Circolo matematico “Martin Gardner” Castelveccana (Va) Calde‘ 24/27 luglio 2014 Nando Geronimi 3402490330 fgeroni@tin.it

Matematica in classe 6 Fra matematica e gioco SCALANDO LA TOUR EIFFEL Nando Geronimi – Centro Pristem

Il campo dell'anno, o quasi (Parigi 2 2013) Il campo dell'anno, o quasi, è un quadrato il cui lato misura un numero intero di metri maggiore di 1 e inferiore a 1000. Se si diminuiscono di un metro due lati opposti e si aumentano di un metro i due altri lati, si ottiene un rettangolo la cui area, in m2, è divisibile per 2013. Quanto misura in metri, il lato del quadrato? L+1 L (A L-1 AREA = 0 (mod 2013) L

Il campo dell'anno, o quasi (Parigi 2 2013) AREA = 0 (mod 2013) (L-1) (L+1) = 2013 K k1 61 k1 + 2 k2 1 63 2 124 3 185 4 246 5 307 6 368 7 429 13 (L-1) (L+1) =61 x 11 x 3 x K1 x K2 (L-1) (L+1) = 61 K1 x 33 K2 (L-1) = 61 k1 (L+1) = 33 k2 L = 61 k1 + 1 61 k1 + 2 = 33 k2 k2 = (61 k1 + 2) / 33 Lato: 61 x 7 +1 = 428

Il campo dell'anno, o quasi (Parigi 2 2013 AREA = 0 (mod 2013) (L-1) (L+1) = 2013 K (L-1) (L+1) =61 x 11 x 3 x K1 x K2 (L-1) (L+1) = 3 K1 x 671 K2 (L-1) = 3 k1 (L+1) = 671 k2 L = 3 k1 + 1 3 k1 + 2 = 671 k2 K1 = (671 k2 - 2) / 3 K2 671 k2 - 2 K1 1 669 223 2 Lato: 3 x 223 +1 = 670

Il campo dell'anno, o quasi (Parigi 2 2013) AREA = 0 (mod 2013) (L-1) (L+1) = 2013 K k1 61 k1 + 2 k2 1 181 2 364 3 547 4 730 5 913 83 6 (L-1) (L+1) =61 x 11 x 3 K1 x K2 (L-1) (L+1) = 11 K1 x 183 K2 x (L-1) = 11 k1 (L+1) = 183 k2 L = 11 k1 + 1 11 k1 + 2 = 183 k2 K1 = (183 k2 - 2) / 11 Lato: 11 x 83 +1 = 914

Il campo dell'anno, o quasi (Parigi 2 2013) Il campo dell'anno, o quasi, è un quadrato il cui lato misura un numero intero di metri maggiore di 1 e inferiore a 1000. Se si diminuiscono di un metro due lati opposti e si aumentano di un metro i due altri lati, si ottiene un rettangolo la cui area, in m2, è divisibile per 2013. Quanto misura in metri, il lato del quadrato? L L+1 (A AREA = 0 (mod 2013) L-1 L Tre soluzioni: 428 – 670 - 914

IL REGALO CAMBOGIANO (1990) Un giovane matematico cambogiano riceve un pacco avente la forma di parallelepipedo rettangolo. Misura la lunghezza dei lati, che sono numeri interi di centimetri, osserva che l’area in cm2 e il volume in cm3 sono espresse con lo stesso numero, ed esclama: “ è il più grande pacco che ha questa proprietà”. Qual è il volume del pacco? 2(bc + ac + ab) = abc a ≤ b ≤ c divido tutto per 2abc 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 c a b

IL REGALO CAMBOGIANO (1990) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 a ≤ b ≤ c 1/a ≥ 1/b ≥ 1/c 3 ≤ a ≤ 6 a=3 1/b + 1/c = 1/2 - 1/3 = 1/6 7 ≤ b ≤ 12 b=7 1/c=1/6 – 1/7 = 1/42 1/c=1/6 – 1/8 = 1/24 b=8 b=9 1/c=1/6 – 1/9 = 1/18 c b=10 1/c=1/6 – 1/10 = 1/15 b=11 1/c=1/6 – 1/11 = 5/66 n.a. 1/c=1/6 – 1/12 = 1/12 b=12 a b

IL REGALO CAMBOGIANO (1990) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 a ≤ b ≤ c 1/a ≥ 1/b ≥ 1/c 3 ≤ a ≤ 6 a=4 1/b + 1/c = 1/2 - 1/4 = 1/4 5 ≤ b ≤ 8 b=5 1/c=1/4 – 1/5 = 1/20 1/c=1/4– 1/6 = 1/12 b=6 1/c=1/4 – 1/7 = 3/28 n.a. b=7 c 1/c=1/4 – 1/8 = 1/8 b=8 a b

IL REGALO CAMBOGIANO (1990) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 a ≤ b ≤ c 1/a ≥ 1/b ≥ 1/c 3 ≤ a ≤ 6 a=5 1/b + 1/c = 1/2 - 1/5 = 3/10 6 ≤ b ≤ 7 1/c=3/10 – 1/6 = 2/15 n.a b=6 1/c=3/10– 1/7 = 11/70 n.a b=7 c a b

IL REGALO CAMBOGIANO (1990) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 a ≤ b ≤ c 1/a ≥ 1/b ≥ 1/c 3 ≤ a ≤ 6 a=6 1/b + 1/c = 1/2 - 1/6 = 1/3 b = 6 1/c=1/3 – 1/6 = 1/6 c a b

IL REGALO CAMBOGIANO (1990) 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 a ≤ b ≤ c A 3 4 6 B 7 8 9 10 12 5 C 42 24 18 15 20 Area 882 576 486 450 432 400 288 256 216 Volume c Il volume è di 882 cm3 a b

LA REGATA Le gare della Federazione Francese Joutes Marine (FFJM) hanno avuto quest'anno un grande successo. L’arrivo ​​alla terza boa è stata fortemente combattuto. Giudicate voi: poco prima dell’arrivo, Kevin Tamaran e Didier Riveur sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Pierre Dalo, nella scia di K. Tamaran non può vedere la boa. D’altra parte, Kevin Tamaran è alla stessa distanza da Didier Riveur e da Pierre Dalo. Tutte le distanze che separano i concorrenti tra di loro e le loro distanze rispetto all'arrivo, sono dei numeri interi di miglia marine. Qual è, al minimo, la distanza tra Pierre e l'arrivo? (Dare la distanza in miglia marine).

LA REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. R T boa

LA REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Dalo (D), nella scia di T non può vedere la boa. R D T boa

REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Dalo (D), nella scia di T non può vedere la boa. D’altra parte, T è alla stessa distanza da R e da D. R D T boa

LA REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Dalo (D), nella scia di T non può vedere la boa. D’altra parte, T è alla stessa distanza da R e da D. Tutte le distanze che separano i concorrenti tra di loro e le loro distanze rispetto all'arrivo, sono dei numeri interi. R D T boa

REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Dalo (D), nella scia di T non può vedere la boa. D’altra parte, T è alla stessa distanza da R e da D. Tutte le distanze che separano i concorrenti tra di loro e le loro distanze rispetto all'arrivo, sono dei numeri interi. Qual è, al minimo, la distanza tra D e l'arrivo? R D T boa (B) Se le distanze DT, TR e anche TB e RB fossero 1, RD non sarebbe intero, allora DT=TR deve essere almeno 2.

REGATA Poco prima dell’arrivo, Tamaran (T) e Riveur (R) sono esattamente alla stessa distanza dalla boa. Il terzo Dalo (D), nella scia di T non può vedere la boa. D’altra parte, T è alla stessa distanza da R e da D. Tutte le distanze che separano i concorrenti tra di loro e le loro distanze rispetto all'arrivo, sono dei numeri interi. Qual è, al minimo, la distanza tra D e l'arrivo? D T R boa (B) DB = 3

Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Gli scoiattoli Tic e Tac hanno stoccato separatamente le ghiande che hanno colto sulla quercia di Daniele. In previsione del prossimo inverno, hanno cura di non mangiare alcuna di esse e a non perderne nessuna. Daniele si assenta durante sei giorni completi. Ogni giorno due manipolazioni vengono realizzate per aerare le due scorte di ghiande che Tic Tac non mangiano: Il mattino, Tac preleva la metà delle ghiande dalla scorta di Tic e le aggiunge alla sua propria scorta; Il pomeriggio, Tic preleva la metà delle ghiande della scorta di Tac, e l’aggiunge alla sua propria scorta. Quando Daniele ritorna, alla fine del sesto giorno, dopo dodici manipolazioni come queste, Tic ha 2013 ghiande nella sua scorta. Quante ghiande ha Tac nella sua scorta? Nota: un numero di ghiande è sempre intero positivo Tic Tac 64 8 32 40 52 20 26 46 49 23

Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Gli scoiattoli Tic e Tac hanno stoccato separatamente le ghiande che hanno colto sulla quercia di Daniele. In previsione del prossimo inverno, hanno cura di non mangiare alcuna di esse e a non perderne nessuna. Daniele si assenta durante sei giorni completi. Ogni giorno due manipolazioni vengono realizzate per aerare le due scorte di ghiande che Tic Tac non mangiano: Il mattino, Tac preleva la metà delle ghiande dalla scorta di Tic e le aggiunge alla sua propria scorta; Il pomeriggio, Tic preleva la metà delle ghiande della scorta di Tac, e l’aggiunge alla sua propria scorta. Quando Daniele ritorna, alla fine del sesto giorno, dopo dodici manipolazioni come queste, Tic ha 2013 ghiande nella sua scorta. Quante ghiande ha Tac nella sua scorta? Nota: un numero di ghiande è sempre intero positivo Tic Tac 200 100 100 200 200 100 100 200 200 100

Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Gli scoiattoli Tic e Tac hanno stoccato separatamente le ghiande che hanno colto sulla quercia di Daniele. In previsione del prossimo inverno, hanno cura di non mangiare alcuna di esse e a non perderne nessuna. Daniele si assenta durante sei giorni completi. Ogni giorno due manipolazioni vengono realizzate per aerare le due scorte di ghiande che Tic Tac non mangiano: Il mattino, Tac preleva la metà delle ghiande dalla scorta di Tic e le aggiunge alla sua propria scorta; Il pomeriggio, Tic preleva la metà delle ghiande della scorta di Tac, e l’aggiunge alla sua propria scorta. Quando Daniele ritorna, alla fine del sesto giorno, dopo dodici manipolazioni come queste, Tic ha 2013 ghiande nella sua scorta. Quante ghiande ha Tac nella sua scorta? Nota: un numero di ghiande è sempre intero positivo Tic Tac 200-x 100+x 100-x/2 200+x/2 200-x/4 100+x/4 200-x/16 100+x/16

Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Tic Tac 2G-x>0 1G+x>0 1G-x/2 2G+x/2 2G-x/4 1G+x/4 2G-x/16 1G+x/16 2G-x/64 1G+x/64 2G-x/252 1G+x/252 2G-x/1024 1G+x/1024 2G-x/4096 1G+x/4096 Gli scoiattoli Tic e Tac hanno stoccato separatamente le ghiande che hanno colto sulla quercia di Daniele. In previsione del prossimo inverno, hanno cura di non mangiare alcuna di esse e a non perderne nessuna. Daniele si assenta durante sei giorni completi. Ogni giorno due manipolazioni vengono realizzate per aerare le due scorte di ghiande che Tic Tac non mangiano: Il mattino, Tac preleva la metà delle ghiande dalla scorta di Tic e le aggiunge alla sua propria scorta; Il pomeriggio, Tic preleva la metà delle ghiande della scorta di Tac, e l’aggiunge alla sua propria scorta. Quando Daniele ritorna, alla fine del sesto giorno, dopo dodici manipolazioni come queste, Tic ha 2013 ghiande nella sua scorta. Quante ghiande ha Tac nella sua scorta? Nota: un numero di ghiande è sempre intero positivo

Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Tic Tac 2G-x>0 1G+x>0 1G-x/2 2G+x/2 2G-x/4 1G+x/4 2G-x/16 1G+x/16 2G-x/64 1G+x/64 2G-x/252 1G+x/252 2G-x/1024 1G+x/1024 2G-x/4096 1G+x/4096 2G-x/4096=2013 x=4096(2G-2013) 2G-x>0 1G+x>0 2G-4096(2G-2013)>0 1G+4096(2G-2013)>0 G<(4096 x 2013)/8190=1006,74.. G>(4096 x 2013)/8193=1006,37.. 1006,37<G<1006,74 3019,11..<3G<3020,23.. Tic e Tac hanno raccolto complessivamente 3G = 3020

Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Tic Tac 2G-x>0 1G+x>0 1G-x/2 2G+x/2 2G-x/4 1G+x/4 2G-x/16 1G+x/16 2G-x/64 1G+x/64 2G-x/252 1G+x/252 2G-x/1024 1G+x/1024 2G-x/4096 1G+x/4096 Tic e Tac hanno raccolto complessivamente 3G = 3020 Se Tic ha 2013 ghiande, Tac ne avrà 3020-2013 =1007

Le ghiande dell'anno (Parigi 2 2013) (10) Tic Tac 2G-x>0 1G+x>0 1G-x/2 2G+x/2 2G-x/4 1G+x/4 2G-x/16 1G+x/16 2G-x/64 1G+x/64 2G-x/252 1G+x/252 2G-x/1024 1G+x/1024 2G-x/4096 1G+x/4096 2G-x/4096 1G+x/4096 La quantità x/4096 è molto piccola. Allora la quantità G+x/4096 è poco più grande della metà della quantità 2G-x/4096 Tac ha pochissimo più della metà delle ghiande di Tic 2013:2=1006,5 Tic ha 2013 ghiande, Tac ha 1007 ghiande

CAFFE AL LATTE O LATTE AL CAFFE Una caraffa contiene un litro di caffè. Con un bicchiere si tolgono 10 cl di caffè, e si aggiungono 10 cl di latte, poi si mescola per bene. Dopo questa manipolazione iniziale, si ricomincia: con il bicchiere si tolgono 10 cl del nuovo contenuto, poi si aggiungono 10 cl di latte, e si mescola. Quante volte, al minimo, si deve effettuare questa operazione (togliere 10 cl del contenuto della caraffa, quindi aggiungere 10 cl di latte), in modo che la caraffa contenga più latte che caffè? cl di caffè cl di latte 100 90 10 81 9 81 19 72,9 17,1 - 10 cl di caffè 72,9 27,1 + 10 c di latte 65,61 24,39 - 9 cl di caffè –1 cl di latte di latte + 10 c di latte - 8,1 cl di caffè –1,9 cl di latte di latte + 10 c di latte - 7,29 cl di caffè –2,71 cl di latte di latte

CAFFE AL LATTE O LATTE AL CAFFE La quantità di caffè rimasto nella caraffa dopo ogni passaggio è il 90% della quantità di caffè contenuta prima del passaggio. cl di caffè cl di latte 100 90 10 81 9 19 72,9 17,1 27,1 65,61 24,39 100 90 81 72,9 65,61 …. sono i termini di una progressione geometrica il cui termine generale è an= a1 qn-1. nel caso particolare: a1=100 q=0,9 an= 100 x 0,9n-1 an< 50 0,9n-1 < 0,5

CAFFE AL LATTE O LATTE AL CAFFE 0,9n-1 < 0,5 0,9n-1 = (1-0,1) n-1 Con n= 6: 0,95 = (1-0,1) 5 = (15 -5x14 x0,11+ ……. )> 0,5 Con n= 7: 0,96 = (1-0,1) 6 = (16 -6x15 x0,11+ ……. )< 0,5 Servono 7 travasi completi

UN RETTANGOLO (1994) Francesco osserva che la singola operazione “due tagli successivi in scala” di un rettangolo di 6 per 7 quadratini (vedi figura), permette la ricostruzione del rettangolo iniziale, ma in modo che ogni quadratino conserva il suo orientamento ma non la sua posizione nel nuovo rettangolo. Partendo dal rettangolo seguente, una macchina compie l’operazione “due tagli successivi in scala” per 1994 volte. Scrivere le lettere della quarta riga dopo le 1994 operazioni.

UN RETTANGOLO (1994) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1 2 3 4 5 6 12 7 8 9 10 11 17 18 13 14 15 16 22 23 24 19 20 21 27 28 29 30 25 26 32 33 34 35 36 31 37 38 39 40 41 42 2 3 4 5 6 12 1 9 10 11 17 18 7 8 16 22 23 24 13 14 15 28 29 30 19 20 21 27 35 36 25 26 32 33 34 42 31 37 38 39 40 41 1 2 3 4 5 6 12 7 8 9 10 11 17 18 13 14 15 16 22 23 24 19 20 21 27 28 29 30 25 26 32 33 34 35 36 31 37 38 39 40 41 42

UN RETTANGOLO (1994) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 2 3 4 5 6 12 1 9 10 11 17 18 7 8 16 22 23 24 13 14 15 28 29 30 19 20 21 27 35 36 25 26 32 33 34 42 31 37 38 39 40 41

UN RETTANGOLO (1994) Nella cornice esterna ci sono 22 numeri, in quella intermedia 14 e i numeri del rettangolo interno sono 6. Dopo 1994 operazioni i numeri esterni si saranno spostati di 14 caselle (1994 mod 22 = 14), quelli intermedi di 6 caselle (1994 mod 14 = 6) e quelli interni di 2 caselle (1994 mod 6 = 2) 2 3 4 5 6 12 1 9 10 11 17 18 7 8 16 22 23 24 13 14 15 28 29 30 19 20 21 27 35 36 25 26 32 33 34 42 31 37 38 39 40 41 39 38 37 31 25 19 40 9 10 11 17 13 41 8 16 22 23 7 42 14 15 28 29 1 36 20 21 27 35 2 30 26 32 33 34 3 24 18 12 6 5 4

UN RETTANGOLO (1994) Nella cornice esterna ci sono 22 numeri, in quella intermedia 14 e i numeri del rettangolo interno sono 6. Dopo 1994 operazioni i numeri esterni si saranno spostati di 14 caselle (1994 mod 22 = 14), quelli intermedi di 6 caselle (1994 mod 14 = 6) e quelli interni di 2 caselle (1994 mod 6 = 2) 2 3 4 5 6 12 1 9 10 11 17 18 7 8 16 22 23 24 13 14 15 28 29 30 19 20 21 27 35 36 25 26 32 33 34 42 31 37 38 39 40 41 39 38 37 31 25 19 40 29 35 34 33 13 41 23 16 22 32 7 42 17 15 28 26 1 36 11 21 27 20 2 30 10 9 8 14 3 24 18 12 6 5 4

UN RETTANGOLO (1994) Nella cornice esterna ci sono 22 numeri, in quella intermedia 14 e i numeri del rettangolo interno sono 6. Dopo 1994 operazioni i numeri esterni si saranno spostati di 14 caselle (1994 mod 22 = 14), quelli intermedi di 6 caselle (1994 mod 14 = 6) e quelli interni di 2 caselle (1994 mod 6 = 2) Allora nella quarta riga si troveranno nell’ordine i numeri 42,17,16,27, 26,1. Ora puoi risalire alle corrispondenti lettere e nella quarta riga leggerai la parola S A C U E F” 2 3 4 5 6 12 1 9 10 11 17 18 7 8 16 22 23 24 13 14 15 28 29 30 19 20 21 27 35 36 25 26 32 33 34 42 31 37 38 39 40 41 39 38 37 31 25 19 40 29 35 34 33 13 41 23 22 28 32 7 42 17 16 27 26 1 36 11 15 21 20 2 30 10 9 8 14 3 24 18 12 6 5 4

CERCHI E QUADRATI Matteo disegna due cerchi e due quadrati. Quante regioni finite può individuare al massimo?

CERCHI E QUADRATI Matteo disegna due cerchi e due quadrati. Quante regioni finite può individuare al massimo?

CERCHI E QUADRATI Matteo disegna due cerchi e due quadrati. Quante regioni finite può individuare al massimo? 3 regioni 2 intersezioni 9 regioni 8 intersezioni Q2 C1 C2 Q1 8 2 9 regioni 8 intersezioni Le intersezioni sono, al massimo, 42 Le regioni sono, al massimo, 43

La lumaca (Parigi 2 2013) (15) La figura rappresenta la sezione trasversale di una lumaca. Il lato BC è uguale al diametro AB del cerchio ed è perpendicolare a questo. D è il punto di intersezione dal cerchio con il segmento che congiunge il suo centro a C. Qual è il rapporto fra le distanze DA e DB? La risposta deve essere data con tre cifre dopo la virgola e arrotondata al centesimo più vicino. Se necessario, si prenda 1,732 per √3 e 2,236 per √5.

La lumaca (Parigi 2 2013) (15) α La figura rappresenta la sezione trasversale di una lumaca. Il lato BC è uguale al diametro AB del cerchio e è perpendicolare a questo. D è il punto di intersezione dal cerchio con il segmento che congiunge il suo centro a C. Qual è il rapporto fra le distanze DA e DB? La risposta deve essere data con tre cifre dopo la virgola e arrotondata al centesimo più vicino. Se necessario, si prenda 1,732 per √3 e 2,236 per √5. O 2α DA/DB = ctgα BC/BO = 2 tg2α =2 da tg 2α = (2 tgα )/(1-tg2α) (2 tgα )/(1-tg2α) = 2 2tg2α+2tgα-2 = 0 tgα = (√5-1)/2 DA/DB = (2,236+1)/2 = 1.618 ctgα = (√5+1)/2

DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … Ho conservato tutti i numeri dispari. Se le scatole fossero 17 ne avrei conservate 9.

DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … Ho conservato tutti i numeri dispari, ma posso conservare anche dei numeri pari Se le scatole fossero 17 ne avrei conservate 11.

DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … ancora 11.

DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … Ho conservato tutti i numeri maggiori della metà dell’ultimo numero, e posso conservarne anche altri

DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … Se le scatole fossero 17 ne avrei conservate 12.

DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 …

? DIVIETO DI RADDOPPIO (1994) Dominique ha 1994 scatole numerate da 1 a 1994. Ha deciso di tenerne solo alcune, in modo che tra le scatole conservate nessuna abbia scritto un numero doppio di quello scritto su un’altra. Qual è il numero massimo di scatole che può conservare Dominique? 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 … ?

AUTOPRODOTTO L'autoprodotto di un numero naturale di almeno due cifre, è il prodotto delle sue cifre. Per esempio: - l'autoprodotto di 24 è 2 × 4 = 8; - l'autoprodotto di 354 è 3 × 5 × 4 = 60; - l'autoprodotto di 105 è 1 × 0 x 5 = 0. Qual è la somma degli autoprodotti di tutti i numeri interi da 10 a 1994 compresi? 1x0=0 1x1=1 1x2=2 ………….. “L’autoprodotto dei numeri da 10 a 19 è la cifra delle unità (il fattore 1 che compare come cifra delle decine non influisce sul prodotto), la somma dei primi 9 autoprodotti equivale alla sommatoria dei numeri da 1 a 9, che è 45.

AUTOPRODOTTO L'autoprodotto di un numero naturale di almeno due cifre, è il prodotto delle sue cifre. Per esempio: - l'autoprodotto di 24 è 2 × 4 = 8; - l'autoprodotto di 354 è 3 × 5 × 4 = 60; - l'autoprodotto di 105 è 1 × 0 x 5 = 0. Qual è la somma degli autoprodotti di tutti i numeri interi da 10 a 1994 compresi? 20 2x0=0 21 2x1=2 2x2=4 ………….. L’autoprodotto dei numeri tra 21 e 29 è 2 x 45 (avendo raccolto il fattore comune 2) la stessa regola vale la somma degli autoprodotti dei 9 numeri che si trovano nelle successive decine fino a 99.

AUTOPRODOTTO L'autoprodotto di un numero naturale di almeno due cifre, è il prodotto delle sue cifre. Per esempio: - l'autoprodotto di 24 è 2 × 4 = 8; - l'autoprodotto di 354 è 3 × 5 × 4 = 60; - l'autoprodotto di 105 è 1 × 0 x 5 = 0. Qual è la somma degli autoprodotti di tutti i numeri interi da 10 a 1994 compresi? Raccogliendo 45 a fattor comune si calcola la somma degli autoprodotti da 11 e 99 (quelli della prima centinaia): 45 x (1+2+3+…+8+9) = 45x 45 =2025

AUTOPRODOTTO L'autoprodotto di un numero naturale di almeno due cifre, è il prodotto delle sue cifre. Per esempio: - l'autoprodotto di 24 è 2 × 4 = 8; - l'autoprodotto di 354 è 3 × 5 × 4 = 60; - l'autoprodotto di 105 è 1 × 0 x 5 = 0. Qual è la somma degli autoprodotti di tutti i numeri interi da 10 a 1994 compresi? Per le centinaia successive, da 100 a 999 si avrà: 1x2025 + 2x2025 + … + 9x2025. La somma degli autoprodotti da 10 a 999 numeri è 2025x(1+1+2+3+…+8+9) = 2025x45 = 91125. Lo stesso risultato si ottiene calcolando la somma di tutti gli autoprodotti dei numeri tra 1001 e 1999. La somma degli autoprodotti dei numeri compresi tra 10 e 1999 è 182250.

