geometrici di descartes Le sezioni coniche di apollonio e i Luoghi geometrici di descartes SECONDA PARTE

Renè Descartes (1596-1650) Geometrie (1637)

L’obiettivo di Cartesio era quello di trovare un linguaggio matematico per descrivere il mondo fisico

Perché Cartesio matematizza la visione del mondo?

L’aritmetica e l’algebra possono essere applicate anche alla geometria

Nelle “Geometrie (1637)” Cartesio affermava che tutti i problemi della geometria si possono ricondurre ad un’espressione

Tentava di ricostruire la matematica su premesse algebriche e non geometriche

“Dovendosi ora risolvere un qualunque problema si introducono delle denominazioni per tutte le linee che appaiono necessarie alla costruzione. Successivamente dalla reciproca dipendenza di queste linee si ha un’equazione. Occorre trovare tante equazioni quante sono le linee incognite”

Data una ellisse, la sua conica focale è una iperbole (e viceversa) giacente in un piano perpendicolare a quello della conica data, e avente vertici e fuochi rispettivamente coincidenti con i fuochi e i vertici di questa. Sull’argomento delle coniche focali è incentrato un teorema di Apollonio, che, nel libro I della sua opera, afferma: il luogo geometrico dei vertici dei coni rotondi che hanno una medesima ellisse come sezione, è l’iperbole focale dell’ellisse. Inoltre, se su uno dei rami o su rami diversi dell’iperbole focale si prendono due punti fissi e distinti A e B, e sulla ellisse un punto variabile P, è facilmente dimostrabile come le distanze PA e PB abbiano sempre differenza o somma costante.

Problema delle costruzioni indeterminate I luoghi geometrici

Problema di Pappo Date tre rette in un piano trovare la posizione di tutti i punti da cui si possono tracciare rette che intersecano le rette date n modo tale che il rettangolo contenuto da due delle due rette costruite abbia un rapporto dato con il quadrato della terza retta costruita. Se le rette fissate sono quattro allora il rettangolo contenuto da due delle due rette costruite ha un rapporto dato con il rettangolo costruito dalle altre due. SE LE RETTE SONO TRE O QUATTRO IL LUOGO GEOMETRICO GENERATO E` UNA SEZIONE DI CONO

CR . CQ = k CP2

Luogo geometrico della PARABOLA Fissate tre rette due parallele L1 ,L2 ed una perpendicolare L3 Il luogo geometrico è determinato da tutti i punti P d1d2 = ad3 EQUAZIONE CARTESIANA ay = x2 – 2ax

Dati: H appartiene a L2 K appartiene a L1 (x=2a) M appartiene a y=o L2=y; L3=x ; L1:x=4 PH=d1;PK=d2 PM=d3 Richiesta: d1d2=ad3 Dimostrazione: d1=d(P;H)=IxI d2=d(P;K)=Ix-4I a) y=1\2x*x-2x d3=d(P;M)=IyI b) y=-1\2x*x+2x d1*d2=2d3 IxI*Ix-4I=2IyI

Il luogo geometrico dell’ IPERBOLE Dato un piano cartesiano x;y si fissino tre rette chiamate L1, L2 e L3 in modo che: L1 : y=0; L2 // L1; L3 : X=0. Il luogo geometrico e’ determinato da tutti i punti P che verificano: d1 * d3=a * d2

DIMOSTRAZIONE _____ d1 = d P L1 = x di P d2 = d P L2 = x di L2 – x di P d3 = d P L3 = y di P ----------------------------------------------------------------- d1 * d3 = a * d2 | x | * | y | = a * | 2a-x | x * y = a * (2a – x) Da questa equazione si ottiene la funzione omografica di un’ iperbole con asintoti X = 0 e y = a: y = ax - 2 a2 x

Compasso a squadre scorrevoli Costruzione di una curva di secondo grado I punti della curva sono ottenuti: intersezione tra GL e KN Rotazione antioraria di GL GA= a; KL= b; NL= c costanti

Da qui si ricava l’equazione cartesiana: y²= cy- c/bxy +cy -ac L’equazione cartesiana della curva si ottiene ponendo: AB= x, CB=y GA= a; KL= b; NL= c Dai triangoli simili NKL, CBK si ha: NL:KL = CB:BK → BK= b·y /c → BL= BK- KL → BL= b·y /c -b AL= AB +BL → AL= x + b·y /c -b Dai triangoli simili AGL, CBL si ha: BC:BL = AG:AL → BC·AL = BL·AG Dall’ultima uguaglianza, sostituendo: y(x + b·y /c -b) = (b·y /c -b )a Da qui si ricava l’equazione cartesiana: y²= cy- c/bxy +cy -ac

INVILUPPI Gli inviluppi

PARABOLA Metodo della PODARIA Il vertice H di una squadra FHt è vincolato a percorrere una retta r; il lato HF della squadra è costretto a passare per il punto fisso F (esterno ad r). Quando H si muove, l'altro lato t della squadra inviluppa una parabola avente F come fuoco ed r come tangente nel proprio vertice.

