GIOCHI LOGICI per fare MATEMATICA A cura di Simona Lanfranchi Scuola Media l.r. paritaria “Caterina Cittadini” di Calolziocorte Gruppo di Ricerca sull’Uso del Gioco nella Didattica della Matematica (Università Statale di Milano)

indice  introduzione  obiettivi  metodologia  documentazione  materiali  bibliografia USCITA

INTRODUZIONE Il kit multimediale che il lettore si accinge a consultare è rivolto principalmente agli insegnanti di matematica di scuola secondaria di primo grado e, indirettamente, ai loro alunni. Esso: si inserisce in una delle aree tematiche indicate dal Progetto SeT; si basa sulla convinzione che l’uso del gioco logico - matematico sia uno strumento efficace per fare un’esperienza significativa di matematica; illustra e documenta l’attività didattica, svolta da insegnanti che utilizzano regolarmente il gioco matematico nella propria programmazione disciplinare, fornendo il materiale per riproporla in autonomia. INDICE

Il Progetto Speciale per l'Educazione Scientifico - Tecnologica (Progetto SeT) si propone di favorire una crescita complessiva della cultura scientifico – tecnologica, migliorando la qualità dell'insegnamento, perseguendo alcuni obiettivi specifici. Il Progetto SeT segnala alcune aree tematiche individuate come particolarmente importanti sia per la loro valenza concettuale sia per la loro rilevanza sociale. Il lavoro ipertestuale che state consultando si inserisce nelle aree denominate “Dimostrazione e modelli” e “Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie”. In esso fare matematica diventa fare laboratorio di matematica, cioè fornire un contesto pratico in cui applicare il metodo scientifico alla matematica, mediante l'osservazione, la formulazione di ipotesi risolutive, la loro sperimentazione e valutazione, la formalizzazione e la generalizzazione. INDICE

OBIETTIVI del PROGETTO SeT Gli obiettivi del Progetto SeT sono: a) potenziare la cultura scientifico - tecnologica degli studenti; b) accrescere la qualità dell'insegnamento scientifico – tecnologico; c) migliorare l'organizzazione dell'insegnamento scientifico – tecnologico; d) sviluppare la professionalità degli insegnanti. In particolare le scuole che partecipano al progetto ricevono risorse per: - migliorare le strutture e l'organizzazione didattica dell'insegnamento scientifico - tecnologico; - creare servizi, azioni di sostegno e opportunità formative per gli insegnanti; - coinvolgere le diverse organizzazioni interessate allo sviluppo della scienza e della tecnologia: istituti di ricerca, musei, enti e servizi destinati alla protezione dell'ambiente e della salute, imprese industriali.

AREE TEMATICHE del Progetto SeT Processi di cambiamento e trasformazione; Stabilità e instabilità dei sistemi; I linguaggi della scienza e della tecnica; Struttura: forma e funzione; Misura, elaborazione e rappresentazione: strumenti e tecnologie per conoscere; I materiali; Energia: trasformazioni, impieghi, fonti primarie; Informazione e comunicazione; Microcosmo e macrocosmo; Dimostrazione e modelli; Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie; La scienza del vivere quotidiano; Tecnologie della vita; Ambiente e tecnologia; I grandi fenomeni naturali.

Sono un’insegnante di matematica convinta che… fare matematica sia divertente! E penso che i miei alunni abbiano il diritto di essere resi partecipi di questo piacere. Credo che, nella scuola dell’autonomia, un insegnante debba avere il coraggio di compiere scelte “scomode e innovative” per: - confrontarsi con gli alunni sul terreno della scoperta, della discussione su problemi di cui non si conoscono in anticipo procedimenti e tecniche di soluzione; - lasciare libero sfogo alle capacità logiche, all’intuizione, alla fantasia. L’importanza dell’aspetto ludico della matematica è riconosciuta anche dalla commissione ministeriale incaricata di studiare e riformulare i programmi nazionali previsti dalla riforma Moratti (Legge 53, 28 marzo 2003). INDICE

