corso DI GEOMETRIA DESCRITTIVA Modulo didattico Omologia A Cura della prof.ssa Domenica Dinoia

Si definisce Omologia il prodotto di una doppia prospettività Si definisce Omologia il prodotto di una doppia prospettività. L'immagine di un immagine. La situazione descritta può essere validamente verificata guardando la foto di un oggetto con la sua ombra. Questa osservazione permetterà di verificare che al variare del centro della proiezione (sole) cambia l'immagine ottenuta (ombra)  e viceversa, pur restando immutata la corrispondenza biunivoca tra oggetto reale nello spazio e sua immagine bidimensionale In altri termini, è la relazione di corrispondenza biunivoca tra punti di due figure generiche, nella condizione in cui, tali figure, sono state ottenute come proiezioni, sullo stesso piano o su due piani sovrapposti, e da due centri distinti, di una stessa figura.

Prospettività Due figure piane si dicono corrispondenti quando derivano l'una dall'altra, mediante una operazione di proiezione. Siano dati due piani π e π’ non paralleli fra loro e un centro C di proiezione fuori di essi. Ad ogni punto del piano π proiettato dal centro C corrisponde sul piano π' uno e un solo punto

Tra i due piani intercorre una corrispondenza biunivoca senza eccezioni: infatti, fissando sul piano π il punto A, si ottiene come sua proiezione sul piano π' il punto A' e viceversa. I punti A e A' sono legati da una prospettività di centro C. Se si sposta il punto A lungo la retta r, il suo corrispondente A' descrive sul piano π' la retta r'; le due rette hanno in comune un punto nell'intersezione tra i due piani (D= D' punto unito. Tale retta prende il nome di retta dei punti uniti o asse della prospettività; inoltre il punto all'infinito P∞ della retta r ha come corrispondente il punto finito P ' sulla retta r‘.Coppie di punti corrispondenti (A e A‘) sono allineati con il centro C della prospettività; coppie di rette corrispondenti (r e r') si incontrano sull’asse della prospettività (retta u, luogo dei punti uniti e intersezione dei piani π e π').

Un caso particolare di prospettività si verifica nel ribaltamento di due piani. Siano dati i piani π e π‘: facendo ruotare il piano π intorno alla retta di intersezione dei due piani (u), fino portarlo a sovrapporsi al piano π', si può osservare che nella rotazione un punto A del piano π si porta sul punto A' del piano π' e analogamente avviene per tutti gli altri punti del piano π. Poiché ad ogni punto di un piano corrisponde uno e un solo punto sull'altro piano, si può parlare di corrispondenza biunivoca tra i punti dei due piani anche nel caso di ribaltamento. L’asse della prospettività sarà la retta di intersezione dei due piani, mentre il centro della prospettività sarà un punto improprio con direzione ortogonale al piano bisettore dell’angolo formato tra i due piani.

Considerati nello spazio proiettivo due piani π e π' sovrapposti e coincidenti e un terzo piano π° non parallelo ad essi, fissati due centri di proiezione C e C' è possibile costruire una prospettività (corrispondenza biunivoca) tra i punti dei piani π e π'. Proiettando, infatti, il punto A del piano π da C su π°, si ottiene il punto A°; tra il punto A e il punto A° intercorre una corrispondenza biunivoca di centro C (prima prospettività di centro C asse u). Proiettando quindi il punto A° del piano π° dal centro C' sul piano π', si ottiene il punto A‘ (seconda prospettività di centro C’ asse u); pertanto, fissato il punto A (nella prospettività di centro C e C’) è univocamente determinato il punto A‘. . La relazione geometrica tra le due immagini del punto A e A’, a seguito di due proiezioni distinte, da due centri di proiezione diversi C ed C’ esterni al piano si dice omologia.

PROPRIETA’ DELL’OMOLOGIA Rette corrispondenti si incontrano sull'asse dell'omologia u (retta di intersezione tra i piani π e π0 - retta unita - luogo dei punti uniti); punti corrispondenti sono allineati con il centro dell'omologia U (punto di intersezione della retta congiungente i due centri di proiezione con il piano π). Una prospettività che abbia le proprietà sopra illustrate prende il nome di omologia e poiché dette proprietà si riscontrano solo nelle figure piane viene detta anche omologia piana. Una omologia risulta individuata quando, in un piano, sono assegnati il centro C dell'omologia, il suo asse e una coppia di punti corrispondenti (oppure una coppia di rette corrispondenti).

