1 Lezione X -b Avviare la presentazione col tasto “Invio”

Dinamica del moto rotatorio Abbiamo visto che la relazione fondamentale di tutta la dinamica è la II Legge di Newton: F = m a Questa formulazione si è rivelata particolarmente utile per il trattamento della dinamica delle particelle puntiformi e per il moto traslatorio di corpi, ma è chiaro che per il trattamento del moto rotatorio dei corpi occorre riformulare questa legge usando variabili rotazionali. Abbiamo già definito l’analogo rotazionale della accelerazione lineare a e cioè l’accelerazione angolare α = d ω /dt. Dobbiamo adesso definire quali variabili rotazionali sono analoghe a F e m 2

Consideriamo una barra disposta sul piano x-y e libera di ruotare attorno all’origine O. Supporremo che il piano è orizzontale, così che non ci sia forza gravitazionale, e che il piano sia privo di attrito: y x O Se applichiamo una forza F 1 in un punto come in figura, la barra acquisirà una certa accelerazione angolare α 1 F1F1 F1F1 Se però applichiamo la stessa forza F 1 in un punto più distante dall’asse di rotazione, come in figura, la barra acquisirà una certa accelerazione angolare maggiore 3

Questo è un fenomeno che ci è familiare in base alla nostra esperienza quotidiana: Per aprire una porta facciamo meno fatica se spingiamo in un punto distante dall’asse di rotazione: è per questo che la maniglia è li e non vicino l’asse ! Se dovessimo aprire una porta applicando la forza ad un punto vicino l’asse, dovremmo applicare una forza molto elevata, e se applicassimo la stessa forza lontano dall’asse, la porta acquista maggiore accelerazione angolare ! Evidentemente ciò che conta per imprimere una accelerazione angolare non è solo la forza E’ vero che se aumentiamo la forza aumenta l’accelerazione angolare, ma possiamo aumentare l’accelerazione angolare anche spostando il punto di applicazione della forza 4

y x O F2F2 Se invece applichiamo una forza F 2 come in figura, cioè una forza la cui direzione passa per l’asse di rotazione, non otterremo alcun moto rotatorio (e neanche traslatorio se la barra è vincolata al suo asse) Evidentemente, oltre al punto di applicazione, anche la direzione della forza è rilevante nel determinare l’accelerazione angolare ? 5

y x O F3F3 Se adesso applichiamo una forza F 3 come in figura, e scomponiamo la forza nelle sue componenti x e y ci renderemo conto che l’unica componente che conta è quella lungo y Questo fatto conferma che, oltre al punto di applicazione, anche la direzione della forza è rilevante nel determinare l’accelerazione angolare 6

Occorre quindi identificare una grandezza fisica che rappresenti la causa della accelerazione angolare, e che sia legata alla forza dalle proprietà che abbiamo appena esaminato. Questa grandezza sarà il cosiddetto momento della forza. Ma prima di passare alla definizione del momento della forza, vediamo come si comporta la massa, e vediamo se non sia necessario definire anche un’altra grandezza analoga a ciò che è la massa nel caso lineare. 7

y x O F Supponiamo che la nostra barra sia costituita di due materiali di massa differente, per esempio legno e ferro, e applichiamo la nostra forza F come in figura. Otterremo una certa accelerazione angolare a 8

y x O F Se però capovolgiamo la barra e applichiamo la stessa forza F nel punto come in figura: Otterremo una certa accelerazione angolare a maggiore ! E questo sebbene la massa della barra non sia cambiata! E sebbene non sia cambiata la forza, né la sua distanza dall’asse di rotazione !! Ciò che è cambiato è la distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione 9

Quindi: La grandezza analoga, nel moto rotazionale, alla massa nel caso traslatorio, non è la massa ma una grandezza che potrebbe essere chiamata inerzia rotazionale e che dipende in qualche modo dalla distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione Cominciamo quindi a sviluppare in modo più rigoroso questi due concetti: Momento di una forza Inerzia rotazionale in funzione della distribuzione della massa 10

Momento di una forza Definizione: Se una forza F agisce su un punto P la cui posizione rispetto al riferimento O è individuata da un vettore r, il momento della forza rispetto a O è un vettore definito dalla: τ = r x F dove il simbolo x rappresenta il prodotto vettoriale fra r e F Il modulo di τ è dato dalla relazione: τ = r F sin θ dove θ è l’angolo fra r e F La direzione è ortogonale al piano individuato da r e F, e il verso segue la regola della mano destra 11

12

Avevamo accennato durante le prime lezioni all’esistenza del cosiddetto prodotto vettoriale fra due vettori, ma ci eravamo riservati di definirlo non appena avessimo trovato una applicazione fisica che lo rendesse comprensibile. Eccola ! Le dimensioni del momento della forza sono quelle di forza x distanza E cioè [ M L T −2 L ]  [ M L 2 T −2 ] L’unità di misura il nt-metro 13

Energia di rotazione e momento di inerzia Non c’è dubbio che ciascuna particella di cui si compone un corpo rigido in rotazione possiede un certa energia cinetica: Una particella di massa m di un corpo rigido situata ad una distanza r dall’asse di rotazione del corpo rigido in questione avrà una velocità v = ω r, dove ω è la velocità angolare del corpo rigido. ω r Pertanto l’energia cinetica di questa particella sarà: ½ m v 2 = ½ m ω 2 r 2 14

Se, come stiamo supponendo, il corpo è rigido allora la velocità angolare ω è la stessa per tutte le particelle di cui si compone, e l’energia cinetica totale K sarà la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle : K = ½ m 1 ω 2 r ½ m 2 ω 2 r ………….. ½ m N ω 2 r 2 N K = ½ ( m 1 r m 2 r ………….. m N r 2 N ) ω 2 K = ½ ∑ ( m i r 2 i ) ω 2 Il termine ∑ ( m i r 2 i ) che indichiamo col simbolo I è denominato Momento di Inerzia del corpo rigido rispetto a quel particolare asse di rotazione I = ∑ ( m i r 2 i ) 15

Va sottolineato che il Momento di Inerzia di un corpo rigido dipende quindi dall’asse, oltre che dalla forma del corpo e dalla distribuzione delle masse. Il Momento di Inerzia I ha dimensioni: [ M L 2 ] e si misura in: kg m 2 Introducendo il Momento di Inerzia, l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione K rot è espressa pertanto dalla: K rot = ½ I ω 2 16

Una interessante analogia: Moto traslatorioMoto rotatorio Energia cinetica ½ m v 2 ½ I ω 2 velocità vω massa mI Cosi come ω è nel moto rotatorio l’equivalente della velocità v nel moto traslatorio, I è nel moto rotatorio l’equivalente della massa m nel moto traslatorio. Occorre però ricordare che mentre m non dipende dalla posizione del corpo, I dipende dal particolare asse attorno a cui avviene la rotazione 17

Nota bene: Questa non è una nuova forma di energia, ma è semplicemente la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle di cui si compone il corpo, scritta semplicemente in una formulazione conveniente 18

Nel caso in cui il corpo rigido non è costituito da un insieme finito di particelle distinte, ma è costituito da una distribuzione continua di materia, l’operazione di somma che compare nella formula: I = ∑ ( m i r 2 i ) diventerà una integrazione: considereremo il corpo costituito da masse infinitesime dm e considereremo la distanza r fra tali masse e l’asse di rotazione: I = r 2 dm dove l’integrale è esteso sull’intero corpo ∫ 19

Nel caso di corpi di forma complicata, il calcolo di questo integrale può essere difficile, ma nel caso di corpi con una geometria regolare e l’asse di rotazione coincidente con l’asse di simmetria, il calcolo è abbastanza semplice. Ecco di seguito alcuni esempi: 20

Per la dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido si definiranno pertanto una serie di grandezze perfettamente analoghe a quelle del moto rettilineo di una particella : Moto rettilineo di una particellaMoto rotatorio di un corpo rigido Spostamento x Spostamento angolare θ Velocita v = dx/dt Velocità angolare ω = dθ/dt Accelerazione a = dv /dt Accelerazione angolare α = dω/dt Massa m Momento di inerzia I Forza F = ma Momento della forza τ = I α Lavoro ∫ F dx Lavoro ∫ τ dθ Energia cinetica ½ m v 2 Energia cinetica ½ I ω 2 Quantità di moto mvmv Momento angolare I ω 21

Momento angolare di una particella Nella dinamica del moto rotatorio, il concetto di momento angolare (o momento della quantità di moto) ha un ruolo simile a quello che ha la quantità di moto nella dinamica del moto traslatorio. Vedremo che la definizione e l’applicazione di questo concetto ci permetterà di ricavare un’altra importante Legge di conservazione. Consideriamo una particella di massa m e quantità di moto p situata ad una distanza r dall’origine O di un sistema di assi x-y-z. Il momento angolare della particella rispetto al punto O è definito dalla: L = r x p Cioè: il prodotto vettoriale di r per p 22

y x z r p L 23

In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, il modulo di L è dato da: L = r p sin θ La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori r e p Il verso è stabilito dalla consueta regola della mano destra. Dalla definizione, che è del tutto analoga al momento di una forza, si vede che il momento angolare L è il momento della quantità di moto. 24

25

26

27

Cioè: la derivata rispetto al tempo del momento angolare (o momento della quantità di moto) di una particella è uguale al momento delle forze applicate alla particella stessa. 28

∫ ∫ 29

Momento angolare di un sistema di particelle Il caso trattato riguarda una particella. Nel caso di un sistema di più particelle, dovremo tenere in conto la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ogni particella rispetto allo stesso punto di riferimento O. A variare del tempo, a secondo delle forze (o meglio dei loro momenti) agenti sul sistema, potrà essere osservata una variazione dL/dt. In linea di principio, questa variazione potrebbe essere imputabile a due cause: a)Vi sono momenti di forze interne al sistema di particelle b)Vi sono momenti di forze esterne al sistema di particelle Tuttavia, in base alla III legge di Newton, le forze fra coppie di particelle, non solo sono eguali e contrarie, ma sono dirette lungo la linea che unisce le particelle e pertanto il momento risultante è nullo. 30

31

32

33

34

Conservazione del momento angolare 35

Se durante il moto rotatorio cambia la distribuzione delle masse (e quindi cambia I ) cambierà di conseguenza ω, un fenomeno largamente usato da atleti e ballerini !!! 36