LA FISICA DELLA CIRCOLAZIONE Il FLUIDO. LA POMPA. IL CIRCUITO.

LA FISICA DELLA CIRCOLAZIONE IL FLUIDO: Ci occuperemo di studiare un particolare LIQUIDO detto SANGUE. Partendo dalla descrizione fisica del liquido in condizioni di riposo (FLUIDOSTATICA) e di movimento (FLUIDODINAMICA) , vedremo come esso abbia ‘strane’ proprietà VISCOSE .

Discutiamo…. Pressione?

PRESSIONE P=F/S FLUIDOSTATICA I liquidi possiedono VOLUME ma non FORMA propria: sono perciò normalmente CONFINATI in un recipiente. Lungo la superficie di contatto S il liquido risponde alla forza F con cui viene tenuto confinato con una REAZIONE uguale e opposta: si dice che esercita una PRESSIONE P=F/S

In condizioni statiche e in assenza di altre forze, la pressione è omogenea e assume lo stesso valore in ogni punto del liquido. UNITA’ DI MISURA: p = F / S in N / m 2 (N sta per Newton ed è l’unità di misura della forza nel S.I., m 2 è la misura della superficie) il N / m 2 si chiama anche Pa ( Pascal)

Diamo i numeri….. liquido Se la pressione del liquido all’interno del cubo è 106 N/m2, se il lato del cubo= 0.1 m, se si suppone che la pressione all’esterno del cubo sia nulla, la FORZA che agisce su ciascun lato del contenitore sarà: F = p S = 106 N/m2 ( 10 -1) 2 m 2 = 10 4 N

All’equilibrio deve essere: Sulla superficie terrestre il campo gravitazionale è responsabile del ‘peso’ degli oggetti: come influenza la pressione idrostatica? z F=(p(z+dz)- p(z))S z + dz All’equilibrio deve essere: P=mg=dVg P(z+dz)-p(z)= d V g /S= d dz g Dunque alla profondità z: p(z)=patm + d z g

Questa legge (nota come legge di Stevino) spiega perché è consuetudine misurare le pressioni tramite ‘altezze’ di fluidi: cmH2O, mmHg,… p= d g h 1 cmH2O= 103 kg/m3 10 m/s2 10-2 m= = 100 Pa 1 mmHg= 13.3 103 kg/m3 10 m/s2 10-3 m= =133 Pa

Diamo i numeri… La pressione IDROSTATICA gioca un ruolo non trascurabile anche nei sistemi biologici: Se assumiamo che la densità del sangue sia pari all’acqua: p capo= 100 mmHg- 103 10 0.5 /133= 63 mmHg p piedi= 100 mmHg+ 103 10 1.2 /133= 190 mmHg 0.5 m 1.2 m PCUORE = 100 mmHg

Diamo i numeri….. Durante una trasfusione di sangue intero, l’ago è inserito in una vena dove la pressione è di 15 mmHg. La sacca dovrà essere posta ad un’ altezza pari a : h = p / d g = 15 * 133 Pa / 10 3 * 10 kg/m 2 s 2 = = circa 0.2 m Cosa succede ad altezze superiori o inferiori ?

FLUIDODINAMICA In generale la descrizione del movimento di un fluido è molto complicata: occorre definire un CAMPO VETTORIALE di VELOCITA’ che ad ogni punto (x,y,z) e ad ogni istante t associa un vettore v tangente alla direzione di movimento del fluido. Noi considereremo per semplicità moti STAZIONARI (che cioè non variano nel tempo) e ASSIALI (in cui tutte le particelle si muovono nella medesima direzione lungo l’asse del tubo).

Discutiamo... Portata?

La grandezza che descrive il moto del fluido è la PORTATA: Q=V/t cioè il rapporto tra il volume di fluido che attraversa una superficie S del condotto nel tempo t e il tempo t. Nel S.I. si misura in m 3 / s

l S Poiché nel caso di un condotto rigido cilindrico V = S l Q = S l/t = S v Se non esistono ‘perdite’ o sorgenti lungo il condotto, la portata Q resta costante.

