Area e perimetro … che confusione! Anna Maria Facenda Paola Fulgenzi Janna Nardi Floriana Paternoster Daniela Rivelli Daniela Zambon Sezione Mathesis di Pesaro www.mathesispesaro.altervista.org Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro ”Confusione” tra Area e perimetro: difficoltà molto frequente in Geometria Più evidente quando i due concetti vengono messi in relazione: ad area maggiore/minore “deve” corrispondere perimetro maggiore/minore e viceversa I due concetti non risultano separati quindi anche le loro variazioni “devono” essere analoghe Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Ostacolo con radici … ….. storiche (Galileo): « … ignorando che può essere un recinto eguale a un altro, e la piazza contenuta da questo assai maggiore della piazza di quello: il che accade non solamente tra le superfici … » (Discorso intorno alle due nuove scienze ….) … epistemologiche: concettualizzare l’area richiede un salto mentale verso l’astrazione … ma forse anche didattiche! Sezione Mathesis Pesaro

Infatti generalmente nel lavoro in classe su aree e perimetri: L’attenzione è focalizzata prevalentemente sul calcolo Le situazioni riguardano figure statiche Le procedure (formule) sono “trasmesse” e non “scoperte” attivamente Si favorisce così la nascita e il consolidamento di uno schema mentale: area e perimetro legati da un “destino comune” Eventuali conflitti cognitivi non hanno in genere la forza di contrastare tale schema, una volta stabilizzato Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro La nostra proposta, centrata sulla utilizzazione di figure dinamiche, non vuole essere una ricetta ma offrire spunti di riflessione. Le sue caratteristiche sono: il ricorso alla percezione attraverso l’operatività la dinamicità, che crea un numero infinito di casi e arricchisce l’esperienza il numero e la diversità dei modelli che amplia la variabilità e il campo di applicabilità delle percezioni Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Prima di presentarla in dettaglio diamo alcuni cenni sul quadro teorico a cui facciamo riferimento. A nostro avviso la Matematica non è la scienza delle formule trasmesse e apprese ma conoscenza da esplorare e strutturare anche in modo creativo L’attività matematica ha lo scopo di: Arricchire le risorse degli alunni Rendere gli alunni consapevoli delle proprie potenzialità e delle capacità di analisi e di critica I concetti matematici dovrebbero prendere forma, nell’età dell’obbligo e non solo, attraverso attività concrete Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Per apprendere sono necessari interesse e motivazione, che possono essere suscitati coinvolgendo gli alunni In attività quali: manipolazione osservazione esplorazione e scoperta verbalizzazione e discussione Con questa modalità di lavoro l’insegnante non è più “trasmettitore di conoscenza” , ma è: colui che propone stimoli e modelli di apprendimento il garante scientifico e metodologico la guida, che orienta e … che si mette in gioco per dare la possibilità agli alunni di “giocare” ad apprendere Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Inoltre è più facile imparare a pensare matematicamente: se si lavora non solo con la mente ma anche con le mani se si opera in un contesto che dà spazio alle interazioni alunno-alunno e alunno-docente Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro I modelli dinamici (come anche i software dinamici Cabri e GeoGebra), che sono rappresentazioni degli oggetti matematici, sono materiali preziosi per l’attività matematica: sono duttili ed adattabili (favoriscono anche l’integrazione di alunni BES) consentono un feedback immediato stimolano ad osservare, fare congetture, discutere, argomentare … spostano l‘attenzione dal prodotto al processo Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Il dinamismo ha una connotazione spazio-temporale e favorisce:   l’interrogarsi sui rapporti di causa-effetto la trasformazione delle relazioni causali e cronologiche in logico-deduttive  Modelli e software si possono utilizzare in maniera complementare e sinergica: entrambi consentono di esplorare ed approfondire le situazioni proposte attraverso esperienze diversificate e ricche . Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Classi coinvolte: II D (scuola secondaria di primo grado), 25 alunni VA (scuola primaria), 23 alunni V B (scuola primaria), 23 alunni In nessuna delle classi erano presenti alunni portatori di handicap, in tutte vi erano alunni con bisogni educativi speciali (certificati)   Le classi di scuola primaria hanno lavorato con materiali, per tutto il ciclo; la classe di scuola secondaria aveva alle spalle un solo anno di esperienze con modelli dinamici. L’attività si è svolta per otto ore, un’ora alla settimana. Ad ogni incontro erano presenti due insegnanti: l’insegnante di classe (I) e l’insegnante ricercatore (IR); generalmente l’insegnante di classe svolgeva il ruolo di verbalizzatore, mentre l’insegnante ricercatore coordinava il lavoro di analisi e di discussione. Sezione Mathesis Pesaro