Dimostrazione Sia r una retta assegnata ed F un punto esterno ad essa. H sia un punto della retta r ed h la perpendicolare ad FH in H. Dimostriamo che h inviluppa una parabola. Sia G il simmetrico di F rispetto ad H e sia GP perpendicolare a r. Si ha PF=PG. Ma LG=VF (per la congruenza dei triangoli FVH e HLG) e quindi in ogni posizione la distanza di G da r è costante e G giace sulla retta d parallela a r a distanza uguale a quella di F da r. Allora P è equidistante da F e dalla retta d e quindi appartiene alla parabola di fuoco F e direttrice d. Inoltre, essendo uguali gli angoli FPH e HPG, h è tangente alla parabola in P.

Metodo per CORRISPONDENZA Data la funzione y = - x, rappresentiamo il suo dominio su un asse r (origine O) e il codominio su un asse r'(origine O'; r ed r' complanari); ogni punto del dominio viene congiunto con il corrispondente nel codominio. Le rette congiungenti formano un inviluppo. Quando r ed r' sono parallele, i segmenti XY si incontrano in un punto (degenerazione della curva inviluppo), altrimenti inviluppano una parabola. Cambiando la posizione della retta r' è possibile osservare come varia la forma dell'inviluppo.

Dimostrazione Siano x ed y’ due rette incidenti , O ed O’ due punti fissati ad ugual distanza da A (origini dei sistemi di riferimento sulla rette x e y) ed OX e O’Y due segmenti di ugual lunghezza (X e Y punti corrispondenti nella y = - x) . Sia h l’asse del segmento XY (il punto medio H di XY giace sempre su OO’: per la dimostrazione condurre da X e Y le parallele a OO’ e applicare il teorema di Talete) e k l’asse del segmento OO’ e sia F il loro punto di intersezione. Sia X’ il simmetrico di X rispetto ad O. Si ha : FY=FX=FX’, i triangoli FOX e FOX’ sono uguali ed FO è perpendicolare ad AO in O. La posizione di F quindi non varia e la retta passante per X e Y inviluppa una parabola (parabola inviluppo: metodo della podaria). Cambiando il sistema di riferimento sulla retta y', (nuova origine O"), osserviamo che la trasformazione che fa corrispondere al triangolo OAO’ il triangolo OAO" è una omologia affine di asse x, pertanto i segmenti XY inviluppano ancora una parabola

  Metodo della POLARE OA e OB sono due aste di ugual lunghezza nei cui estremi A e B sono incernierati i punti medi delle aste PC e PD (di ugual lunghezza) . Il punto P mediante l'asta PM è vincolato a percorrere la circonferenza di centro M passante per O. L'asta CD che rappresenta la polare di P rispetto alla circonferenza di centro O e raggio  , inviluppa una parabola.

Dimostrazione Quando P percorre la circonferenza   , il suo corrispondente Q nell'inversione circolare rispetto alla circonferenza   (centro O e raggio   percorre la retta r, perpendicolare ad OM (proprietà della inversione circolare). Per ogni posizione di P, i punti P e Q sono allineati con O . La retta CD, essendo in ogni posizione perpendicolare a QO, è tangente ad una parabola (avente asse di simmetria coincidente con OM, vertice sulla retta r e fuoco nel punto O) di cui r è la podaria.

Ellisse – Metodo della PODARIA DIMOSTRAZIONE: Sia H un punto di una circonferenza di centro O ed F1 un punto interno alla circonferenza. HG sia la corda passante per F1 e t la sua perpendicolare in H. Dimostriamo che t inviluppa una ellisse. Sia F2 il simmetrico di F1 rispetto ad O e sia K l'ulteriore punto di intersezione della retta t con la circonferenza. K e G sono estremi di un diametro e KF2 è parallelo a GH (per simmetria rispetto ad O). Sia LF1 parallela a GK. Sia P il punto di intersezione fra LF1 e HK. Si ha: LK=KF2 e PL=PF2 (simmetria rispetto a PK) . F1P+PF2=F1P+PL=F1L=GK=2r Quindi P appartiene all'ellisse di centro O, fuochi F1 ed F2 ed asse maggiore uguale a 2r. Inoltre poichè gli angoli HPF1 e KPF2 sono uguali, t è tangente alla ellisse in P.

