29/04/20051 Associazione Astrofili Cesenati anno della fisica introduzione alla meccanica quantistica

29/04/20052 Meccanica classica e meccanica quantistica La meccanica classica (MC) (anche con le correzioni apportate dalla teoria della relatività ristretta e generale) cessa di valere per i fenomeni microscopici (a livello atomico e particellare) Per tali fenomeni vale la meccanica quantistica (MQ)

29/04/20053 Effetti quantistici I principali effetti e peculiarità della MQ sono : emissione del corpo nero effetto fotoelettrico orbitali atomici dualismo onda-corpuscolo effetto tunnel

29/04/20054 Emissione del corpo nero Il corpo nero è un corpo (ideale) capace di assorbire senza riflettere la radiazione elettromagnetica Il corpo nero, viceversa, se in equilibrio termico, emette radiazione elettromagnetica di diverse frequenze ed intensità secondo un ben preciso spettro (il grafico che mette in correlazione le frequenze e le intensità). Lo spettro di emissione del corpo nero dipende dalla sua temperatura Dal punto di vista della teoria elettromagnetica classica di Maxwell il corpo nero non potrebbe emettere radiazione nel modo in cui in effetti esso la emette (si avrebbe addirittura la cosiddetta catastrofe ultravioletta !!!) Planck, per spiegare teoricamente le caratteristiche dell’emissione del corpo nero, ipotizzò nel 1900 che la radiazione elettromagnetica fosse emessa dal corpo nero in forma di quanti (successivamente chiamati fotoni), particelle di energia E = hυ (dove E è l’energia del fotone, h è la costante di Planck che vale circa 10 alla –30 e υ (“ni”) è la frequenza della radiazione associata al fotone) Questa ipotesi “rivoluzionaria” (rispetto alla MC) è alla base della MQ

29/04/20055 Effetto fotoelettrico Colpendo con la luce la superficie di un metallo si può avere emissione di elettroni Questo è il cosiddetto effetto fotoelettrico che è molto sfruttato nella tecnologia (cellule fotoelettriche ecc.) Gli elettroni vengono emessi se la frequenza della luce incidente è maggiore di un certo valore caratteristico di ogni metallo. Sotto quel valore gli elettroni non vengono emessi anche se si aumenta l’intensità della luce incidente Secondo la teoria classica del campo elettromagnetico di Maxwell si dovrebbe avere emissione di elettroni per ogni frequenza ed in ragione proporzionale all’intensità della luce incidente Einstein, nel 1905, per spiegare il fenomeno, applicò l’idea del quanto di Planck (il fotone) ipotizzando che la luce, oltre ad essere emessa in forma quantizzata, viaggiasse come tale alla velocità c (nel vuoto) e venisse anche assorbita per quanti Siccome l’energia per estrarre un elettrone dipende dal tipo di metallo, solo se un fotone possiede energia esso è in grado di estrarlo. L’energia di un fotone è per cui si ha emissione di elettroni solo se ovvero se che rappresenta quindi il valore della frequenza di soglia del fenomeno per quel metallo

29/04/20056 Orbitali atomici Secondo la teoria classica del campo elettromagnetico di Maxwell un elettrone in moto accelerato emette energia sotto forma di onde elettromagnetiche Un elettrone, ruotando attorno al nucleo di un atomo, dovrebbe quindi cadervi dopo avere emesso tutta la propria energia sotto forma di onde elettromagnetiche. L’atomo, quindi, secondo la teoria classica non potrebbe esistere !!! Secondo la MQ, invece, le orbite degli elettroni attorno al nucleo sono quantizzate in livelli discreti Su tali orbite (dette orbitali) gli elettroni non emettono energia ma vi permangono finché, assorbendo o emettendo un fotone di energia pari alla differenza di energia degli orbitali, essi saltano in un’orbita più esterna o più interna (spettri di emissione e assorbimento) Il modello a orbitali descrive quindi il fenomeno dell’emissione ed assorbimento dei fotoni in termini di salti quantici degli elettroni medesimi fra gli orbitali Un orbitale è descritto più precisamente da una densità di probabilità di trovarvi l’elettrone Esempi di livelli fondamentali dell’idrogeno

29/04/20057 Dualismo onda-corpuscolo La radiazione elettromagnetica si comporta in certi casi come un’onda (secondo la teoria classica di Maxwell) ed in altri casi come un particella (fotone, effetto fotoelettrico, effetto Compton (ovvero l’urto fra fotoni ed elettroni)) Una particella si comporta in certi casi classicamente secondo la MC di Newton ed in altri casi come un’onda di lunghezza d’onda (dove h è la costante di Planck, p è la quantità di moto (massa x velocità) della particella). La lunghezza d’onda λ così definita è detta lunghezza d’onda di De Broglie) (diffrazione di elettroni in un cristallo)

29/04/20058 Effetto tunnel Una particella, secondo la MC, non può assolutamente superare una barriera se non ha l’energia sufficiente Secondo la MQ, invece, c’è sempre una probabilità non nulla di trovare la particella oltre una barriera qualunque sia l’energia della particella. Questo è il cosiddetto effetto tunnel (la probabilità evolve nel tempo, una “parte” di probabilità rimbalza sulla barriera, un’altra “parte” la supera) secondo la meccanica classica effetto tunnel

29/04/20059 Principi costituenti la MQ La MQ, come teoria matematica, si basa principalmente sui seguenti principi : principio di indeterminazione di Heisenberg principio di sovrapposizione principio di corrispondenza

29/04/ Principio di indeterminazione di Heisenberg E’ il principio fondamentale (Heisenberg, 1927) su cui è basata l’intera MQ. Esso afferma in definitiva che in MQ non esiste il concetto di traiettoria continua Una particella non può avere contemporaneamente una posizione e una quantità di moto (massa · velocità) definita (contrariamente a quanto asserito dalla MC e relativistica) Si ha Δp·Δx ≥ ħ (dove Δp è l’ indeterminazione della quantità di moto della particella, Δx è l’ indeterminazione della sua posizione e ħ (“acca tagliato”) vale h/(2¶) ) Siccome in MQ non esiste il concetto di traiettoria, la particella è descritta dalla funzione d’onda Ψ il cui modulo quadro | Ψ |² esprime la densità di probabilità che la particella si trovi in un certo punto dello spazio in un dato istante di tempo Allo scorrere del tempo la funzione d’onda evolve

29/04/ Principio di sovrapposizione Secondo la MQ una particella può trovarsi simultaneamente in più stati (diversi). Questo fatto, incomprensibile dal punto di vista della MC, va sotto il nome di principio di sovrapposizione (degli stati) Per esempio, una particella può avere contemporaneamente diversi valori di energia. Quando però viene fatta una misura di energia sulla particella se ne evidenzia un solo valore. In questo caso la particella viene fatta interagire con un oggetto classico (che segue la MC) detto strumento di misura le cui modificazioni ci forniscono un valore della grandezza misurata Matematicamente si suppone che la funzione d’onda Ψ della particella sia un vettore e come tale sia scomponibile nelle sue componenti rispetto ad una base di vettori prefissati. Si può scrivere allora : I vettori di base rappresentano gli stati in cui la particella ha un valore definito di una certa grandezza misurabile I valori forniscono le probabilità che la particella si trovi in un certo stato Si noti che tali vettori (detti autovettori o autostati) ed i corrispondenti valori (detti autovalori) sono infiniti. La struttura matematica così definita è uno spazio di Hilbert a infinite dimensioni e costituisce la base matematica della MQ

29/04/ Principio di corrispondenza Come abbiamo già visto, le grandezze fisiche che caratterizzano una particella quantistica vengono misurate facendo interagire la particella con un corpo che segue la meccanica classica, il cosiddetto strumento di misura. Senza questo processo di misura una particella esiste in una sovrapposizione di stati ognuno con la sua probabilità e noi non siamo in grado di conoscerne le caratteristiche fisiche Per questo motivo possiamo affermare che la MQ si basa sulla MC e senza di essa non può esistere. Possiamo addirittura affermare che : MQ  MC per h  0 Questo è ciò che afferma il principio di corrispondenza Matematicamente ciò si esprime affermando che ad ogni grandezza fisica classica corrisponde ad un “operatore” quantistico che contiene in sé tutti gli autovettori e gli autovalori corrispondenti a quella grandezza

29/04/ Equazione di Schrödinger Data la funzione d’onda Ψ di una particella ad un certo istante iniziale, come evolverà essa nel tempo (in base alle forze in gioco) ? cioè, che funzione d’onda avrà la particella ad un certo istante successivo ? La risposta a questa domanda è fornita dall’equazione di Schrödinger (1926), l’equazione fondamentale della MQ Simbolicamente l’equazione di Schrödinger si può esprimere come : Ψ(x,y,z,0)  Ψ(x,y,z,t) ovvero viene fornita la Ψ al tempo t nota la medesima al tempo iniziale 0 Seguono alcuni esempi di simulazione al computer della soluzione dell’equazione di Schrödinger in semplici casi di moto unidimensionale (sull’asse x) di una particella soggetta a vari tipi di forze

29/04/ Esempi di moti unidimensionali ascissa = dimensione spaziale x ; ordinata = densità di probabilità |Ψ|² per la particella moto liberobarriera rettangolarebuca rettangolare forza uniformeoscillatore armonicoscalino

29/04/ Nuove frontiere La MQ è una teoria non ancora “conclusa”. La discussione sui suoi fondamenti ed i suoi metodi è aperta ed alcuni recenti sviluppi sono estremamente interessanti e promettono di aprire nuove “finestre” nella comprensione del micro e (sorprendentemente) macrocosmo. Riportiamo qui alcuni cenni su : l’energia di punto zero (ZPE) evaporazione dei buchi neri il paradosso EPR

29/04/ L’energia di punto zero (ZPE) Il vuoto potrebbe essere non vuoto (nel senso classico) ma riempito di una energia fondamentale, l’energia di punto zero (ZPE, zero point energy) Questo dipende dal fatto che un oscillatore armonico quantistico non può avere energia nulla a differenza dell’oscillatore classico che invece può avere energia nulla. Secondo la MQ non esiste la quiete assoluta ed il livello energetico minimo di un oscillatore (il cosiddetto livello fondamentale) vale dove ω è una costante tipica dell’oscillatore (frequenza propria) Il vuoto sarebbe quindi riempito di tali “quanti” di energia di punto zero La verifica sperimentale di questa ipotesi (non ancora però universalmente riconosciuta) si ha con l’effetto Casimir (provato nel 1997) in cui due lastre metalliche si attraggono a causa della ZPE effetto Casimir

29/04/ Evaporazione dei buchi neri I buchi neri in verità sarebbero … grigi Secondo la teoria della relatività generale (che è una teoria classica) ciò (materia o energia) che è dentro l’orizzonte degli eventi di un buco nero non può più uscirne Secondo la meccanica quantistica, invece, la materia (o l’energia) può uscire da un buco nero per effetto tunnel La materia può uscirne anche a causa della ZPE. Se in prossimità dell’orizzonte degli eventi un fotone di ZPE si trasformasse casualmente in una coppia elettrone-positrone (il positrone è l’antiparticella dell’elettone) e se una di queste particelle entrasse nel buco nero, l’altra verrebbe vista da un osservatore esterno come essere stata emessa dal buco nero. Il buco nero, in questo modo, “evaporerebbe” (molto lentamente !!) (Stephen Hawking)

29/04/ Il paradosso EPR Il paradosso EPR (dovuto a Einstein, Podolsky e Rosen, 1935) afferma che, a causa delle leggi della MQ, si potrebbe superare indefinitamente la velocità della luce ed ottenere addirittura una sorta di teletrasporto istantaneo alla “Star Trek” Supponiamo di avere un sistema formato da due elettroni (A e B) che ad ogni misura di spin totale fornisce il valore 0. Se, misurando lo spin di A, ottenessimo il valore +1/2 l’altro, anche se distante milioni di anni luce, avrà spin –1/2. Questo fatto va sotto il nome di entanglement quantistico Se potessimo modificare lo spin di A, avremmo modificato “istantaneamente” lo spin di B. In questo sta il paradosso EPR Purtroppo non possiamo modificare lo spin di A (senza rompere l’entanglement) per cui non possiamo trasmettere informazioni istantaneamente L’entanglement quantistico è utilizzato nei nascenti computer quantistici e nei progetti di criptazione delle informazioni