- cerca strategie diverse e ne valuta l’efficacia; Il gioco matematico è uno strumento che può risultare molto efficace nello studio della matematica sia per stimolare la ricerca e l’acquisizione di nuove conoscenze e strategie sia per modificare gli atteggiamenti verso questa disciplina, generalmente definita antipatica, noiosa, scomoda, difficile... Chiunque si cimenta nella risoluzione di un gioco matematico innesca una serie di atteggiamenti e comportamenti tipici del ricercatore e dello scienziato: - cerca strategie diverse e ne valuta l’efficacia; - trasforma il linguaggio comune in linguaggio matematico; - schematizza situazioni con grafi, tabelle, disegni; - inventa e usa simboli nuovi; - scopre analogie con altri problemi; - ne inventa di nuovi che sfruttano le stesse strategie; - costruisce modelli matematici … e molti altri ancora. INDICE

Inoltre, sfruttando una buona dose di sano agonismo e di spirito di collaborazione, si possono raggiungere risultati insperati in termini educativi. Fare matematica attraverso la cosiddetta MATEMATICA RICREATIVA aiuta ad accrescere la fiducia nelle proprie capacità e diminuisce l’avversione anche verso quella tradizionale. In effetti, sentirsi padroni di un gioco e della sua strategia risolutiva dà soddisfazione, stimola la creatività e consolida la conoscenza di un ragionamento che si potrà ripetere in situazioni analoghe. Un altro risultato per nulla scontato e banale è che il gioco fa parlare di matematica anche fuori dalle scuole e non solo per lamentarsi di quanto la lezione sia stata noiosa o l’argomento difficile o l’esito della verifica deludente, ma per sfidare, divertendosi, i propri genitori e gli amici su temi matematici. INDICE

IL GIOCO MATEMATICO Ma cosa si intende per gioco matematico? Cito il presidente della Federazione francese di giochi matematici, Michel Criton, il quale sostiene che “un buon gioco matematico deve godere di tre caratteristiche: - un gioco matematico deve essere accessibile al maggior numero di persone possibili (nel senso che non deve richiedere la conoscenza di nessuna teoria e di nessun linguaggio matematico particolarmente impegnativo); - il suo enunciato, formulato nel linguaggio corrente, deve intrigare, sorprendere, porre una sfida al lettore, suscitando curiosità e voglia di fermarsi a pensare; - la sua risoluzione deve divertire, piacere, dare soddisfazione a colui che la raggiunge, stupire per la sua semplicità ed eleganza.”

la documentazione relativa a giochi testati nelle classi; In particolare nel kit troverete: - nella sezione METODOLOGIA … le indicazioni metodologiche relative all’esecuzione dei giochi matematici con i ragazzi; - nella sezione DOCUMENTAZIONE … la documentazione relativa a giochi testati nelle classi; - nella sezione MATERIALI … la possibilità di scaricare il materiale necessario per lo svolgimento e la documentazione di alcuni giochi. INDICE

obiettivi Con il gioco matematico è possibile perseguire obiettivi di tipo educativo, che, insiemi agli obiettivi strettamente didattici, fanno parte dell’azione educativa di qualsiasi insegnante. OBIETTIVI EDUCATIVI sviluppare responsabilità e autonomia, stima di sé e fiducia nelle proprie capacità accrescere la capacità di lavorare in gruppo attraverso la cooperazione e la solidarietà con gli altri potenziare la capacità organizzative e decisionali stimolare interesse e motivazione verso lo studio della matematica apprendere ad apprendere INDICE

potenziare le abilità logico – matematiche degli alunni OBIETTIVI DIDATTICI potenziare le abilità logico – matematiche degli alunni imparare ad organizzare in modo significativo le proprie conoscenze  valutare l’utilità delle conoscenze acquisite, rispetto agli obiettivi prefissati in termini di conoscenze, competenze e capacità sviluppare l’attitudine ad affrontare problemi nuovi ed imprevisti e a trasferire le conoscenze acquisite in contesti diversi (transfert) decidere in condizioni d’incertezza oltre che di certezza sviluppare la capacità di dominare situazioni anche complesse utilizzare appropriati metodi di comunicazione oltre che di documentazione INDICE

