di Fabio Fornaciari e Fernanda Ferretti I numeri primi di Fabio Fornaciari e Fernanda Ferretti

Definizione: “Un numero primo è un numero naturale divisibile solamente per 1 e per se stesso.”

Euclide L’infinità dei numeri primi fu dimostrata da Euclide – un matematico greco – all’incirca 2300 anni fa: la ventesima proposizione del suo IX libro degli “Elementi” recita: « I numeri primi sono più di una qualsiasi assegnata moltitudine di numeri primi. » In poche parole, i numeri primi non sono in quantità finita.

Il ragionamento di Euclide è questo: supponendo per assurdo che i numeri primi siano in quantità finita, possiamo considerare il prodotto di tutti i numeri primi compreso il presunto numero primo più grande, poi aggiungiamo 1; dal momento che questo risultato n non è né primo né composto (cosa impossibile), deduciamo che la nostra prima supposizione è sbagliata.

Il crivello di Eratostene Circa un secolo dopo anche un altro matematico greco – Eratostene – si è dedicato ai numeri primi: grazie al suo crivello (parola che significa “setaccio”) riuscì ad individuare un metodo per determinare tutti i numeri primi entro un determinato limite.

Eratostene di Cirene Eratostene è nato nel 276 a.C. a Cirene e morto nel 194 a.C ad Alessandria d’Egitto. Oltre ad essere stato un grande matematico, è noto anche come astronomo e poeta. Dopo aver compiuto i suoi studi ad Alessandria e ad Atene, nel 255 a.C. si stabilì definitivamente ad Alessandria e divenne direttore della famosa Biblioteca.

Ma ritorniamo al nostro Crivello… Il crivello di Eratostene è un antico procedimento per determinare i numeri primi fino ad un certo numero n prefissato. Due rappresentazioni del Crivello di Eratostene

Crivello di Eratostene: di cosa si tratta Crivello di Eratostene: di cosa si tratta? Ricordiamo che un numero naturale > 0 è primo, se ammette solo due divisori: 1 e se stesso. Si comincia con l’elenco di tutti i numeri naturali da 2 fino al limite superiore che interessa, in questo caso 35.

Iniziamo con l’eliminare tutti i multipli di 2 (che evidentemente non sono primi!) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Poi cancelliamo i multipli di 3 non ancora eliminati nel passaggio precedente 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Poi cancelliamo i multipli di 5 non ancora eliminati nei passaggi precedenti e quando andiamo per togliere i multipli di 7 ci accorgiamo che non possiamo eliminare altri numeri! Il procedimento quindi è arrivato al termine ed i numeri che sono rimasti sono proprio i numeri primi entro 35. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

La crittografia Un’importantissima scienza matematica in cui si applicano le conoscenze sui numeri primi è la crittografia, che studia il modo di cifrare un messaggio per renderlo comprensibile soltanto a chi ne conosce la chiave. La necessità di crittografare i messaggi è nata con l’uomo, perfino Giulio Cesare ha ideato un cifrario per proteggere ciò che doveva essere assolutamente segreto.  

Ebbene, tutto ciò cosa c’entra con i numeri primi? I numeri primi sono scesi in campo solo di recente, con l’avvento dei computer e dell’informatica. Spesso i dati vengono protetti tramite complicati algoritmi; uno dei più diffusi sistemi è il RSA, che si basa sulla difficoltà di individuare un numero come prodotto di due numeri primi. Un apparecchio tedesco Lorenz Cipher, usato durante la Seconda Guerra Mondiale per codificare i messaggi dei generali