1. Caratteristiche generali delle onde 14/11/15 1. Caratteristiche generali delle onde Un’onda è una perturbazione che si propaga da un punto a un altro L’onda più semplice da visualizzare è un’onda trasversale, in cui lo spostamento del mezzo è perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda FIGURA 1 Onde su una corda Possiamo creare un’onda lungo una corda facendone vibrare un estremo, muovendo su e giù la mano che lo tiene. 1

1. Caratteristiche generali delle onde 14/11/15 1. Caratteristiche generali delle onde In un’onda longitudinale lo spostamento delle singole particelle avviene nella stessa direzione di propagazione dell’onda FIGURA 3 Suono prodotto da un altoparlante Quando la membrana di un altoparlante vibra avanti e indietro, alternativamente essa comprime e rarefà l’aria circostante. Queste regioni di alta e bassa densità si allontanano dall’altoparlante con la velocità del suono. Le singole particelle dell’aria oscillano avanti e indietro intorno a una data posizione, come è indicato dalla freccia blu. 2

1. Caratteristiche generali delle onde 14/11/15 1. Caratteristiche generali delle onde Le onde nell’acqua sono una combinazione di onde trasversali e longitudinali Il moto di un’onda nell’acqua Quando per un dato punto nell’acqua passa un’onda, una molecola (o un piccolo sughero) si muove seguendo un percorso approssimativamente circolare. Ciò significa che le molecole dell’acqua si muovono sia orizzontalmente sia verticalmente. In questo senso, l’onda nell’acqua mostra caratteristiche sia trasversali sia longitudinali. 3

1. Caratteristiche generali delle onde 14/11/15 1. Caratteristiche generali delle onde Periodo T: tempo necessario perché una lunghezza d’onda passi per un dato punto Frequenza:

14/11/15 2. Onde in una corda La velocità di propagazione di un’onda è determinata dalle proprietà del mezzo attraverso cui essa si propaga Nel caso di una corda, la velocità dell’onda è determinata da due caratteristiche: la tensione nella corda la massa della corda All’aumentare della tensione aumenta anche la velocità delle onde che viaggiano sulla corda

14/11/15 2. Onde in una corda La massa totale della corda dipende dalla sua lunghezza; ciò che conta per la velocità è la massa per unità di lunghezza Ci aspettiamo che una maggiore massa per unità di lunghezza porti a un’onda più lenta

14/11/15 2. Onde in una corda Come previsto, la velocità aumenta all’aumentare della forza e diminuisce all’aumentare della densità lineare di massa

14/11/15 2. Onde in una corda Quando un’onda raggiunge l’estremità di una corda viene riflessa Se l’estremità è fissa l’onda riflessa è invertita FIGURA 6 Un’onda impulsiva riflessa: estremo fisso Un’onda impulsiva che si propaga lungo una corda si inverte quando è riflessa da un estremo fissato. 8

14/11/15 2. Onde in una corda Se l’estremità della corda è libera di muoversi trasversalmente l’onda verrà riflessa senza inversione FIGURA 7 Un’onda impulsiva riflessa: estremo libero Un’onda impulsiva su una corda il cui estremo è libero di muoversi è riflessa senza inversione. 9

3. La funzione d’onda armonica 14/11/15 3. La funzione d’onda armonica Dato che l’onda si ripete quando x è incrementata di una lunghezza d’onda λ, la dipendenza dell’onda da x deve essere del tipo Con il passare del tempo, inoltre, la posizione della cresta dell’onda varia secondo la relazione

3. La funzione d’onda armonica 14/11/15 Sostituendo otteniamo l’espressione completa della funzione d’onda FIGURA 8 Un’onda armonica che si muove verso destra Mentre un’onda si muove, la cresta che nell’istante t = 0 era in x = 0 si sposta nella posizione x=λt/T nell’istante t. 11

4. Le onde sonore 14/11/15 Le onde sonore sono onde longitudinali simili a quelle che si propagano in una molla FIGURA 9 Un’onda lungo una molla Se un estremo di una molla viene messo in oscillazione avanti e indietro, si produce una serie di onde longitudinali, che sono analoghe alle onde sonore In questo caso l’onda è una successione di compressioni e rarefazioni 12