metodologia La metodologia di lavoro presentata intende porre il processo di problem solving (letteralmente risolvere problemi) come punto di partenza per un percorso di didattica metacognitiva sul gioco matematico. Il problem solving può essere definito come un approccio didattico teso a sviluppare, sul piano psicologico, comportamentale ed operativo, l'abilità di soluzione di problemi. Il gioco matematico, così come viene inteso in questo lavoro, è proprio una situazione problematica, magari complessa, di cui si vuole trovare, se esiste, una soluzione. Appare quindi lecito proporre il gioco logico ai ragazzi attraverso il processo del PROBLEM SOLVING METACOGNITIVO; in tal modo essi, in modo sempre più puntuale, saranno in grado di monitorare i loro processi cognitivi, valutare l’utilità e l’efficacia dei diversi procedimenti risolutivi, nonché di classificare le rappresentazioni personali di procedure, attivando transfer degli apprendimenti. INDICE

Il PROBLEM SOLVING Nell’ambito delle ricerche cognitive si sostiene che il problem solving è una capacità che, in realtà, ne comprende altre essenziali per una piena espressione del potenziale dell’individuo. Tali capacità sono: il PROBLEM FINDING, da intendersi come capacità di riconoscere una situazione come problematica; il PROBLEM POSING, da intendersi come capacità di impostare e dare corretta configurazione cognitiva al problema riconosciuto; il PROBLEM TALKING, da intendersi come capacità di descrivere, spiegare e comunicare il problema.  Nonostante il problem solving venga solitamente associato all’area didattica logico – matematica esso è applicabile in ambito più interdisciplinare; fare problem solving, infatti, vuol dire usare correttamente l'abilità di classificazione di situazioni problematiche e la capacità di risolvere problemi analoghi.

La procedura del problem solving prevede diverse FASI, durante le quali possono essere sviluppati processi di controllo propri delle abilità metacognitive. Se ne possono individuare quattro: fase di COMPRENSIONE : è finalizzata alla comprensione della situazione problematica e al riconoscimento delle conoscenze naturali possedute dagli allievi sull’argomento del gioco da risolvere; fase di ATTACCO : è il momento della formulazione di ipotesi di strategie risolutive ai fini dell’individuazione della soluzione ritenuta esatta; fase di CONTROLLO : i ragazzi sono invitati a riferire e a giustificare ciò che hanno fatto e a confrontarsi in una discussione finalizzata alla scoperta della soluzione migliore; fase di ESTENSIONE : permette di verificare se i ragazzi sanno trasferire in contesti diversi le competenze acquisite e generalizzarle, ricostruendo regole o formule. INDICE

Attivare la comprensione FASE di COMPRENSIONE OPERAZIONI DEL DOCENTE OPERAZIONI DELL’ALUNNO Attivare la comprensione del testo Definire il problema Problematizzare

Stimolare al pensiero divergente Formulare ipotesi FASE di ATTACCO OPERAZIONI DEL DOCENTE OPERAZIONI DELL’ALUNNO Stimolare al pensiero divergente Formulare ipotesi Applicare modelli e procedure di soluzione

Ascoltare l’esposizione delle procedure applicate dagli alunni FASE di CONTROLLO OPERAZIONI DEL DOCENTE OPERAZIONI DELL’ALUNNO Ascoltare l’esposizione delle procedure applicate dagli alunni Elaborare il modello o la procedura di soluzione Far riflettere sul modello o sulla procedura applicata Comunicare la procedura di soluzione adottata

Cambiare condizioni o variabili del gioco FASE di ESTENSIONE OPERAZIONI DEL DOCENTE OPERAZIONI DELL’ALUNNO Cambiare condizioni o variabili del gioco Sperimentare il modello o la procedura di soluzione Aiutare nella formalizzazione, descrizione e generalizzazione del modello o della procedura Formalizzare, descrivere, generalizzare il modello o la procedura