Metodo della POLARE DIMOSTRAZIONE Quando P percorre la circonferenza gamma1, il punto Q, corrispondente di P nell'inversione circolare, percorre una circonferenza gamma2, omotetica di gamma rispetto ad O. Se O è interno a gamma2, è anche interno a gamma1. Per ogni posizione di Q su gamma1 , la retta CD è perpendicolare a OQ quindi è tangente ad una ellisse, di cui la circonferenza percorsa da Q è la podaria rispetto ad un fuoco (O).

Metodo per CORRISPONDENZA Data la funzione y=1/x rappresentiamo il suo dominio su un asse r (origine O) e il suo codominio su un asse r' (origine O') parallelo ad r. Congiungiamo ogni punto del dominio con il suo corrispondente nel codominio. Le congiungenti inviluppano una ellisse. È possibile variare la distanza fra le rette r ed r' e la posizione di O' su r' per osservare come si trasforma l'ellisse inviluppo.

Dimostrazione Siano r ed r' due rette parallele ed O e O', origini dei sistemi di riferimento, su una perpendicolare alle due rette. Sia X l'estremo di un segmento di lunghezza x e OA e AB siano due segmenti di lunghezza unitaria posti sulla OO'. Sia AZ perpendicolare ad AX e BZ parallelo ad OX. Allora BZ ha lunghezza 1/x. Il triangolo rettangolo XAZ ha altezza costante e uguale ad 1 e i segmenti ZX inviluppano la circonferenza di centro A e raggio 1. L'omologia affine di asse r, direzione dei raggi perpendicolare ad r e rapporto O'O/BO fa corrispondere al punto Z il punto Y (corrispondente di X nella y=1/x) e trasforma la circonferenza inviluppo dei segmenti XZ in una ellisse E inviluppo dei segmenti XY. Applicando ad r' una qualsiasi traslazione la curva E' inviluppata è ancora una ellisse. Infatti E ed E' si corrispondono in una omologia affine di asse r.

Iperbole - Metodo della Podaria Il vertice H di una squadra LHM (LHM angolo retto) è vincolato a percorrere una circonferenza, un lato della squadra è costretto a passare per un punto   fissato nel piano ed esterno alla circonferenza. Quando H descrive la circonferenza l'altro lato HM della squadra inviluppa una iperbole avente   come fuoco e asse reale uguale al diametro della circonferenza.

Dimostrazione Metodo per la costruzione dell'inviluppo. Sia H un punto di una circonferenza di centro O ed  un punto esterno alla circonferenza. HG sia la corda passante per   e t la sua perpendicolare in H. Dimostriamo che t inviluppa una iperbole. Sia  il simmetrico di  rispetto ad O e sia K l'ulteriore punto di intersezione della retta t con la circonferenza. K e G sono estremi di un diametro e  è parallelo a GH (per simmetria rispetto ad O). Sia   parallela a GK. Sia P il punto di intersezione fra   e HK. Si ha:LK=  PL=  (simmetria rispetto a PK)  . Quindi P appartiene all'iperbole di centro O, fuochi   ed   ed asse maggiore uguale a 2r. Inoltre poichè gli angoli   e   sono uguali, t è tangente alla iperbole in P.

Metodo della POLARE OA QBP è un inversore di Peaucellier, i punti A e B sono i punti medi delle aste PCe PD.Il punto P mediante l'asta PM è vincolato a percorrere la circonferenza g di centro M e di raggio r<OM. L'asta CD che rappresenta la polare di P rispetto alla ciconferenza di centro O e raggio   inviluppa una iperbole.

Dimostrazione Quando P percorre la circonferenza  , il punto Q, corrispondente di P nell'inversione circolare, percorre una circonferenza  , omotetica di    rispetto ad O  (proprietà della inversione circolare). Se O è esterno a  , è anche esterno a  . Per ogni posizione di Q su  , la retta CD è perpendicolare a OQ quindi è tangente ad una iperbole, di cui la circonferenza  percorsa da Q è la podaria rispetto ad un fuoco (O).