Il triangolo di Tartaglia

Cos’è il Triangolo di Tartaglia? Chi era Tartaglia? Il vero nome di Tartaglia era Niccolò Fontana; il soprannome gli fu dato per un difetto di pronuncia causato da una ferita riportata al viso durante il saccheggio di Brescia nel 1512. Essendo nato da una famiglia molto povera, non poté frequentare alcuna scuola da giovane, ma era molto fiero di essere autodidatta. Grazie alle sue capacità, poté guadagnarsi da vivere a Verona, dove fu insegnante di matematica dal 1521 e risolse l‘equazione cubica (equazione di terzo grado). Scrisse nel 1560 il "General trattato di numeri et misure", enciclopedia di matematica elementare, dove compare il famoso "triangolo di Tartaglia", applicato ai problemi di probabilità. Il triangolo era già noto prima di Tartaglia ai cinesi, e diede un importante contributo alla diffusione delle opere dei matematici antichi. Cos’è il Triangolo di Tartaglia? Il Triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica triangolare dei coefficienti binomiali, ovvero dei coefficienti dello sviluppo del binomio (a + b) elevato ad una qualsiasi potenza n.

L’applicazione principale del Triangolo di Tartaglia è nello sviluppo delle potenze di un binomio. Se, per esempio, si vuol scrivere lo sviluppo di (a + b)4 , è sufficiente andare alla quarta riga del Triangolo per trovare i coefficienti del polinomio risultante, ovvero 1, 4, 6, 4, 1. Riga Sviluppo delle potenze del binomio: (a+b)n 1 (a+b)0 = 1 1 1 (a+b)1 = 1a + 1b = a + b 2 1 2 1 (a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 3 1 3 3 1 (a+b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 4 1 4 6 4 1 (a+b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 5 1 5 10 10 5 1 (a+b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5 Possiamo notare che le parti letterali di ogni polinomio corrispondono alle cifre del Triangolo di Tartaglia. Ma questa è solo una delle tante particolarità. Vediamone alcune.

Tutti i numeri lungo il contorno sono uguali a uno. E’ anche evidente il fatto che la seconda fila, cioè quella subito dopo la fila degli uno, è data dalla sequenza di numeri naturali. La terza fila, invece, è data dai numeri “triangolari”; ma non basta: il 7° numero triangolare è il 28 (il posto lo si ricava dal numero che si trova sopra di esso a destra) e la somma dei primi 7 numeri triangolari è 84 (la casella in basso a sinistra). E’ bene ricordare che un numero triangolare è dato dalla somma di un numero naturale e di tutti i suoi precedenti. I numeri triangolari appartengono ad una categoria di numeri detti poligonali, che spiegheremo più avanti. Un’altra particolarità del Triangolo di Tartaglia è data dalla somma dei termini delle singole righe, che danno le potenze di 2: 20 = 1; 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24= 16; 25 = 32; 26 = 64; 27 = 128; 28 = 256; 29 = 512; 210 = 1024; e così via.

Altra particolarità riguarda i numeri poligonali, o figurati, e, nello specifico, i numeri tetraedrici. 1 4 10 L’ennesimo numero tetraedrico è dato dalla somma dei primi n numeri triangolari. Tn = t1 +t 2+t3 +...+tn . Esempio: T3 = 1+3+6 = 10

Nel Triangolo di Tartaglia sono presenti anche le potenze di 11: infatti, i numeri delle prime 5 righe del triangolo di Tartaglia visti come cifre danno i numeri 1, 11, 121, 1331, 14641, cioè le prime 5 potenze di 11: 110 = 1; 111 = 11; 112 = 121; 113 = 1331; 114 = 14641 A prima vista, sembra che le righe successive non siano più collegabili in qualche modo con le potenze successive di 11, ma un’analisi più attenta ha fatto "scoprire“ che è dovuto alla presenza di numeri con più cifre. Per esempio, nella 6ª riga c’è già la presenza del numero 10 due volte, nella 7ª i numeri 15 e 20, e così via. Infatti, con un gioco di somme e di riporti, partendo da una qualsiasi riga e dopo aver considerato ogni numero come composto solo da unità e decine, si riesce ad ottenere la potenza di 11 relativa a quella riga. Per intenderci, consideriamo la 10ª riga  119, dove compaiono le cifre: 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1. in ogni numero si evidenziano solo le decine e le unità: 01 09 36 84 126 126 84 36 09 01 iniziando da destra, si addizionano le decine di ogni numero con le unità del numero precedente più gli eventuali riporti. Le unità di ogni somma vanno a costituire le cifre della 9ª potenza di 11, mentre le decine sono i riporti da considerare nella somma successiva.

Nel Triangolo di Tartaglia si distinguono anche le figure “frattali”, date dalle celle dei numeri pari. In pratica, si forma una figura nota come “triangolo di Sierpinskj”, che è appunto una figura frattale. I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Esempi di frattali sono figure come queste:

Altri frattali nel Triangolo di Tartaglia: Numeri divisibili per 3. Numeri divisibili per 4. Numeri divisibili per 5.

Ovviamente, le particolarità sono molto di più, noi ci siamo limitate a dirne alcune. Cosa abbiamo capito di tutto questo? In poche parole: il Triangolo di Tartaglia è una vera e propria miniera d’oro!

Grazie per l'attenzione! Nicole Messinò Fabiola Bevacqua &