Ma concretamente come, cioè, secondo quali MODALITÀ un insegnante può svolgere i giochi con le proprie classi? Il mio primo consiglio è quello di non escludere nessuno; in queste situazioni anche chi è in grave DIFFICOLTÀ DI APPRENDIMENTO ci potrà sorprendere e, se così non fosse per quanto riguarda l’aspetto strettamente didattico, perché privare proprio questi ragazzi della possibilità di trarre un po’ di divertimento dalla matematica? Un secondo consiglio è quello di far lavorare i ragazzi in GRUPPI preferibilmente di tre o quattro persone ed eterogenei per abilità disciplinare e per capacità collaborative. Questa strategia da una parte stimolerà il più bravo a confrontarsi e a mettere le sue attitudini al servizio del gruppo; dall’altra, permetterà al meno bravo innanzitutto di non cadere nell’angoscia del non sapere da che parte iniziare e, in secondo luogo, di sentirsi libero di avanzare ipotesi senza magari il timore del giudizio dell’insegnante. INDICE

Voglio sottolineare in particolare l’importanza del momento della DISCUSSIONE tra i ragazzi per la ricerca delle strategie risolutive: essa ha il valore essenziale di permettere di strutturare le conoscenze, imparando ad esporre le proprie idee e ad ascoltare quelle degli altri. Il DOCENTE, più che dare indicazioni, ha il compito di coordinare, sollecitare le osservazioni, valorizzare le opinioni di ciascun ragazzo. Nella discussione si attiva un processo che porta l’alunno dal livello di intuizione ad un grado sempre maggiore di consapevolezza, attraverso il confronto con altri procedimenti risolutivi e l’eventuale riconoscimento di errori e il loro superamento. Inoltre il momento della VERBALIZZAZIONE permette di migliorare l’uso di un linguaggio corretto e di acquisire spontaneamente il necessario rigore nel ragionamento matematico (i ragazzi si impegnano molto di più nel tentativo di farsi comprendere dai loro compagni rispetto a quanto succeda verso gli insegnanti). INDICE

GUARDANDO NEL CALEIDOSCOPIO documentazione A titolo esemplificativo della metodologia proposta è possibile a questo punto visionare una simulazione della conduzione di tre giochi testati in classe con i ragazzi. FRIEDRICK, PICCOLO GENIO ALL’OPERA LA BANCARELLA DI MIRELLA GUARDANDO NEL CALEIDOSCOPIO INDICE

LA BANCARELLA DI MIRELLA A Mirella piace molto allestire ogni giorno in modo diverso la sua bancarella del mercato. In questo periodo espone in bella mostra tre coppie abbinate formate da una sciarpa e da una berretta, rispettivamente di colore verde, rosso e giallo. Se nessuna coppia può essere divisa, in quanti modi diversi gli indumenti possono essere allineati sulla bancarella di Mirella? FASE INIZIALE FASE DI ATTACCO FASE DI CONTROLLO FASE DI ESTENSIONE

FASE INIZIALE Sciarpa e berretta devono essere dello stesso colore? Cosa si intende per coppia abbinata? Il testo è chiaro a tutti? Ci sono domande, ambiguità o parole che non capite? FASE INIZIALE

Cosa significa che nessuna coppia può essere divisa? QUESTI DUE CHIARIMENTI SONO STATI RICHIESTI NELLA FASE SUCCESSIVA DI ATTACCO DEL GIOCO. Ma gli indumenti possono essere disposti come si vuole o devono essere per forza allineati? Cosa significa che nessuna coppia può essere divisa? FASE INIZIALE

Avete mai incontrato problemi simili? No, non ci sembra… Avete mai incontrato problemi simili? FASE INIZIALE

FASE INIZIALE Le coppie abbinate di berretta e sciarpa sono 3. POCHI RAGAZZI INDIVIDUANO QUESTO COME DATO DEL GIOCO. Le coppie abbinate di berretta e sciarpa sono 3. Quali sono i dati? Nessuna coppia può essere divisa. FASE INIZIALE

Cioè… i modi possibili… L’USO DEI TERMINI RELATIVO AL CALCOLO COMBINATORIO È MOLTO IMPRECISO E DIFFICOLTOSO. Dobbiamo trovare le combinazioni possibili dei sei indumenti a disposizione. Cioè… i modi possibili… gli allineamenti… Qual è la richiesta? FASE INIZIALE