4. Le onde sonore 14/11/15 In un’onda sonora le grandezze che oscillano sono la densità e la pressione dell’aria (o del mezzo in cui si propaga l’onda) FIGURA 10 Proprietà ondulatorie del suono Un’onda sonora che si muove nell’aria (a) provoca una perturbazione nella densità (b) e nella pressione dell’aria (c). 13

4. Le onde sonore 14/11/15 La velocità del suo varia in funzione del mezzo di propagazione; in generale, più è denso il materiale e maggiore è la velocità delle onde sonore al suo interno Tabella 1 pagina 438 14

4. Le onde sonore 14/11/15 Le onde sonore possono avere qualsiasi frequenza; l’orecchio umano è in grado di udire suoni di frequenza compresa tra 20 Hz e 20 000 Hz Suoni con frequenze superiori a 20 000 Hz sono detti ultrasuoni Suoni con frequenze inferiori a 20 Hz sono detti infrasuoni Gli ultrasuoni vengono utilizzati comunemente in ambito medico; gli elefanti e le balene comunicano – in parte – attraverso onde infrasoniche La velocità di propagazione del suono è la stessa per qualsiasi frequenza

5. L’intensità del suono 14/11/15 L’intensità di un suono è la quantità di energia che attraversa una data area in un dato intervallo di tempo FIGURA 11 Intensità di un’onda Se un’onda trasporta un’energia E attraverso un’area A in un tempo t, la corrispondente intensità è I = E/At P/A, dove P = E/t è la potenza. 16

5. L’intensità del suono 14/11/15 L’intensità del suono emesso da una sorgente puntiforme diminuisce con il quadrato della distanza

5. L’intensità del suono 14/11/15 I pipistrelli si servono di questa dipendenza dell’intensità del suono dalla distanza per localizzare oggetti di piccole dimensioni al buio FIGURA 12 Ecolocalizzazione Due farfalle, a distanza r1 ed r2 dalla sorgente sonora, percepiscono i segnali sonar emessi da un pipistrello. L’intensità del segnale diminuisce con il quadrato della distanza. Il pipistrello a sua volta percepisce l’eco riflesso dalle farfalle, utilizzandone la direzione e l’intensità per localizzare le sue prede. 18

5. L’intensità del suono 14/11/15 Un suono che ci sembra due volte più forte di un altro, in realtà, è dieci volte più intenso Per definire i valori di intensità si utilizza una scala logaritmica

5. L’intensità del suono 14/11/15 La quantità β è detta bel; di solito si usa il decibel, dB, che corrisponde a un decimo di bel L’intensità di un suono raddoppia ogni volta che il livello di intensità aumenta di 10 dB FIGURA 13 Livelli di intensità rappresentativi di alcuni suoni comuni L’incremento del livello d’intensità di 10 dB corrisponde a un volume del suono raddoppiato. 20

6. L’effetto Doppler 14/11/15 L’effetto Doppler è la variazione del tono di un suono quando c’è un moto relativo tra la sorgente e l’osservatore Quando è l’osservatore a muoversi verso la sorgente, il suono sembra avere una velocità maggiore e una frequenza maggiore FIGURA 14 Effetto Doppler: osservatore in movimento Le onde sonore provenienti da una sorgente in quiete formano dei cerchi concentrici, che si muovono verso l’esterno con velocità v. Per un osservatore che si muove verso la sorgente con velocità u, le onde si propagano con velocità v + u. 21

6. L’effetto Doppler La nuova frequenza è 14/11/15 La nuova frequenza è Se l’osservatore si sta allontanando dalla sorgente, cambia solo il segno della sua velocità 22

6. L’effetto Doppler 14/11/15 Nel caso di una sorgente in movimento l’analisi dell’effetto Doppler è analoga: questa volta, però, è la lunghezza d’onda che appare diversa FIGURA 16 Effetto Doppler: sorgente in movimento Le onde sonore generate da una sorgente in movimento sono raggruppate nella direzione del moto, causando una lunghezza d’onda più corta e una frequenza più alta. 23

