ALGEBRA algebrizzare problemi Mohamed al Kharizmi (IX sec) Equazioni di 1° e 2° grado al-jhabr Viéte (1540-1603) Indica con le lettere non solo le incognite ma anche altre quantità

XIX sec.: ALGEBRA = teoria delle equazioni algebriche Dalle idee di Galois (1811-1832) sulla teoria delle equazioni algebriche nascono : La teoria dei gruppi La teoria dei numeri algebrici

STUDIO DI SISTEMI ALGEBRICI ALGEBRA MODERNA STUDIO DI SISTEMI ALGEBRICI Insieme di regole che permettono di trattare enti diversi dai numeri: matrici, vettori, tensori…. ALGEBRA ASSIOMATICA O ASTRATTA Bertrand Russel(1872-1970): “la matematica si può definire quella materia in cui non sappiamo mai di cosa stiamo parlando, né se quello che diciamo è vero “

Partiamo da un’equazione algebrica: F(x) è detta funzione polinomiale F(x)=0 è detta equazione polinomiale

a è radice del polinomio Un numero a è soluzione dell’equazione F(x)=0 se e solo se F(a)=0 a è radice del polinomio Ad esempio: Verificare che 1 è soluzione e che – 1 non lo è Equazioni di 1° grado: x + a = 0 soluzione x = - a Equazioni di 2° grado x2 + px + q = 0 soluzioni con il metodo di completamento dl quadrato x = ………. Equazioni di grado superiore, trovare una soluzione o tutte mediante somme, prodotti, divisioni, elevamenti, estrazioni di radici sui coefficienti dell’equazione

FORMULA RISOLUTIVA EQUAZIONI DI SECONDO GRADO CON IL METODO DI COMPLETAMENTO DEL QUADRATO  

I PROTAGONISTI DEL ‘500 SCIPIONE DAL FERRO ANTONIO MARIA FLOR NICOLO’ TARTAGLIA GERONIMO CARDANO LUDOVICO FERRARI RAFAEL BOMBELLI

FORMULA RISOLUTIVA EQUAZIONI DI QUARTO GRADO LUDOVICO FERRARI 1522-1565 FORMULA RISOLUTIVA EQUAZIONI DI QUARTO GRADO

La formula di Ferrari per le quartiche La formula di Ferrari per le quartiche. Sempre nell’Ars Magna, Cardano scrive che la formula risolutiva delle equazioni di quarto grado “era dovuta a Ludovico Ferrari, che l’ha scoperta dietro mia richiesta”. Il procedimento attraverso cui si giungeva alla soluzione dell’equazione x4+px2+q=sx può essere sintetizzato in sei passaggi. Ad esempio, volendo risolvere l’equazione x4+4x2+36=60x si procede in questo modo: 1)      si aggiunge ad entrambi i membri un termine in x2 in modo da rendere il primo membro un quadrato perfetto, nel nostro caso si aggiunge 8x2, così che si ha (x2+6)2; 2)      si aggiunge in entrambi i membri una nuova incognita in modo che il primo membro rimanga un quadrato, per noi (x2+6+y)2=60x+8x2+y2+12y+2x2y ; 3)      si ottiene, al secondo membro, ordinando secondo la x, un’equazione di secondo grado che vogliamo che sia un quadrato perfetto: a tal scopo basta uguagliare a zero il discriminante; 4)      l’equazione ottenuta dal discriminante è un’equazione di terzo grado nota come la risolvente di Ferrari, risolta tramite la formula risolutiva delle equazioni cubiche; 5)      il valore della y trovato si sostituisce nell’equazione di cui al punto 2 e si estrae la radice quadrata di entrambi i membri; 6)      il risultato del quinto passaggio rappresenta un’equazione di secondo grado, facilmente risolvibile.

TEOREMA DI ABEL-RUFFINI: Equazioni di grado superiore: difficoltà insormontabili nei secoli 16°, 17°, 18°, ed inizio del 19° TEOREMA DI ABEL-RUFFINI: Non esiste una formula risolutiva per radicali delle equazioni di grado superiore al quinto Paolo Ruffini (1765-1822) Niels Abel (1802-1829)

Legame tra risoluzione e fattorizzazione Teorema di Ruffini: sia F(x) un polionmio di grado n e sia c un numero reale Allora c è radice di di F(x) se e solo se F(x)=(x – c)G(x) con degG(x)= n – 1 Diciamo che c ha nolteplicità di k, se e solo se F(x) è divisibile per (x-c)k, ma non per (x-c)k+1

Conseguenze del teorema di Ruffini Un’equazione polinomiale di grado n ha al massimo n radici, ciascuna contata con la sua molteplicità (si basa sull’annullamento del prodotto: ab=0 se e solo se a = 0 o b=0, ad esempio per le matrici non vale!) Risolvere equazioni polinomiali ha la stessa difficoltà di fattorizzare (la fattorizzazione dei polinomi è unica: in altri “mondi” non è così) Dire che non esiste nessuna formula per calcolare le soluzioni delle equazioni di grado superiore al quinto equivale ad affermare che non esiste alcun metodo per fattorizzare polinomi con deg>4: x5 – 16x + 2 = 0 ha tre soluzioni reali (visibili disegnando la funzione), ma non sono esprimibili mediante formule per radicali Se esistono soluzioni razionali siamo in grado di trovarle

La funzione y = x5 –16x + 2

Oppure possiamo pensare all’equazione polinomiale x5 – 16x + 2 =0 come al risultato dell’intersezione di y = x5 e di y = 16x – 2, anche qui vediamo le tre intersezioni che corrispondono alle tre soluzioni reali

REGOLA DI RUFFINI dove i coefficienti ai sono interi, se non lo sono facciamo il mcm. Possiamo supporre che an≠0, in caso contrario 0 è soluzione e possiamo dividere il polinomio per x Ogni soluzione b/c, dove b e c sono numeri interi senza fattori comuni, avrà la proprietà che il suo numeratore b è un divisore del termine noto an e il suo denominatore c è un divisore del coefficiente direttivo a0 . Infatti, sostituiamo b/c nell’equazione e moltiplichiamo i due membri per cn, ottenendo Raccogliamo b dai primi n addendi portando l’ultimo a secondo membro   ………………………………………………………………………………. Poiché b non ha fattori comuni con c li deve avere con an , ripetendo la stessa operazione per c si arriva a dimostrare che c deve dividere a0

Vogliamo risolvere l’equazione F(x) = 0 dove F(x) = 40x5 – 58x4 – 5x3 + 13x2 – 17x + 3 I divisori di 3 sono: I divisori di 40 sono: Posso usare solo i divisori di 40 positivi Tentiamo: 1, ½, 1/3, ……… Funziona per……, quindi F(x) = ( )G(x) dove G(x) = …………………………………. Procedendo allo stesso modo…..