FASE DI ATTACCO Sicuramente la moltiplicazione. È FREQUENTE NEI RAGAZZI LA PERCEZIONE CHE IN QUALCHE MODO IL CALCOLO COMBINATORIO ABBIA A CHE FARE CON IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ … Sicuramente la moltiplicazione. Quali concetti matematici possono servirvi per trovare la soluzione di questo gioco? E se usassimo il calcolo delle probabilità? FASE DI ATTACCO

Beh, prendiamo degli oggetti e riproduciamo la situazione! La prof ha detto di valutare se ci possono essere utili degli strumenti… Beh, prendiamo degli oggetti e riproduciamo la situazione! FASE DI ATTACCO

Ok, io allora uso dei grafi ad albero o magari delle tabelle… L’APPROCCIO E’ STATO LO STESSO PER TUTTI. SONO STATI PREMIATI GLI SFORZI DI CHI HA LAVORATO CON ORDINE E METODO. Proviamo a scrivere tutti gli allineamenti possibili. Io tento con le lettere R, V e B! Come procediamo? FASE DI ATTACCO Ok, io allora uso dei grafi ad albero o magari delle tabelle…

Allora, sentiamo… Quale soluzione avete trovato? FASE DI CONTROLLO

I colori R, G, V possono essere combinati in 6 modi diversi: R G V R V G G R V G V R V R G V G R. Ciascuno di queste combinazioni di colori da luogo però a 8 diversi allineamenti se si considerano le diverse posizioni di sciarpe (indicate con le maiuscole) e berrette (indicate con le minuscole): R r G g V v R r G g v V R r g G V v R r g G v V r R G g V v r R G g v V r R g G V v r R g G v V In totale quindi si avranno 6  8 = 48 allineamenti. FASE DI CONTROLLO SOLO UN QUINTO DEI GRUPPI HA DATO LA RISPOSTA CORRETTA, LAVORANDO IN MODO SISTEMATICO E SCRIVENDO TUTTI I 48 ALLINEAMENTI POSSIBILI. POCHISSIMI RAGAZZI HANNO USATO, DOPO AVER INDIVIDUATO LE RIPETIZIONI, L’OPERAZIONE DI MOLTIPLICAZIONE.

Ma noi abbiamo risposto 6! FASE DI CONTROLLO

L’ERRORE È STATO QUELLO DI CONSIDERARE LE COPPIE ABBINATE COME UN UNICO OGGETTO: NON È STATO CONSIDERATO IL FATTO CHE BERRETTA E SCIARPA POSSONO ESSERE INVERTITE DI POSTO SENZA CHE LA COPPIA SIA SPOSTATA.

E noi cosa abbiamo sbagliato?!? Abbiamo risposto 36… FASE DI CONTROLLO

IL RAGIONAMENTO DI FONDO E’ ESATTO, MA È STATO SVOLTO UN ERRORE NEL CALCOLO.

Noi non avevamo compreso bene il significato di COPPIA ABBINATA: è per questo che abbiamo sbagliato! Avete capito gli errori avete fatto? C’è ancora qualche problema insuperabile? FASE DI CONTROLLO

FASE DI ESTENSIONE Io li ho scritti tutti: sono 8! PER ARRIVARE A QUESTA RISPOSTA L’INSEGNANTE HA DOVUTO INTERVENIRE PESANTEMENTE PER FAR OSSERVARE LE REGOLARITÀ TRA I NUMERI PRECEDENTI. Io li ho scritti tutti: sono 8! Hmm… è più difficile, ma se abbiamo capito bene il ragionamento… 24 combinazioni di 4 colori e per ciascuna di esse 16 diverse disposizioni… per un totale di 384 possibilità! E se le coppie fossero state 2? Quanti allineamenti possibili avremmo avuto? Brava! E se le coppie fossero state 4? FASE DI ESTENSIONE

una formula potrebbe essere questa: LA QUASI TOTALITA’ DEGLI ALUNNI NON RIESCE A GENERALIZZARE. DUE ALUNNI, PERO’, ELABORANO DUE IPOTESI INTERESSANTI… Bene! Usando uno strumento che non conoscete (il fattoriale) si può scrivere: 2n · n ! Adesso proviamo a trovare una regola, una formula che generalizzi il discorso nel caso di n coppie… Vediamo… una formula potrebbe essere questa: 2n · n · (n – 1) · … · 2 · 1! FASE DI ESTENSIONE