6. L’effetto Doppler 14/11/15 Riassumendo: 24

6. L’effetto Doppler 14/11/15 Confrontiamo lo spostamento Doppler per una sorgente in movimento e un osservatore in movimento: sono simili alle basse velocità ma poi divergono Quando la velocità della sorgente supera quella del suono si ha un’onda d’urto (il boom sonico) FIGURA 17 Spostamento Doppler della frequenza in funzione della velocità per un suono di 400 Hz La curva superiore corrisponde alla sorgente in movimento, la curva inferiore all’osservatore in movimento. Notiamo che in entrambi i casi il comportamento è simile per le basse velocità, mentre è molto diverso per quelle alte. La frequenza Doppler per la sorgente in movimento aumenta illimitatamente quando la velocità è prossima a quella del suono, mentre per l’osservatore in movimento è relativamente piccola. Se una sorgente si muove con velocità maggiore del suono, il suono che produce è percepito come un’onda d’urto, usualmente indicata come boom sonico. 25

6. L’effetto Doppler 14/11/15 Combinando i risultati precedenti abbiamo la relazione che descrive il caso in cui sia l’osservatore che la sorgente sono in moto L’effetto Doppler ha molte applicazioni pratiche: dai radar dei meteorologi agli autovelox, dagli strumenti diagnostici a quelli astronomici

7. Sovrapposizione e interferenza di onde 14/11/15 Onde di piccola ampiezza che si propagano nello stesso mezzo si combinano (si sovrappongono) nel modo più semplice: si sommano FIGURA 18 Sovrapposizione di due onde Onde di piccola ampiezza si sovrappongono (cioè si combinano) semplicemente sommandosi. 27

7. Sovrapposizione e interferenza di onde 14/11/15 Se due impulsi, combinandosi, danno origine a un impulso di ampiezza maggiore, abbiamo un’interferenza costruttiva (a sinistra) Se l’ampiezza risultante è minore abbiamo un’interferenza distruttiva (a destra) FIGURE 19-20 Interferenza Due impulsi d’onda si sovrappongono quando si incontrano, poi continuano il loro moto invariati. 19. Gli impulsi si combinano per dare un’ampiezza maggiore. Questo è un esempio di interferenza costruttiva. 20. Quando un impulso positivo si sovrappone a un impulso negativo, il risultato è un’interferenza distruttiva. In questo caso, con impulsi simmetrici, c’è un momento in cui essi si annullano completamente. 28

7. Sovrapposizione e interferenza di onde 14/11/15 Anche le onde bidimensionali sono soggette a interferenza Ecco un esempio di figura di interferenza di onde circolari FIGURA 21 Interferenza Figura di interferenza formata dalla sovrapposizione di due insiemi di onde circolari. Le aree radiali chiare corrispondono a regioni nelle quali creste incontrano creste e ventri incontrano ventri (interferenza costruttiva). Le aree radiali scure, che si alternano a quelle chiare, corrispondono a regioni nelle quali le creste di un’onda si sovrappongono ai ventri dell’altra onda (interferenza distruttiva). 29

7. Sovrapposizione e interferenza di onde 14/11/15 Ecco un altro esempio di figura di interferenza, questa volta con due sorgenti distinte Se le sorgenti sono in fase, i punti le cui distanze dalle sorgenti differiscono tra loro di un numero intero di lunghezze d’onda interferiranno costruttivamente; per valori intermedi l’interferenza sarà distruttiva FIGURA 22 Interferenza con due sorgenti Supponiamo che due sorgenti emettano onde in fase. Nel punto A la distanza da ciascuna sorgente è la stessa, quindi le creste incontrano le creste e ne risulta un’interferenza costruttiva. In B la distanza dalla sorgente 1 è maggiore di quella dalla sorgente 2 di mezza lunghezza d’onda. Il risultato è che le creste incontrano i ventri e si ha un’interferenza distruttiva. Nel punto C, infine, la distanza dalla sorgente 1 supera di una lunghezza d’onda quella dalla sorgente 2, e quindi abbiamo nuovamente un’interferenza costruttiva. Se le sorgenti fossero state in opposizione di fase, in A e C avremmo avuto interferenza distruttiva e in B costruttiva. 30

8. Onde stazionarie 14/11/15 Un’onda stazionaria occupa una posizione fissa ma oscilla nel tempo Le onde stazionarie sono tipiche delle corde fissate ai due estremi (ad esempio negli strumenti musicali) e delle colonne d’aria vibranti FIGURA 23 Un’onda stazionaria a) Una corda è fissata a entrambi gli estremi. b) Se la corda viene pizzicata nel mezzo, si forma un’onda stazionaria. Questo è il modo fondamentale di oscillazione della corda. c) L’onda stazionaria fondamentale è formata da mezza lunghezza d’onda tra i due estremi della corda, quindi la sua lunghezza d’onda è 2L. 31

8. Onde stazionarie 14/11/15 La frequenza minima, o fondamentale, su una corda fissata a entrambi gli estremi corrisponde a una lunghezza d’onda doppia della lunghezza della corda Le frequenze superiore sono dette armoniche

8. Onde stazionarie 14/11/15 Sulla corda deve esserci un numero intero di mezze lunghezze d’onda; significa che sono possibili solo certe frequenze I punti della corda che rimangono fissi sono detti nodi; quelli che hanno lo spostamento massimo sono detti antinodi FIGURA 24 Armoniche Le prime tre armoniche di una corda fissata a entrambi gli estremi. Osserviamo che per passare da un’armonica alla successiva occorre aggiungere una mezza lunghezza d’onda. 33

8. Onde stazionarie 14/11/15 Perché corde diverse abbiano frequenze fondamentali diverse devono avere lunghezza e/o densità lineare diverse Le corde di una chitarra hanno tutte la stessa lunghezza ma densità diverse Tasti di una chitarra Per salire di un’ottava rispetto alla fondamentale, la lunghezza della corda di una chitarra deve essere dimezzata. Per salire di un’altra ottava, è necessario dimezzare nuovamente la lunghezza della corda. Perciò la distanza tra le sbarrette non è uniforme, riducendosi sempre di più a mano a mano che ci si avvicina alla base della tastiera 34

8. Onde stazionarie 14/11/15 Le corde di un pianoforte hanno lunghezza e densità diverse: questo spiega la forma di un pianoforte a coda Una volta decisa la lunghezza e la composizione della corda, quest’ultima viene accordata alla frequenza desiderata variandone la tensione Gli strumenti a corda sono concepiti in modo che la differenza di tensione tra le varie corde sia limitata, così da limitare il rischio di deformazioni e altri danni

8. Onde stazionarie 14/11/15 Si possono generare onde stazionarie anche in una colonna d’aria: questa può trovarsi in una bottiglia, in uno strumento a fiato o nelle canne di un organo Come si vede nella figura, un’estremità della colonna è un nodo (N), mentre l’altra è un antinodo (A) FIGURA 25 Produrre un’onda stazionaria Quando viene soffiata dell’aria sull’apertura di una bottiglia, il flusso di aria turbolenta può causare un’onda stazionaria udibile. L’onda stazionaria avrà un antinodo A all’apertura della bottiglia (dove l’aria si muove) e un nodo N sul fondo (dove l’aria non si può muovere). 36

8. Onde stazionarie 14/11/15 Nel caso di una colonna d’aria aperta solo a un estremo la lunghezza d’onda fondamentale è pari a quattro volte la lunghezza della colonna, e possono formarsi solo le armoniche dispari FIGURA 26 Onde stazionarie in un tubo aperto a un estremo Le prime tre armoniche di un’onda stazionaria in una colonna d’aria di lunghezza L aperta a un estremo: a) λ/4 = L, λ = 4L; b) 3λ/4 = L, λ = 4L/3; c) 5λ/4 = L, λ = 4L/5. 37

8. Onde stazionarie 14/11/15 Nel caso di una colonna aperta a entrambe le estremità, ogni estremità è un antinodo, e la sequenza delle armoniche è identica a quella di una corda FIGURA 28 Onde stazionarie in un tubo aperto a entrambi gli estremi Le prime tre armoniche di un’onda stazionaria in una colonna d’aria di lunghezza L aperta a entrambi gli estremi: a) λ/2 = L, λ = 2L; b) λ = L; c) 3λ/2 = L, λ = 2L/3. 38

9. Battimenti 14/11/15 I battimenti sono una figura di interferenza nel tempo anziché nello spazio Dati due suoni di frequenza molto simile, anche la loro somma varia periodicamente nel tempo, anche se con una frequenza nettamente inferiore Figura 30 Battimenti I battimenti possono essere interpretati come oscillazioni che hanno una frequenza media tra quelle delle due onde che formano il battimento, modulate da un’ampiezza che varia lentamente. 39