Diamo i numeri….. Se v1 S1= v2 S2 v1 = v2 S1 S2 Se S2 < S1 v2 > v1 S2 S1

Lavoro delle forze di pressione + energia In molte circostanze si può considerare il liquido come ‘perfetto’ o inviscido, ossia si possono trascurare gli attriti con le pareti e tra le molecole stesse. Applicando il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ ENERGIA MECCANICA ad un volumetto di fluido di volume unitario: p2 h2 p1 h1 Lavoro delle forze di pressione + energia cinetica + energia potenziale = COSTANTE

Se consideriamo V unitario ( V = 1 ) IL LAVORO DELLE FORZE DI PRESSIONE è L = F x = p S x = p V = p L’ENERGIA CINETICA è Ec = m v2/2 = d V v2 /2 = d v2 /2 L’ENERGIA POTENZIALE è E p = m g h = d V g h = d g h dunque: p + d v2 /2 + d g h = COST è nota come legge di Bernoulli.

Diamo i numeri……. In un individuo a riposo la velocità media del sangue attraverso l’aorta è pari a 0.33 m/s. Se il raggio dell’aorta è di 9 mm, la portata sanguigna sarà: Q = v S = = 0.33 m/s p ( 9 10 -3 ) 2 m 2 = 8.4 10 -5 m 3 /s Verifica da te che corrisponde proprio ai 5 l/min dei libri….

Diamo i numeri…. Un’arteria di raggio r=2.5 mm è parzialmente ostruita da una placca, per modo che il suo raggio effettivo in quel punto vale 1.8 mm e la velocità del sangue è di 50 cm/s. La velocità media del sangue dove l’arteria non è ostruita vale: v p r 2 = v’ p r’ 2 v = v’ ( r’ / r ) 2 = 50 cm/s ( 1.8 / 2.5) 2 = = circa 26 cm/ s (perché non è necessario passare nel S.I. ? )

approfondimento n. 1: STENOSI E ANEURISMA Se S2 = 0.5 S1 v2 = 2 v1 v22= 4 v12 p1 + d v12/2 = p2 + d v22/2 p2 = p1 - 3 d v12/2 la pressione nella stenosi diminuisce! S2 S1

Approfondimento n. 2 : inserzione di cateteri Direzione del flusso Misura la pressione idrostatica p Misura la pressione ‘cinetica’ p - d v2/2 Misura la pressione ‘cinetica’ p + d v2/2

Il principio di Archimede Se in un liquido viene immerso totalmente un oggetto di densità media pari a d, questo sarà soggetto a 2 forze (trascurando gli attriti): La differenza di pressione genera la Forza di Archimede: Fa= p S =dliq g h S = dliq g V La forza peso vale: F = d g V e la forza risultante sarà data da: Ftot = (d - dliq )g V

Ftot = (d - dliq )g V Osservazioni: -il segno della forza risultante dipende dalla differenza tra densità del corpo immerso e del liquido: Se d > dliq il corpo affonda Se d < dliq il corpo galleggia Es: è il meccanismo utilizzato dai pesci per modificare la profondità a cui nuotano attraverso il controllo del volume Ddella vescica natatoria. -è possibile trovare un equilibrio se si permette al corpo di rimanere immerso parzialmente nel liquido:

In questo caso la forza peso vale ancora Fp = d g V mentre la spinta di Archimede si esercita solo sulla componente immersa: Fa = dliq g Vimm Si avrà pertanto equilibrio se: Vimm /V = d / dliq Es iceberg: d ghiaccio = 0.9 103 kg/m3, d acqua = 103 kg/m3 Vimm /V = 9/10 Spiega come ha fatto Archimede a scoprire che la corona di Dionigi non era di oro puro….

Discutiamo…. Viscosità?

