressione La longitudine 0 corrisponde a quella dell'Osservatorio di Greenwich I punti lungo l'equatore hanno latitudine 0°. Nel 900 la casa all’inizio della via aveva come numero civico 0 Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Lo zero nella scuola (di Ennio Peres, RES 21, aprile 2001) CONSIGLI DIDATTICI MANEGGIARE CON CURA Rischio: ottenere dei risultati inattendibili. Tanto per fare un esempio, si può arrivare a dimostrare che ogni numero è uguale al proprio doppio. Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Prendiamo in considerazione la seguente semplice uguaglianza: A = B (dove A e B rappresentano uno stesso numero reale, diverso da 0) ed eseguiamo i passaggi algebrici qui di seguito indicati. 1. Moltiplichiamo per A entrambi i membri: A2 = AB 2. Sottraiamo B2 da entrambi i membri: A2 – B2 = AB – B2 3. Scomponiamo in fattori il primo membro: (A – B)(A + B) = AB – B2 4. Mettiamo in evidenza B nel secondo membro: (A – B)(A + B) = B (A – B) 5. Dividiamo per (A – B) entrambi i membri: A + B = B 6. Sostituiamo B con A (dato che ha il suo stesso valore): A + A = A 7. Infine, scriviamo in forma più compatta il primo membro: 2A = A Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio Che cosa è successo? I passaggi eseguiti sembrano tutti corretti, eppure il risultato ottenuto è palesemente assurdo. In realtà, un errore lo abbiamo commesso. Dato che abbiamo supposto A = B, allora A – B = 0; Di conseguenza al punto 5 (A – B)(A + B) = B (A – B) Dividiamo per (A – B) entrambi i membri: A + B = B Abbiamo diviso entrambi i membri dell'uguaglianza per (A – B), In realtà li abbiamo divisi per 0, compiendo un'operazione non consentita in matematica. Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Perché non si può dividere per 0? Il motivo per cui non è possibile eseguire la divisione per 0 è giustificato dalle seguenti considerazioni. Sia X ∊R X≠0 se ∃ y t.c. X/0 = Y Si avrebbe anche: X = 0Y. Dato, però, che ogni numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0, risulterebbe: X = 0 (in evidente contrasto con l'ipotesi iniziale). Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio

Perché non si può dividere per 0? Supponiamo: X = 0, ∄un unico numero reale Y, t. c. 0/0 = Y 0 = 0Y ∀ Y quindi, il risultato di tale operazione sarebbe indeterminato. Mathesis-Varese 13 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio