© Nichi D'Amico1 Lezione II - seconda parte Avviare la presentazione col tasto “Invio”

2 Cinematica (descrizione quantitativa del moto dei corpi) Adesso riprenderemo una serie di concetti e di grandezze fisiche di cui abbiamo già parlato e di cui abbiamo già fatto uso sia pure empiricamente e ne daremo la definizione formale e operativa. In particolare: Posizione Spostamento Velocità Accelerazione Lo faremo prima per il caso unidimensionale e poi per i moti in due o tre dimensioni L’oggetto di cui studieremo il moto sarà un «punto materiale», cioè uno oggetto privo di estensioni e quindi privo di fenomeni vibrazionali o rotazionali © Nichi D'Amico

3 Moto in una dimensione Posizione Spostamento Velocità Accelerazione © Nichi D'Amico

4 Posizione La posizione di un punto materiale in una dimensione è la sua coordinata sull’asse di riferimento x O x1x1 Quindi: di quante informazioni abbiamo bisogno per definire la posizione di un punto materiale ? Una sola: x 1 Quindi la posizione in un «universo unidimensionale» è in linea di principio semplicemente uno scalare © Nichi D'Amico

5 x O x1x1 Non c’è dubbio però che la posizione di un punto materiale può anche essere definita come un vettore Questa è la definizione che spesso adotteremo, sia perché la formulazione è più elegante, sia perché la cosa ci tornerà utile quando passeremo dalla trattazione del caso unidimensionale al caso a due o tre dimensioni r 1 = x 1 i Nel caso in questione il vettore r 1 ha modulo x 1 ed è orientato secondo il versore i r1r1 © Nichi D'Amico

6 Spostamento x O x1x1 x2x2 Supponiamo che il nostro punto materiale si sposti dal punto x 1 al punto x 2 Di quante informazioni abbiamo bisogno per definire lo spostamento del punto materiale ? Posizione originaria Entità dello spostamento Direzione e verso Quindi lo spostamento è comunque un vettore, anche nel caso di un universo unidimensionale x O x1x1 x2x2 O © Nichi D'Amico

7 x O x2x2 x O x1x1 x2x2 x O x1x1 Nel formalismo che abbiamo adottato per la definizione della posizione, e cioè un formalismo vettoriale, lo spostamento altro non è che la variazione Δr del vettore posizione r Δr = r 2 - r 1 r1r1 r2r2 © Nichi D'Amico

8 Velocità La velocità di un punto materiale è la rapidità con cui la sua posizione cambia nel tempo Quindi: se il nostro punto materiale effettua il suo spostamento da x 1 a x 2 in un Intervallo di tempo Δt: x O x1x1 x2x2 O Tempo impiegato Δt Δr = r 2 - r 1 definiremo la velocità media come: v = Δr / Δt m / s La velocità così definita è detta velocità media in quanto la misura dello spostamento Δr e del tempo trascorso Δt non ci danno informazioni sull’effettivo moto effettuato dal punto materiale fra i punti x 1 e x 2 ed è un vettore, in quanto risulta dal rapporto fra un vettore (lo spostamento) ed uno scalare (il tempo). © Nichi D'Amico

9 Velocità istantanea La definizione di velocità media può essere utile, ma non ci aiuta a descrive i dettagli del movimento del nostro punto materiale. Si noti per esempio che se durante l’intervallo di tempo Δt il punto materiale in questione torna al punto di partenza, la sua velocità media durante quell’intervallo di tempo risulta pari a zero. Siamo quindi certamente interessati alla definizione di velocità istantanea così da potere ottenere informazioni per esempio su un moto del genere: x O Tempo t ΔrΔr ΔtΔt Come ottenere informazioni più dettagliate del semplice rapporto: ? v = Δr / Δt © Nichi D'Amico

10 x O Tempo t Δt1Δt1 Δr1Δr1 v 1 = Δr 1 / Δt 1 © Nichi D'Amico

11 x O Tempo t Δt2Δt2 Δr2Δr2 v 2 = Δr 2 / Δt 2 © Nichi D'Amico

12 x O Tempo t Δt3Δt3 Δr3Δr3 v 3 = Δr 3 / Δt 3 © Nichi D'Amico

13 x O Tempo t Δt4Δt4 Δr4Δr4 v 4 = Δr 4 / Δt 4 © Nichi D'Amico

14 x O Tempo t Δt5Δt5 Δr5Δr5 v 5 = Δr 5 / Δt 5 © Nichi D'Amico

15 x O Tempo t Δt6Δt6 Δr6Δr6 v 6 = Δr 6 / Δt 6 © Nichi D'Amico

16 x O Tempo t Δt7Δt7 Δr7Δr7 v 7 = Δr 7 / Δt 7 © Nichi D'Amico

17 x O Tempo t Δt8Δt8 Δr8Δr8 v 8 = Δr 8 / Δt 8 © Nichi D'Amico

18 Tempo t x x Possiamo rifare questo esperimento, adottando intervalli consecutivi di tempo Δt i sempre più piccoli, ottenendo così informazioni sempre più dettagliate sulla velocità media v i durante ogni istante di tempo. © Nichi D'Amico

19 Ad un dato istante t si definisce velocità istantanea v il valor limite a cui tende il rapporto Δr / Δt quando Δt tende a zero: v = lim ( Δr/Δt ) m / s Δt →0 Tempo t x x Δt →0 x = v t In ogni punto, la velocità istantanea è il coefficiente angolare della retta tangente la curva x(t) © Nichi D'Amico

20 Il limite: v = lim ( Δr/Δt ) è la definizione matematica di derivata: v = dr/dt che nel caso unidimensionale in questione si riduce a: v x = d x /dt mentre in generale la derivata di un vettore in uno spazio tridimensionale ( x,y,z ) sarà data dalla somma delle derivate delle sue componenti: drdr d dtdt = dtdt ( xi + yj + zk ) = v = dxdx dtdt dydy dtdt dzdz dtdt i + j + k v = v x i + v y j + v z k © Nichi D'Amico