La definizione più intuitiva è quella data da Newton: “una mancanza di scorrevolezza tra strati adiacenti di un fluido che si muovono con velocità diversa” Si tratta di una forma di ATTRITO con le pareti e tra gli strati del fluido stesso, che determina una dissipazione di energia, che si manifesta sotto forma di caduta di pressione proporzionale alla portata (esattamente come un filo percorso da corrente registra una diminuzione di potenziale elettrico proporzionale all’intensità di corrente.

Anche in questo caso si parla di RESISTENZA: R = Pin - P fin / Q in piena analogia con la prima legge di Ohm: R = Vin - V fin / I

c’è dipendenza dall’ inverso del quadrato della sezione ! Però l’analogia si ferma qui, perché mentre per la seconda legge di Ohm : R = r l / S c’è dipendenza dall’ inverso della sezione, qui invece: R = ( 8  p ) l / S 2 c’è dipendenza dall’ inverso del quadrato della sezione !

R = (p1-p2)/ Q = 8 l / p r4 Pertanto la RESISTENZA IDRODINAMICA si potrà calcolare come: R = (p1-p2)/ Q = 8 l / p r4 ( legge di Poiseuille) con : coefficiente di viscosità caratteristico di ogni sostanza Nel S.I. le viscosità si misurano in Pa s, ma tradizionalmente si usa ancora il Poise : 1 Poise= 0.1 Pa *s Per l’ acqua ( e il plasma )  = 10 -3 Pa s

N.B. Se rappresentiamo la resistenza su un piano p-Q , in virtù del fatto che Dp = R Q tracceremo una retta di cui R rappresenta il coefficiente angolare: p Alta resistenza Bassa resistenza Q

R = 1/ r 4 R’ = 1/ r’4 R’/ R = ( r / r’ ) 4 = ( 1.01) 4 = 1.04 Diamo i numeri………. Una riduzione di raggio dell 1% (r/r’=1.01) di un vaso sanguigno comporta un aumento di resistenza pari a: R = 1/ r 4 R’ = 1/ r’4 R’/ R = ( r / r’ ) 4 = ( 1.01) 4 = 1.04 R aumenta del 4 %.

Diamo i numeri…. Che resistenza oppone all’ acqua un ago di lunghezza 8 cm e raggio interno 0.04 cm? R = 8 10 -3 pa s 8 10 -2 m / p ( 4 10 - 4 m ) 4 = 8 10 9 pa s /m 3 L’ago viene inserito in una siringa con un pistone di area 3.5 cm2.

Quale forza bisogna applicare perché l’acqua penetri nella vena con una portata Q= 2 cm3/s? Assumere che la pressione nella vena sia 9 mmHg. P sir - P v = R Q F sir = S P sir = S ( R Q + p v )= = 3.5 10 - 4 m 2 ( 8 10 9 Pa s / m 3 2 10 - 6 m 3/s + 9* 133 Pa)= = circa 1 N

Limiti di validità della legge di Poiseuille -velocità del fluido inferiore alla velocità critica, al di sopra della quale si manifestano fenomeni di turbolenza, -vasi grandi rispetto alle dimensioni dei globuli rossi (avvengono fenomeni più complessi ) -approssimazione di tubo rigido, in quanto la legge trascura gli effetti elastici.

Approfondimento sulla viscosità: I liquidi reali presentano il fenomeno della viscosità, legato alla presenza di attriti di scivolamento tra i filetti fluidi. Consideriamo un solido sulla cui superficie S agisce una forza F di deformazione F Si ha che F/S = Y x/z con: Y coefficiente caratteristico del solido x spostamento  x z

Nel caso dei fluidi, si manifesta una sollecitazione analoga negli strati di liquido che scorrono l’uno sull’altro; qui: F / S =  v/z v/z indica che la velocità v degli strati di fluido varia linearmente da strato a strato ossia: lungo z si ha una ‘deformazione nel movimento’  è detta viscosità e le sue dimensioni sono:  = F z / S v = p t ( Pa s) ma è tradizionalmente misurata in Poise : 1 Poise= 0.1 Pa s

Se teniamo conto della viscosità , all’equilibrio le forze di pressione dovranno equilibrare quelle di attrito: (p1 - p2) S = t 2  R l dove t =  dv/dr dunque ai capi vi sarà una differenza di pressione: p1-p2= 2 l t /R

La viscosità del fluido comporta altre due conseguenze importanti: 1) sostituendo t =  dv/dr nella relazione precedente si ottiene un’equazione differenziale: dv/dr = - (p1-p2) r / 2 l  , la cui soluzione fornisce la forma del profilo di velocità: v = v max ( 1 - r2/R2) v max = (p1-p2) R2 / 4l  ci dice che le particelle in una data sezione non si muovono tutte alla stessa velocità, ma sono praticamente ferme alla parete e raggiungono la massima velocità in centro. Il profilo di velocità è parabolico.

2) Ricordando ora che Q = vmed S, e osservando che nel caso di un profilo parabolico vmed = v max /2 Q = (p1-p2) R4 /8 l  ritrovando così la legge di Poiseuille.

approfondimento VISCOSITA' DEL SANGUE

Il sangue è una sospensione di cellule in una soluzione acquosa di sali e molecole organiche (7% in peso) detta PLASMA. Il contenuto in sali ne definisce le proprietà OSMOTICHE. Il PLASMA è sostanzialmente un FLUIDO OMOGENEO, dotato di normale viscosità (circa una volta e mezza quella dell’acqua). Il SANGUE INTERO NON E’ un liquido omogeneo. Esso contiene: ERITROCITI ( 5 106 /mm3) LEUCICITI ( 5-8 103 /mm3) PIASTRINE ( 250-500 103 /mm3)

La sua VISCOSITA’ dipende: * dalla TEMPERATURA (aumenta nei congelamenti,…) * dall’ EMATOCRITO * dalla PORTATA (effetto di accumulo assiale) * dal raggio del vaso (effetto Lindquist)

Si definisce EMATOCRITO il volume percentuale di sangue occupato dagli eritrociti. Di norma HT vale circa il 40%. Viscosità relativa 5 HT (%) 20 40 60 80 Se HT = 40%, la viscosità del sangue nel circolo è 5 volte quella dell’acqua

Visc apparente (cp) 10 Portata (cm3/s) 0.05 0.1 Visc apparente (cp) 4 Raggio (mm) 500

approfondimento MOTI ESTERNI La viscosità del fluido gioca un ruolo importante anche nel determinare le condizioni di moto degli oggetti immersi. I corpi che si muovono in un liquido viscoso, infatti, subiscono un’attrito proporzionale alla velocità del loro moto. Nel caso semplice di oggetti sferici di raggio r la forza di attrito Fa è data dalla legge di Stokes: Fa = 6 p  r v In generale l’effetto dell’attrito è quello di determinare un moto bifasico: inizialmente c’è un transitorio in moto accelerato, successivamente si raggiunge una condizione di equilibrio a velocità costante di deriva.

All’ equilibrio la particella è soggetta a queste forze: Forza peso: P = dVg Spinta di Archimede: S = dlVg Forza di attrito: A= 6p  r v e S + A = P e la sua velocità v= 2(d-dl)g r2/9 

nel caso della VES, sostituendo i valori v= 2(d-dl)g r2/9  Un esempio: la VELOCITA’ DI ERITROSEDIMENTAZIONE (VES) nel caso della VES, sostituendo i valori ‘normali’: r= 3.5 mm; d(glob)=1.0995 g/cm3; d(plasma)=1.0265 g/cm3, h= 0.01 cP si trova una velocità di sedimentazione pari a v= 7 mm/h ! Nel corso di processi infettivi la variazione di dimensione dei globuli comporta un aumento di v.

pompa?

Fa circolare del fluido ( Q ) in un certo circuito, dunque compie un LAVORO contro una certa pressione, in un certo tempo (POTENZA). Es: pompa per la bicicletta: Lavoro: L = F Ds = p DV Potenza: P = p DQ p Q

LA POMPA Il CUORE è la pompa che compie LAVORO per vincere gli attriti viscosi del sangue. Trattandosi di una struttura muscolare essa: * è attivata da un impulso elettrico (potenziale di azione) * può contrarsi in modo ISOTONICO e ISOMETRICO ISOTONICO: il muscolo si accorcia (fa LAVORO esterno) ISOMETRICO: il muscolo sviluppa tensione contro un carico esterno senza variare la lunghezza

Le cavità funzionano come superfici elastiche: nel caso sferico si può porre in relazione la pressione p, generata durante la contrazione, con il raggio r e con la tensione generata dalla tensione muscolare t: Se la bolla è piena di aria, è possibile aumentare la pressione al suo interno sia riducendo r (isotonicamente) sia aumentando la tensione di parete t (isometrica mente)

Dunque, considerata una bolla se la sua pressione aumenta o il suo raggio è minore oppure la tensione della sua parete è maggiore

Se la bolla è piena di acqua,è possibile aumentare la pressione tramite l’aumento della tensione t (isometricamente), ma la riduzione del volume non è possibile a causa della incompressibilità del liquido, a meno che esista una valvola che consente la fuoriuscita del liquido. Dunque la fase di contrazione e dilatazione isotonica richiede che le valvole siano aperte.

LAVORO CARDIACO: comprende quello del cuore ‘sinistro’ e ‘destro’, ma il primo è preponderante. Calcoliamo quest’ultimo: Fase 1- CONTRAZIONE ISOMETRICA: L = 0 Fase 2-CONTRAZIONE ISOTONICA: DV= Vfin-Viniz, L=pv* DV Fase 3-RILASSAMENTO ISOMETRICO: L = 0 Fase 4- RILASSAMENTO ISOTONICO: Pa = 0, L = 0 poiché pv = 100 mmHg, DV = 60 cm3 per ogni pulsazione L = 100/760 * 105 * 60 * 10-6 = 0.8 J

Aggiungendo il contributo del cuore destro, la cui pressione ventricolare è circa 1/5 di quella del cuore sinistro, e considerando che (ovviamente) la gittata è costante: Ltot = 0.8 + 0.16 = 1 J Se consideriamo una frequenza media di circa 60 battiti/min, la potenza sarà pari a: P = L/t = 1 J/1 s = 1 W (watt)

In definitiva: il lavoro del cuore A riposo vale circa 0.8 J Sotto sforzo: DV=200 cm3, pv=160 mmHg vale circa 4.2 J

Diamo i numeri…. Calcolare il lavoro cardiaco per pulsazione in un soggetto sotto sforzo in cui la frequenza cardiaca è 180 battiti/minuto, il volume pulsatorio è di 160 cm3 e la pressione media ventricolare vale 150 mmHg. Determinare anche la potenza cardiaca media. L = P DV = 150 133 Pa * 160 10 -6 m 2 = 3.2 J P = L / t = L * HR = 3.2 J * 180 / 60 s -1 = 9.6 W

Aspirazione (diastole) Espulsione (sistole) ( fig tratta da Borsa & Scannicchio, testo adottato)

‘a valvole chiuse’ = isometrica ‘a valvole aperte’ = isotonica ( fig tratta da Borsa & Scannicchio, testo adottato)

Due pompe parallele…. Di cui quella sinistra ad alta pressione e quella destra a bassa pressione (ca 1/5) ( fig tratta da Borsa & Scannicchio, testo adottato)

Che lavorano in serie…..producendo la medesima portata ( fig tratta da Borsa & Scannicchio, testo adottato)

approfondimento Nel cuore fetale, al contrario, la pompa è praticamente unica, e produce una gittata cardiaca combinata. ( fig tratta da…)

IL CIRCUITO Il ‘grande circolo’ è un insieme di distretti posti tra loro in parallelo. A partire dall’aorta si diramano le grandi arterie, che alimentano ciascun distretto. Il sangue uscente da ciascun distretto perviene alle vene cave tramite il sistema venoso.

