Bartoletti Andrea Cocchiaro Samuele Fedele Lia Rossi Micaela IL MOTO E LE SUE LEGGI Gruppo: Bartoletti Andrea Cocchiaro Samuele Fedele Lia Rossi Micaela

CINEMATICA : descrizione dei moti a prescindere dalle cause di essi; È LA BRANCA DELLA FISICA CHE SI OCCUPA DEI MOTI DEI CORPI E DELLE FORZE CHE NE SONO RESPONSABILI. LA MECCANICA CINEMATICA : descrizione dei moti a prescindere dalle cause di essi; STATICA : studio delle condizioni di equilibrio, ovvero le condizioni necessarie affinché un corpo, inizialmente in quiete, resti in quiete anche dopo l’intervento di azioni esterne dette forze ; DINAMICA : ricerca l’equazione del moto di un corpo, note le forze che su di esso agiscono e che quindi sono causa del moto stesso . SI DIVIDE IN:

IL MOTO In cinematica si dice che un corpo si muove quando la sua posizione rispetto ad altri corpi, considerati come fissi, varia nel tempo. Il concetto di moto è RELATIVO cioè dipende dalla scelta di un determinato SISTEMA DI RIFERIMENTO. Per descrivere il moto di un corpo si fa ricorso alle grandezze cinematiche: - SPOSTAMENTO -VELOCITA’ -ACCELERAZIONE.

LO SPOSTAMENTO E’ il cambiamento di posizione tra due punti , a differenza della TRAIETTORIA che invece tiene conto di tutte le posizioni occupate in istanti di tempo successivi. In generale lo spostamento è una grandezza vettoriale. Spostamento traiettoria

LA VELOCITA’ Il rapporto tra la variazione della posizione e l’intervallo di tempo che viene impiegato a percorrere tale distanza è chiamato VELOCITA’ MEDIA ( 𝒗 𝒎 ): 𝑣 𝑚= ∆𝑥 ∆𝑡 Se prendiamo un ∆𝑡 ( 𝑡 2 − 𝑡 1 ) sempre più piccolo, a questo corrisponderà un ∆s ( 𝑥 2 − 𝑥 1 ) sempre più piccolo e il rapporto rimarrà un numero finito; parliamo in tal caso di VELOCITA’ ISTANTANEA.

MOTO RETTILINEO UNIFORME Il moto rettilineo è il più semplice moto che è possibile studiare. Nel moto rettilineo il corpo (approssimato da un punto materiale) può muoversi esclusivamente lungo una retta: un esempio intuitivo è quello di una macchina che viaggia lungo una strada dritta. Un corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme se mantiene una velocità costante in modulo, direzione e verso. Più in generale si dice che il corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme se nel percorrere una traiettoria rettilinea copre spazi uguali in tempi uguali. Siano: 𝑠  lo spazio; 𝑣  la velocità; t il tempo, ed indicando con Δ l'incremento, si ha: ∆ 𝑠 = 𝑣 ∆𝑡 Esplicitando la velocità, otteniamo l'espressione classica: 𝑣 = ∆ 𝑠 ∆𝑡 Nel SI (Sistema Internazionale) la velocità si misura in  𝑚 𝑠 .

Legge oraria del moto uniforme La legge oraria del moto rettilineo ed uniforme esplicita la posizione del corpo in ogni istante ed è indicata come 𝑠 = 𝑠 0 + 𝑣 (𝑡− 𝑡 0 ) Dove 𝑠 è lo spazio nell’istante 𝑡 in cui si studia il fenomeno, mentre 𝑠 0 è lo spazio rispetto a un punto di riferimento all’istante iniziale 𝑡 0 . Rappresentazione geometrica Se la velocità è costante nel tempo, allora il diagramma cartesiano velocità/tempo sarà una retta parallela all'asse delle ascisse. Lo spazio invece, dalla definizione discendente dalla legge oraria, altro non è che una retta. Il diagramma cartesiano spazio/tempo è allora una retta che taglia le ordinate in so ed avente coefficiente angolare pari alla velocità.

L’ ACCELERAZIONE 𝑎 𝑚 = ∆𝑣 ∆𝑡 Se 𝑣 1 e 𝑣 2 sono velocità scalari di un punto materiale in due istanti successivi 𝑡 1 e 𝑡 2 , l’ ACCELERAZIONE MEDIA ( 𝑎 𝑚 ) nell’intervallo di tempo ∆𝑡= 𝑡 2 − 𝑡 1 è il rapporto fra la variazione ∆𝑣 = 𝑣 2 – 𝑣 1 della velocità e l’intervallo di tempo stesso: 𝑎 𝑚 = ∆𝑣 ∆𝑡 Si dice ACCELERAZIONE ISTANTANEA in un istante t l’accelerazione media calcolata in un intervallo di tempo ∆𝑡 comprendente l’istante considerato e molto piccolo rispetto alla durata del moto. L’accelerazione si misura in 𝑚/ 𝑠 2 .