AUTOPRODOTTO L'autoprodotto di un numero naturale di almeno due cifre, è il prodotto delle sue cifre. Per esempio: - l'autoprodotto di 24 è 2 × 4 = 8; - l'autoprodotto di 354 è 3 × 5 × 4 = 60; - l'autoprodotto di 105 è 1 × 0 x 5 = 0. Qual è la somma degli autoprodotti di tutti i numeri interi da 10 a 1994 compresi? A 182250, somma degli autoprodotti da 10 a 1999, dobbiamo togliere gli la somma degli autoprodotti dei numeri 1995, 1996,1997, 1998 e 1999 che vale 81x(5+6+7+8+9) = 81x 35= 2835. La somma richiesta è 182250-2835 = 179415

TEOREMA CINESE DEL RESTO: IL MAGO ATTI Il signor Attilio Diego Armando, in arte mago Atti, adora fare dei giochi numerici ai suoi amici. Fa scegliere a qualcuno un numero compreso tra 1 e 2000, numero che questa persona mantiene evidentemente segreto. Atti domanda semplicemente di fare le divisioni di quello stesso numero per 3, per 23 e per 29 e di dire i resti di queste divisioni in questo ordine. Così Gilles, che aveva pensato 1998, annunciò i tre resti: 0, 20 e 26. Il trucco di Atti è quello di moltiplicare ciascuno di questi resti per un numero magico (uno per ogni resto), di addizionare il tutto e di fare un divisione per un altro numero magico. Il resto di questa ultima divisione fornisce il numero scelto in partenza. Dopo molte mie insistenze, lo stesso Atti mi concesso di conoscere la formula: “Se i resti rispettivi delle divisioni per 3, 23 e 29 sono r1, r2 e r3, il calcolo ar1+br2+cr3 e divido il risultato per d. Il resto mi fornisce il numero scelto. Nessuno dei numeri a, b, c, d supera 3000”. Quali sono, in questo ordine, in numeri a, b, c, d? Applico il TEOREMA CINESE DEL RESTO: “a” è il più piccolo numero che diviso per 3 ha resto 1 e diviso per 23 ha resto 0 e anche diviso per 29 ha resto 0 667 “b” è il più piccolo numero che diviso per 23 ha resto 1 e diviso per 3 ha resto 0 e anche diviso per 29 ha resto 0 783 “c” è il più piccolo numero che diviso per 29 ha resto 1 e diviso per 3 ha resto 0 e anche diviso per 23 ha resto 0 552 “d” è il prodotto di 3x23x29, 2001 M = 667x0 + 783x20 + 552x26 = = 15660 + 14352= 30012 N = 30012 – 2001 x 14 = = 30012 -28014 = 1998

TEOREMA CINESE DEL RESTO: IL MAGO ATTI Il signor Attilio Diego Armando, in arte mago Atti, adora fare dei giochi numerici ai suoi amici. Fa scegliere a qualcuno un numero compreso tra 1 e 2000, numero che questa persona mantiene evidentemente segreto. Atti domanda semplicemente di fare le divisioni di quello stesso numero per 3, per 23 e per 29 e di dire i resti di queste divisioni in questo ordine. Così Gilles, che aveva pensato 1998, annunciò i tre resti: 0, 20 e 26. Il trucco di Atti è quello di moltiplicare ciascuno di questi resti per un numero magico (uno per ogni resto), di addizionare il tutto e di fare un divisione per un altro numero magico. Il resto di questa ultima divisione fornisce il numero scelto in partenza. Dopo molte mie insistenze, lo stesso Atti mi concesso di conoscere la formula: “Se i resti rispettivi delle divisioni per 3, 23 e 29 sono r1, r2 e r3, il calcolo ar1+br2+cr3 e divido il risultato per d. Il resto mi fornisce il numero scelto. Nessuno dei numeri a, b, c, d supera 3000”. Quali sono, in questo ordine, in numeri a, b, c, d? Applico il TEOREMA CINESE DEL RESTO: a = 667 b = 783 c = 552 d = 2001 Verifica: 1998 = 0 mod 3 1998 = 20 mod 23 1998 = 26 mod 29