LA MANCANZA DI TEMPO NON PERMETTE LA RIELABORAZIONE, DI QUESTA IPOTESI, MA DIFFICILMENTE I RAGAZZI AVREBBERO COMPRESO IL SIGNIFICATO DI UNA FORMULA RICORSIVA. Se osserviamo bene c’è una certa regolarità tra il caso di n coppie e n + 1 coppie… Altre ipotesi? FASE DI ESTENSIONE

FASE DI ESTENSIONE È vero! Riformulo il testo: Un pescivendolo ha sul banco 6 pesci: due grossi, due medi e due piccoli. In quanti modi possibili può disporli senza mai dividere i pesci della stessa taglia? Un pescivendolo ha sul banco 6 pesci. In quanti modi possibili può disporli? Provate ora ad inventare un nuovo gioco simile a questo. No, no, no! Attento: così stai sbagliando… FASE DI ESTENSIONE

“Che bello! Abbiamo inventato una nuova formula!” Non c’è stato il tempo di riflettere su una variante interessante del gioco e cioè il caso in cui al posto di una coppia abbinata di berretta e sciarpa ci sia un paio di guanti. In questo caso i ragazzi sarebbero stati obbligati a considerare la disposizione di indumenti non invertibile (il guanto destro a destra, il guanto sinistro a sinistra): cosa sarebbe cambiato nel calcolo? Questo gioco ha molto interessato e appassionato i ragazzi, anche quelli più in difficoltà. Alcuni commenti dei ragazzi: “Che bello! Abbiamo inventato una nuova formula!” “Prof, ho provato a spiegare a mia mamma il gioco ma non ha capito nulla!” “Ho sfidato mio papà nel gioco di ieri e ha perso perché lui non conosceva la formula che abbiamo scoperto!” INDICE

GUARDANDO NEL CALEIDOSCOPIO A Emi è stato regalato un caleidoscopio a sezione quadrata. L’immagine che sta guardando in questo momento è quella riportata a destra … Emi, in particolare, è incuriosita dal quadratino centrale, del quale vorrebbe riuscire a calcolarne l’area. Fosse facile! Riesce solo a misurare il lato del quadrato più esterno che è di 4 cm. La nostra Emi pensa di essere imbattibile in matematica, ma forse ancora non vi conosce. Riuscite anche voi a trovare l’area del quadratino? FASE INIZIALE FASE DI ATTACCO FASE DI CONTROLLO FASE DI ESTENSIONE

FASE INIZIALE Cosa si intende per QUADRATO PIÙ ESTERNO? È PIÙ UNA RICHIESTA DI CONFERMA CHE UNA VERA E PROPRIA DOMANDA. Cosa si intende per QUADRATO PIÙ ESTERNO? Il testo è chiaro a tutti? Ci sono domande, ambiguità o parole che non capite? FASE INIZIALE

Avete mai incontrato problemi simili? Sembra un po’ qualche problema del libro di geometria, ma… no, direi di no! Avete mai incontrato problemi simili? FASE INIZIALE

La misura del lato del quadrato più grande è 4 cm. TUTTI I RAGAZZI INDIVIDUANO QUESTO COME DATO FONDAMENTALE. La misura del lato del quadrato più grande è 4 cm. Quali sono i dati? FASE INIZIALE

QUASI NESSUNO SI RENDE CONTO DELL’IMPORTANZA DI QUESTI DUE DATI, SENZA I QUALI NON SI POTREBBE RISOVERE IL GIOCO. Dobbiamo contare il numero di quadrati costruiti a partire da quello più esterno… Certo che se non abbiamo la figura o almeno la sua costruzione come si fa?!? FASE INIZIALE

FASE INIZIALE Calcolare l’area del quadratino più interno. LA RICHIESTA E’ CHIARA PER TUTTI. Calcolare l’area del quadratino più interno. Qual è la richiesta? FASE INIZIALE

FASE DI ATTACCO Serve la formula per calcolare l’area di un quadrato. Forse basta solo la formula per calcolare la diagonale del quadrato dato il lato… Quali concetti matematici possono servirvi per trovare la soluzione di questo gioco? Ma anche il teorema di Pitagora… FASE DI ATTACCO

A parte penna, carta e righello nessuno in particolare. Ci possono essere utili degli strumenti? FASE DI ATTACCO

LE STRATEGIE ADOTTATE SONO STATE MOLTEPLICI. La cosa più semplice mi sembra costruire il quadrato e misurare… ma dobbiamo proprio essere precisi! Potremmo individuare la relazione tra l’area di un quadrato e quella del suo successivo per confronto di aree... Come procediamo? FASE DI ATTACCO

Ma la relazione tra l’area di un quadrato e il suo successivo si può individuare anche come differenza tra l’area del quadrato e l’area dei quattro triangoli rettangoli. FASE DI ATTACCO

E se considerassimo un quarto della figura e ragionassimo solo sui quadrati e sui triangoli rettangoli? FASE DI ATTACCO

Oppure attraverso la formula della diagonale di un quadrato… IN QUESTI CASI IL VALORE OTTENUTO È COMUNQUE UN’APPROSSIMAZIONE. Calcoliamo la misura del lato del quadrato successivo attraverso il teorema di Pitagora! Oppure attraverso la formula della diagonale di un quadrato… FASE DI ATTACCO

E se individuassimo la relazione tra il lato del quadratino e la diagonale del quadrato esterno? FASE DI ATTACCO

Allora, sentiamo… Quale soluzione avete trovato? IN QUESTO GIOCO I PORTAVOCE DEI VARI GRUPPI SI SONO ESPRESSI CON PROPRIETÀ DI LINGUAGGIO E CHIAREZZA. L’ARGOMENTO IN EFFETTI RISULTA ABBASTANZA FAMILIARE. Allora, sentiamo… Quale soluzione avete trovato? FASE DI CONTROLLO

A noi l’area risulta di 0,5 cm2 ! Ecco come abbiamo fatto… LA SOLUZIONE CORRETTA E’ STATA DATA DALLA META’ DEI RAGAZZI. UN QUARTO DI LORO HA DATO UNA SOLUZIONE APPROSSIMATA PER VIA DELLA STRATEGIA DI CALCOLO O DI MISURA UTILIZZATA. L’ULTIMO QUARTO NON FORNITO SOLUZIONE NEI TEMPI ASSEGNATI. A noi l’area risulta di 0,5 cm2 ! Ecco come abbiamo fatto… FASE DI CONTROLLO

Aspetti che guardo: l’abbiamo già calcolato! A DOMANDE DI QUESTO TIPO I RAGAZZI RISPONDONO CON FACILITÀ PERCHÉ IL CALCOLO DELLE AREE DEI QUADRATINI INTERMEDI FA PARTE DEL PERCORSO RISOLUTIVO ADOTTATO. Aspetti che guardo: l’abbiamo già calcolato! E se i quadrati inscritti fossero stati solo 3 che area avrebbe avuto il quadratino interno? Ma… se fossero stati 10? FASE DI ESTENSIONE

Avete scoperto una regola, una formula o una regolarità? Visto che ad ogni passaggio l’area del quadrato si dimezza possiamo scrivere… Avete scoperto una regola, una formula o una regolarità? FASE DI ESTENSIONE

Hmm… ogni triangolo viene diviso in quattro triangoli equivalenti attraverso la costruzione utilizzata. Pertanto… E se il caleidoscopio avesse avuto sezione triangolare cosa sarebbe cambiato? FASE DI ESTENSIONE

Un ragazzo arriva ad una formula valida per tutti i poligoni regolari attraverso l’uso di un software di disegno tecnico che calcola direttamente le aree delle figure attraverso la loro costruzione (xè una costante per ogni poligono regolare). INDICE