Omologia di ribaltamento Uno dei casi che si incontra con frequenza è dato da due piani sovrapposti (π =π’), il piano π0 e due centri di proiezione C∞ e C’∞ (impropri, disposti all'infinito, in posizione ortogonale rispettivamente al piano π = π’ e al piano bisettore del diedro formato dai piani π e π0). Proiettando un punto A0 del piano π0 dal centro improprio C∞ sul piano π; si ottiene il punto A; proiettando poi lo stesso punto A0 dal centro C’∞ si ottiene il punto A'; sì dice allora che i punti A e A' sono legati da una corrispondenza biunivoca di centro C∞ e C’∞. Omologia di ribaltamento

Casi particolari di omologia Le proprietà dell'omologia, che potrebbero risultare solo teoriche, rivestono nella pratica una notevole importanza, potendosi utilizzare in tutti i metodi della rappresentazione e consentendo di svolgere tutte le operazioni grafiche sul piano del disegno, senza ricorrere alla collocazione spaziale degli oggetti. Al variare della posizione reciproca tra i piani e i centri di proiezione, possono presentarsi alcuni casi particolari, che non modificano le proprietà proiettive. Si possono distinguere: Omologia affine o affinità omologica: centro improprio, asse proprio. Omotetia: centro proprio, asse improprio. Congruenza o traslazione: centro improprio, asse improprio

L’omologia affine 1) Omologia affine o affinità omologica Centro improprio S∞, asse proprio s, punti corrispondenti A e A’ Si verifica quando la retta congiungente O e O’ è parallela alla giacitura dei ai piani π e π’ o quando entrambi i centri sono impropri

Triangolo affine

L’omotetia 2) Omotetia Centro proprio S, asse improprio s∞, punti corrispondenti A e A’ Si verifica quando il piano π0 di prospettività è // a π = π’. Rette corrispondenti sono parallele tra loro. Conserva il parallelismo tra rette e lascia invariati gli angoli.

Se i punti si trovano dalla stessa parte rispetto al centro si chiama Omotetia diretta. Se i punti si trovano dalla parte opposta rispetto al centro si chiama Omotetia Se i punti si trovano dalla stessa parte rispetto al centro si chiama Omotetia diretta. Se i punti si trovano dalla parte opposta rispetto al centro si chiama Omotetia Se i punti si trovano dalla stessa parte rispetto al centro si chiama Omotetia diretta. Se i punti si trovano dalla parte opposta rispetto al centro si chiama Omotetia

Congruenza 3) Congruenza o traslazione Centro improprio S∞, asse improprio s∞, punti corrispondenti A e A’ Si verifica quando la retta congiungente O e O’ è parallela alla giacitura dei ai piani π e π’ o quando entrambi i centri sono impropri ed il piano di prospettività è // a π = π’. Conserva il parallelismo tra rette, lascia invariati gli angoli e la grandezza dei segmenti

Retta limite Facendo passare per il Centro dell'Omologia una retta proiettante parallela alla retta oggettiva, otterremo, nell'intersezione con il quadro il punto limite della retta. Ripetendo l'operazione per tutte le rette che appartengono al piano Alfa si otterrà che per il centro dell'omologia passerà un piano parallelo al piano Alfa che  determinerà, nell'intersezione con il quadro una retta che si definisce retta limite ed è , per costruzione  parallela alla traccia di Gamma sul Quadro.  La retta limite, quindi, rappresenta  il luogo geometrico di tutti i punti limite di tutte le rette appartenenti al piano Alfa. Conseguenza di quanto in precedenza e che: - quando bisogna determinare l'immagine di una retta, in assenza di altri elementi, è sempre possibile e sufficiente procedere alla determinazione della Traccia e della Retta limite del piano al quale appartiene la retta della quale vogliamo determinare l'immagine.  La retta limite e la traccia di un piano (asse dell’omologia ) sono sempre parallele tra loro.

BIBLIOGRAFIA Mario Docci, Manuale di Disegno Architettonico editori Laterza U. Saccardi, Applicazioni di Geometria Descrittiva. Lef, Firenze G. Martini, Fondamenti di Geometria Descrittiva ed. Clitt D. Nannoni, Geometria Prospettiva Progetto, Cappelli Editore