I grandi vasi (arterie e vene) possono modulare la loro resistenza vasodilatandosi o vasocostringendosi: es: sia r il raggio di un’arteria in condizioni normali e r* quello sotto sforzo. Per la legge di Poiseuille sappiamo che: R*/R = (r/r*)4 se ad es si ha una vasodilatazione del 10 %: r*/r=1.1 allora R*/R = (1/1.1)4 = 1/1.46 dunque la resistenza diminuisce del 46% !

Diamo i numeri…. Studi su persone ipertese hanno dimostrato che la portata sanguigna è pressoché normale, calcolare quale aumento di pressione viene indotto da una restrizione del lume dei vasi all’ 80% del valore normale. Se r’= 0.8* r, allora R’ / R = (1/0.8) 4 = 2.44. Assunta una p media di 90 mmHg, si ottiene: Dp’ = R’ / R Dp = 2.44 90 = 220 mmHg

IL CIRCUITO Viceversa, per la regolazione delle resistenze del microcircolo, è essenziale l’organizzazione in parallelo dei microvasi. La regolazione, in questo caso, avviene ‘reclutando’ o ‘escludendo’ una frazione dei vasi disponibili.

-----WWWWWWWWWWWWW----- RESISTENZE IN SERIE -----WWWWWWWWWWWWW----- R1 R2 pi-pf= Rtot Q = pi-P +P-pf = R1 Q + R2 Q = (R1+R2) Q dunque Rtot= R1 + R2 WWWWWW --- ----- RESISTENZE IN PARALLELO Q = (pi-pf)/Rtot = Q1 + Q2 = (pi-pf)/R1 + (pi-pf)/R2 dunque 1/Rtot = 1/ R1 + 1/ R2

al crescere di N la resistenza totale diminuisce! Perché i piccoli vasi (che hanno maggiore resistenza) sono organizzati ‘in parallelo’? Se ci sono N vasi di uguale resistenza r 1 / Rtot = N / r dunque Rtot = r /N al crescere di N la resistenza totale diminuisce!

L’organizzazione microvascolare ‘in parallelo’ è funzionale alla riduzione della resistenza totale e all’aumento della superficie di scambio. ( fig tratta da Borsa & Scannicchio, testo adottato)

( fig tratta da Borsa & Scannicchio, testo adottato)

approfondimento L’ACCOPPIAMENTO POMPA-CIRCUITO Come in tutti i sistemi artificiali, è di fondamentale importanza che l’accoppiamento sia adeguato. Il funzionamento della pompa può essere descritto da un grafico che mette in relazione la portata Q generata dalla pompa stessa e la pressione p contro cui lavora (che i fisiologi chiamano ‘postcarico’ (curva ROSSA) p Q

Il comportamento del circuito è descritto dalla legge di Poiseuille, cioè sostanzialmente dalla resistenza R del circuito stesso.Le curve VERDE e BLU descrivono due condizioni di resistenza. p Q

Il luogo in cui le rette si incontrano è il punto di lavoro del cuore. Come si vede, se la resistenza vascolare è più elevata la portata diminuisce. C’è un’altra conseguenza importante: se R è maggiore, è maggiore la potenza spesa dal cuore per il suo funzionamento. Infatti, essendo P= L/t = p V/t = p Q p o x Q P o x

Nella realtà la funzione di pompa è più complessa, ed è regolata dalla pressione del sangue che arriva all’atrio tramite le vene (il cosiddetto ‘precarico’) dalla legge di Frank-Starling.