Modelli dinamici utilizzati: Ogni alunno ha costruito personalmente i modelli seguendo le indicazioni fornite dall’insegnante; per gli alunni delle quinte l’insegnante ha preparato alcune parti del secondo e terzo modello, al fine di accorciare i tempi di esecuzione. L’osservazione e l’esplorazione hanno avuto inizio con una fase di lavoro individuale e hanno preso l’avvio dalla consegna: “Muovi” i tre modelli e per ciascuno scrivi le tue osservazioni su Area e Perimetro delle figure che si formano. Ogni alunno ha verbalizzato per iscritto le proprie considerazioni. Tempo impiegato: un’ora e un quarto circa. Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Modello 2 Modello 3 Modello 1 Si formano quadrilateri e triangoli equiestesi, ma non isoperimetrici Si formano triangoli isoperimetrici ma non equiestesi Si formano triangoli con perimetro variabile e con area che presenta delle fasi di variazione e delle fasi di permanenza Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Dopo la comunicazione dei risultati delle osservazioni individuali, in ogni classe è iniziata la discussione collettiva, secondo l’ordine stabilito per i modelli. Durante la discussione sono stati utilizzati, forniti dalle insegnanti, altri modelli come contro esempi o esempi di appoggio. Sezione Mathesis Pesaro

Ultima fase del lavoro: “modelli di verifica” Sono stati forniti in successione, sempre dalle insegnanti, altri tre modelli (A, B, C) ed è stata data la stessa consegna: “Muovi” i tre modelli e per ciascuno scrivi le tue osservazioni su Area e Perimetro delle figure che si formano. L’esplorazione è avvenuta attraverso la sola discussione collettiva. Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Presentiamo ora una selezione dei brani di dialogo a nostro avviso più interessanti, con il nostro commento Molte delle riflessioni sono nate spontaneamente dalla curiosità e dalle intuizioni degli alunni. Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Grazie al dinamismo dei modelli, emerge il conflitto tra misconcezione e dati percettivi; gli alunni stessi ne diventano consapevoli: (II D) Giulia: in base a come lo muovi, si schiaccia però … se lo spago è lo stesso non capisco perché cambia l’area (VB) Vittoria: Non cambia il P perché lo spago è sempre uguale. (II D) Giulia: tu vedi che l’altezza diminuisce e la base aumenta … allora diresti “perché l’area cambia?” ( V A) IR: cosa accade al perimetro? Molti: cambia. IR: se varia ci sarà un massimo e un minimo … molti sono perplessi .. Joni: ma i pezzi sono sempre gli stessi … Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro L’abitudine ad una metodologia operativa su materiali dotati di movimento ha fornito un “bagaglio” di strumenti utili in situazioni nuove e ha contribuito a formare immagini mentali solide (sanno escogitare strategie operative, di verifica e controllo, efficaci): (V B) Nina, Gioele: sono figure simmetriche … …… Gioele: il segmento AB [la base comune a tutti i triangoli- n.d.a.] fa da asse, è qua in mezzo (lo indica sul modello … )c’è un asse perpendicolare all’altro. Luca T: basta fare ¼ di movimento per avere tutti i tipi di figure. (II D) IR: come faccio ad essere sicura che è isoscele? Sole: fai le misure .. IR: non ho il righello … Sole: fai col palmo … Marta: guardi gli angoli … Gianmarco: lo dividi a metà, fai l’asse di simmetria .. Sole: basta piegarlo … IR: se ho degli strumenti da disegno? Sole: con il compasso per misurare se tutti i lati sono uguali … Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro ( II D) IR: come faccio ad essere sicura che occupa sempre ¼? Nicholas è incerto … …….. Luna: la ritaglio, la incastro, la sposto ... così faccio per tutte. Marta: muovendo, quello che perdo da una parte lo ritrovo dall’altra … Gianmarco: se ruoti la figura … la ritagli e la incastri IR: e il perimetro? Alcuni dicono che cambia. Demis: come nel modello 2 .. Giacomo: è la stessa cosa del modello 2. Demis: solo che nell’altro era la metà … ( V A) IR: ora ritorniamo al nostro quesito; perché l’area non cambia? Alcuni: (le figure che si formano) sono la metà del quadrato … lo provo con la simmetria o la rotazione. IR: possiamo giustificarlo in altro modo? Supponiamo