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Quando un moto si svolge con accelerazione costante, si dice moto uniformemente accelerato e il relativo grafico velocità-tempo è una retta. La pendenza del grafico rappresenta il valore dell’accelerazione. Se la traiettoria del moto è rettilinea si parla di MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO. Legge oraria del moto… Se 𝑎 è l’accelerazione scalare rispetto alla retta orientata 𝑂𝑠 lungo cui si svolge il moto, e 𝑣 0 è la velocità scalare nell’istante 𝑡=0, la velocità scalare 𝑣 in funzione del tempo 𝑡 è 𝑣= 𝑣 0 +𝑎𝑡 Se la coordinata del punto materiale in 𝑡=0 è 𝑠 0 ,la sua coordinata 𝑠 in funzione di 𝑡 è 𝑠= 𝑠 0 + 𝑣 0 𝑡+ 1 2 𝑎 𝑡 2

Lo spostamento nel grafico velocità-tempo Nel diagramma velocità-tempo del moto uniforme si ha una retta orizzontale poichè la velocità è costante. Da qui la legge del moto uniforme: ∆𝑠=𝑣𝑡, il prodotto tra 𝑣 e 𝑡 rappresenta l’area della superficie compresa tra il grafico e l’asse dei tempi. Nel moto uniformemente accelerato con partenza da fermo, si ha invece una retta inclinata passante per l’origine. In questo caso la superficie considerata è quella di un triangolo. Essendo la velocità uguale al prodotto tra accelerazione e tempo, la superficie del triangolo sarà pari a ∆𝑠= 1 2 𝑎 𝑡 2 Lo spostamento nel grafico velocità-tempo

… Nel moto uniformemente accelerato con partenza in velocità nel grafico velocità-tempo lo spostamento è rappresentato dall’area della porzione di piano cartesiano compresa sotto la retta fino all’istante 𝑡, cioè dall’area del trapezio rettangolo di base minore 𝑣 0 , base maggiore 𝑣= 𝑣 0 +𝑎𝑡 e altezza 𝑡, si trova così: ∆𝑠= 𝑣 0 𝑡+ 1 2 𝑎 𝑡 2

Un esempio di moto uniformemente accelerato…. CORPI IN CADUTA LIBERA Lanciando un oggetto verso l’alto o verso il basso, considerata trascurabile la resistenza dell’aria, si troverà che la sua accelerazione verso il basso ha un particolare valore ben definito, identificato con il simbolo 𝑔, che è chiamato ACCELERAZIONE DI CADUTA LIBERA, la quale è indipendente dalle caratteristiche dell’oggetto e assume il valore medio di 9.81 𝑚/ 𝑠 2 .

Caduta da fermo 𝑣=𝑔 𝑡 𝑠= 1 2 𝑔 𝑡 2 Fissata una retta verticale Os orientata orientata verso il basso, con l’origine coincidente con la posizione iniziale dell’oggetto. La velocità scalare v del corpo e la distanza 𝑠 da essa percorsa dopo un tempo 𝑡 sono espresse dalle relazioni: 𝑣=𝑔 𝑡 𝑠= 1 2 𝑔 𝑡 2 Durante la caduta il corpo assume una velocità che aumenta di 9.81 𝑚/𝑠 ogni secondo.

Lancio verticale verso l’alto Supponiamo ora che il corpo sia lanciato verticalmente verso l’alto con una certa velocità iniziale, e fissiamo sempre un retta Os orientata verso l’alto, con origine nel punto di lancio. Rispetto a Os, la velocità scalare iniziale 𝑣 0 è positiva. L’accelerazione scalare di gravità, indicata con −𝑔, è negativa. La velocità scalare v del corpo e la distanza da esso percorsa dopo un tempo t sono: 𝑣= 𝑣 0 −𝑔 𝑡 𝑠= 𝑣 0 𝑡 − 1 2 𝑔 𝑡 2 Mentre l’oggetto sale, la sua velocità diminuisce di 9.81 𝑚/𝑠 ogni secondo fino ad annullarsi. Quindi il corpo inverte la direzione del moto e cade riacquistando velocità, sempre al ritmo di 9.81 𝑚/𝑠 ogni secondo .