di non conoscere simmetria e rotazione … ……. Nicola G: guardi il quadrato che lo contiene … Alcuni: prendo il righello e misuro Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro   Si fa spazio e si consolida la consapevolezza che area e perimetro non sono necessariamente determinati dagli stessi elementi della figura: ( II D) Giovanni: il P non cambia perché lo spago è quello; l’area cambia a seconda della forma che crei, l’area diminuisce .. Demis: muovendo lo spago resta la base ma cambia l’altezza. Federico: il filo elastico si modella, lo spago resta uguale … IR: allora cosa si modifica? Giacomo: cambia il perimetro .. IR: e l’area? Giacomo: varia. L’area massima ce l’ha il quadrato … Gianmarco: quando ci sono le diagonali perpendicolari. Federico: l’altezza diminuisce … Demis: quindi l’area diminuisce. Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro (V A ) IR: cosa accade? Molti: il P non cambia, i bastoncini sono sempre gli stessi … l’area dipende dall’altezza (ad un vertice è fissato un filo a piombo) Per validare le intuizioni sul Perimetro gli alunni ricorrono a stime; per l’Area, invece, alla percezione: si conferma che concettualizzare l’area è più difficile: (II D) Chiara: l’area resta sempre uguale perché la parte colorata è sempre la metà del quadrato totale. Il P cambia perché i lati diminuiscono e aumentano Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Qualche riflessione sul metodo di lavoro e sulle sue ricadute positive. L’operatività e il dinamismo offrono un terreno favorevole a stili cognitivi diversi; resta però essenziale dar voce agli alunni (argomentare, discutere): ( V B) Swami: faccio ruotare metà triangolo e lo trasformo in un quadrato … IR: e le posizioni intermedie? Alcuni: sono sempre ¼ … IR: come faccio ad essere sicura? Luca T: taglio la parte che sborda e lo trasformo in un quadratino Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Le variazioni/permanenze di area e perimetro sono state inserite in un quadro più ampio di osservazione e analisi delle figure ( tipologia, proprietà, condizioni di costruibilità….). Area e perimetro non solo come “risultati di calcolo” ma anche come ulteriori elementi di conoscenza e caratterizzazione delle figure. ( II D) “Muovendo” il modello gli alunni osservano che si può ottenere anche un trapezio …. IR: cosa deve avere una figura per essere un trapezio? Jiayi: dipende … non so … IR: se dico che deve avere “almeno due lati paralleli …” Gianmarco: allora sì, anche le figure generate dall’ultimo modello sono trapezi … IR: se dico “solo due lati paralleli …” Molti: allora no. ………. Demis: non si può fare il deltoide. (V A ) Nicola: si possono ottenere tutte le figure … Alcuni: non si può ottenere il deltoide Alcuni: (si possono ottenere) anche trapezi e il rombo … si osservano attentamente tutte le possibilità. Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro L’uso di materiali non significa che si debba per forza restare “confinati” al concreto; al contrario, è possibile e agevole accedere ad un primo livello di formalizzazione: (II D) IR: indichiamo come si calcola il P .. Giovanni: nel triangolo è la diagonale del quadrato più 2 lati del quadrato .. IR: come lo possiamo scrivere … Molti: lato per due .. gli alunni dicono d+2l IR: nella posizione a rettangolo? Alcuni: (V A) IR scrive alla lavagna le formule del calcolo dell’area dettate dagli alunni. Carlotta: per il trapezio la somma delle basi è il lato del quadrato, (B+b)×h:2 diventa l×l:2 Alcuni: per il triangolo b×h:2 diventa l×l:2 Altri: per il rettangolo l:2×l è lo stesso di l×l:2 Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro ( V B ) IR: cosa rappresenta una formula? Gioele: farci trovare qualche cosa di specifico… Mathias: a mettere dei numeri al posto delle lettere. IR: se per il rettangolo scrivo b×h .. Luca T: è algebra .. Luca S: per trovare l’area in maniera precisa … Luca T: serve per tutti i rettangoli Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro (V A) IR: e il perimetro? Molti: cambia. Tutti assieme indicano il perimetro minimo del quadrato e massimo del triangolo rettangolo isoscele: Nicola G: la diagonale è più lunga del lato .. IR: e i casi intermedi? Carlotta e Nicola: più piccolo del triangolo e più grande del quadrato … Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro La curiosità spontanea dei ragazzi ha “aperto la porta” a tante altre considerazioni: l’infinito … (V A) Si sta discutendo su tipologia e numero dei triangoli che si formano Alcuni: scaleni ottusangoli e degenere … e dall’altra parte la stessa cosa. IR: quante figure? individuano infiniti tr. rettangoli, infiniti acutangoli, infiniti ottusangoli e quattro tr. rettangoli isosceli … Elisa: infinito+infinito= infinito più grosso. IR: è più grande? Nicola P: è come 0+0=0 Joni: ma 1+1=2 Nicola G: non si può contare. Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro proporzionalità … (V A) Si discute sulle variazioni dell’area in relazione alla misura dei lati in elastico: IR: come aumenta l’area al variare di una dimensione? C’è confusione … IR: se da 5 passo a dieci … Nicola: è il doppio … sì, l’area è il doppio. IR: e per il P? Joni: va avanti di 10 … si comportano in modo diverso.     massimi e minimi … (V B) IR: cosa accade al perimetro? Mathias: è sempre diverso, perché tiri l’elastico … Luca T: nei punti B e C è massimo … (vertici in alto) IR: lo capisco dal .. Andrea: dal filo teso … IR: se svolto l’angolo B? Luca S: diminuisce . IR: il minimo? Molti: il caso degenere …(la partenza) Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Trarre conclusioni non è facile, o forse non è possibile, poiché l’esperienza: È organizzata in maniera non compiutamente scientifica, in quanto è solo una proposta di lavoro. È condotta su un campione limitato e per un tempo breve (soprattutto tenendo conto della portata del problema) Tuttavia vogliamo condividere con voi le nostre osservazioni e impressioni Durante le attività sui “modelli di verifica” emergono: Maggiore disinvoltura nell’esplicitare i concetti Utilizzo di un linguaggio più preciso e ricco Maggiore autonomia nelle diverse fasi del lavoro E la confusione tra area e perimetro? Certo non può dirsi “debellata”… ma i ragazzi si dimostrano più attenti al problema e più consapevoli delle possibili misconcezioni Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Non è casuale che alcune fasi dell’attività si siano svolte con più naturalezza ed efficacia nelle due classi quinte primaria, che hanno un vissuto scolastico omogeneo, caratterizzato dall’uso costante di modelli dinamici. Quindi: VALE LA PENA , SECONDO NOI, DI PROVARE QUESTA STRATEGIA. ASPETTIAMO, SE VOLETE, IL RISCONTRO DELLE VOSTRE ESPERIENZE. GRAZIE! annamaria.facenda@alice.it daniela.rivelli@email.it fulgenzi.paola@libero.it janna.nardi@gmail.com florpa@libero.it zambondaniela53@gmail.com   www.mathesispesaro.altervista.org Sezione Mathesis Pesaro

Sezione Mathesis Pesaro Bibliografia Castelnuovo E., ed. 1963. Didattica della Matematica. Firenze: Nuova Italia. Castelnuovo E., Barra M., ed 1976. Matematica nella realtà. Torino: Bollati Boringhieri. D’Amore B., 1999. Elementi di Didattica della Matematica. Bologna: Pitagora. D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I. 2005, Relazioni tra area e perimetro:convinzioni di insegnanti e studenti. La Matematica e la sua Didattica, n. 2, pp.165-190. D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I., 2007, Area e perimetro, aspetti concettuali e didattica. Trento: Erickson Facenda A. M., Fulgenzi P., Gabellini G., Masi F., Nardi J., Paternoster F. 2003. I modelli dinamici: costruzioni di immagini mentali e avvio alla deduzione. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 26 A-B n. 6, pp. 715 – 738. Facenda A. M., Fulgenzi P., Gabellini G., Masi F., Nardi J., Paternoster F., Rivelli D. 2007. Modelli dinamici e Cabri nello studio di quadrilateri. In B. D’Amore, S. Sbaragli (Ed.), Allievi, insegnanti, sapere: la sfida della didattica della matematica. Bologna: Pitagora. pp.255 – 256. Facenda A. M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F., Rivelli D., Zambon D. 2007. Parallelogrammi inscritti in quadrilateri. Prima parte. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 30 A, n. 5, pp. 549 – 572. Facenda A. M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F., Rivelli D., Zambon D. 2008. Parallelogrammi inscritti in quadrilateri. Seconda parte. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 31 A n. 1, pp. 13 – 32. Facenda A. M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F., Rivelli D., Zambon D. 2008. Uso integrato di Cabri e modelli dinamici: resoconto di una esperienza sui parallelogrammi. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 31 A n. 5, pp.429 – 444. Facenda A. M., Nardi J., Zambon D. 2010. Osservare, riconoscere, giustificare figure geometriche: proposta didattica con modelli dinamici e Cabri. L'Educazione Matematica, n. 2, pp. 43 – 62. Facenda A. M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F., Rivelli D., Zambon D. 2014. Volare con la matematica: un percorso operativo di geometria dinamica. Digital Docet, Modena Sbaragli S., (2008). Perimetro e area. La vita scolastica n. 3 p. 29 Sezione Mathesis Pesaro