IL MOTO DEL PROIETTILE Il moto del proiettile è un moto piano dato dalla composizione di due moti differenti: uno, lungo un asse (quello parallelo alla Terra), rettilineo uniforme, l’altro, lungo l’asse perpendicolare (la direzione dell’accelerazione gravitazionale), uniformemente accelerato. Questo tipo particolare di moto, detto anche parabolico, può essere scomposto lungo due assi privilegiati e studiato in maniera molto semplice.

L’equazione del moto del proiettile Il primo passaggio per ricavare l’equazione del moto del proiettile consiste nell’individuare le equazioni dei moti lungo i due assi privilegiati prima citati, esse sono: 𝑥 𝑡 = 𝑥 0 + 𝑣 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑦 0 + 𝑣 𝑦 𝑡+ 1 2 𝑔 𝑡 2 Trattandosi di un sistema è possibile calcolare la variabile temporale nella prima equazione e sostituirla nella seconda. Dunque… 𝑥 𝑡 = 𝑥 0 + 𝑣 𝑥 𝑡 →𝒕= 𝒙− 𝒙 𝟎 𝒗 𝒙 𝑦 𝑥 = 𝑦 0 + 𝑣 𝑦 𝑥− 𝑥 0 𝑣 𝑥 + 1 2 𝑔 𝑥− 𝑥 0 𝑣 𝑥 2

L’equazione appena trovata, nella variabile x, è l’equazione di una parabola. L’equazione può essere resa più semplice se si fa riferimento all’angolo formato dalla velocità iniziale con l’asse delle ascisse; si ha infatti: 𝑣 𝑥 =𝑣 cos 𝛼; 𝑣 𝑦 =𝑣 sin 𝛼 𝑦 𝑥 = 𝑦 0 + 𝑥− 𝑥 0 tan 𝛼 + 1 2 𝑔 𝑥− 𝑥 0 𝑣 cos 𝛼 2 Svolgendo tutti i calcoli l’equazione prende la seguente forma: 𝑦 𝑡 = 1 2 𝑔 𝑣 2 cos 2 𝛼 𝑥 2 + tan 𝛼− 𝑥 0 𝑔 𝑣 2 cos 2 𝛼 𝑥+ 𝑥 0 2 𝑔 𝑣 2 cos 2 𝛼 − 𝑥 0 tan 𝛼+𝑦 L’equazione sembra piuttosto complicata; tuttavia c’è da dire che, trattandosi della descrizione di un fenomeno fisico, essa perde di validità in due casi: 1. prima che il proiettile venga sparato; 2. dopo che il proiettile ha toccato terra. Pertanto, per semplificare l’equazione, si è soliti far coincidere il punto d’inizio del moto con un punto di ascissa nulla, per cui l’equazione diventa semplicemente: 𝑦 𝑥 = 1 2 𝑔 𝑣 2 cos 2 𝛼 𝑥 2 +𝑥 tan 𝛼 + 𝑦 0 dove: 𝑔= -9.81 𝑚/ 𝑠 2 è l’accelerazione di gravità (con il segno meno se l’asse y è orientato verso l’alto; 𝑣 rappresenta il modulo della velocità iniziale (totale, cioè non proiettata lungo gli assi); 𝛼 è l’angolo che la velocità iniziale forma con il semiasse positivo delle ascisse; 𝑦 0 è la quota da cui parte il moto.

Applicazioni della formula Da questa formula si possono inoltre ricavare diversi altri valori come la velocità di moto e l' angolo della parabola e si può inoltre risalire alla formula per calcolare la gittata. La gittata è la distanza tra l’origine della traiettoria e il punto in cui la traiettoria incontra l’orizzonte dell’arma, ossia la distanza tra l’origine della traiettoria e il punto in cui il proiettile passa per la stessa altezza del punto di lancio. Pertanto, per calcolare la gittata è sufficiente impostare il valore della variabile y uguale a quello dell’altezza di lancio, per cui si trova: 𝑦 𝑥 = 1 2 𝑔 𝑣 2 cos 2 𝛼 𝑥 2 +𝑥 tan 𝛼 + 𝑦 0 → 1 2 𝑔 𝑣 2 cos 2 𝛼 𝑥 2 +𝑥 tan 𝛼 =0 → 𝑥 1 2 𝑔 𝑣 2 cos 2 𝛼 𝑥+ tan 𝛼 =0 𝒙 𝟏 =𝟎 𝒙 𝟐 =− 𝑣 2 cos 2 𝛼 tan 𝛼 𝑔 =− 𝑣 2 cos 𝛼 sin 𝛼 𝑔 =− 𝒗 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝜶 𝟐𝒈

FINE