FRIEDRICK, PICCOLO GENIO ALL’OPERA La storia ci racconta un aneddoto divertente relativo ad un grande matematico, che già in tenera età dimostrava le sue spiccate attitudini per la matematica. Si racconta che il maestro di Friedrick Gauss un giorno fosse particolarmente indaffarato e avesse bisogno di un attimo di tregua dai suoi rumorosi alunni. Assegnò loro quindi un compito che lui riteneva li avrebbe tenuti occupati per un bel po’: trovare la somma dei primi 100 numeri naturali. Ebbene, il piccolo Friedrick dopo dieci minuti aveva risolto correttamente il problema e trovato una formula che lo risolvesse per ogni altro numero! Sapreste fare la stessa cosa con i primi 20 numeri? E con i primi 50? FASE INIZIALE FASE DI ATTACCO FASE DI CONTROLLO FASE DI ESTENSIONE

FASE INIZIALE Cosa vuol dire trovare la somma dei primi 100 numeri? Dobbiamo trovare tutti i numeri che sommati danno 100? Il testo è chiaro a tutti? Ci sono domande, ambiguità o parole che non capite? FASE INIZIALE

Avete mai incontrato problemi simili? QUASI NESSUNO CONOSCE QUESTO GIOCO; AD ALCUNI ERA GIÀ STATO PROPOSTO E VOLUTAMENTE L’ABBIAMO RIPRESENTATO PER APPURARE SE LA PROCEDURA RISOLUTIVA È STATA ACQUISITA. Io invece conosco un gioco simile! Ce l’ha proposto la prof l’anno scorso… Avete mai incontrato problemi simili? Io no! FASE INIZIALE

I primi 20 numeri… i primi 50 numeri… SOLO POCHI RAGAZZI SI SONO RESI CONTO DEL FATTO CHE QUESTO DATO È INUTILE. Anche i primi 100 numeri ?!? I primi 20 numeri… i primi 50 numeri… Quali sono i dati? FASE INIZIALE

Trovare la somma dei primi 20 e 50 numeri. LA RICHIESTA E’ CHIARA PER QUASI TUTTI; GLI STESSI RAGAZZI CHE HANNO INSERITO 100 TRA I DATI HANNO INDIVIDUATO COME RICHIESTA LA SOMMA DEI PRIMI 100 NUMERI. Trovare la somma dei primi 20 e 50 numeri. Qual è la richiesta? FASE INIZIALE

FASE DI ATTACCO Bisogna conoscere le operazioni aritmetiche di base. MENO MALE! CI SAREMMO PREOCCUPATI SE TUTTI AVESSERO INCOMINCIATO A ESEGUIRE LE SOMME SENZA RAGIONARE! Bisogna conoscere le operazioni aritmetiche di base. Quali concetti matematici possono servirvi per trovare la soluzione di questo gioco? È un gioco in cui la logica è molto importante. Bisogna sapere quali sono i numeri naturali. FASE DI ATTACCO

E se prendessimo una calcolatrice?!? QUALCUNO CI PROVA SEMPRE, MA DIFENDIAMO LA SCELTA DI NON PERMETTERE L’USO DELLA CALCOLATRICE DURANTE I GIOCHI, RITENENDO MOLTO IMPORTANTE ANCHE IL FAR DI CONTO. E se prendessimo una calcolatrice?!? Ci possono essere utili degli strumenti? FASE DI ATTACCO

La cosa più semplice è scrivere tutti i numeri e poi sommarli. LE IMMAGINI SUCCESSIVE ILLUSTRANO LE NUMEROSE “SCOPERTE” DEI RAGAZZI. La cosa più semplice è scrivere tutti i numeri e poi sommarli. Ma no, dai, cerchiamo di capire se c’è un modo per semplificare i conti… Come procediamo? FASE DI ATTACCO

FASE DI ATTACCO E chi se la ricorda!?! I RAGAZZI CHE AVEVANO GIA’ INCONTRATO QUESTO GIOCO HANNO CERCATO DI RICOSTRUIRE LA FORMULA RISOLVENTE (la formula di Gauss), VERIFICANDOLA POI SU NUMERI PICCOLI. E chi se la ricorda!?! Però forse riusciamo a ricostruire il procedimento per ricavarla… Ma non avevamo scoperto una formula per risolvere giochi come questo? FASE DI ATTACCO

La somma dei primi cinquanta numeri è 1275, mentre quella dei primi venti è 210. La somma dei primi cento numeri è 5050. Allora, sentiamo… Quale soluzione avete trovato? FASE DI CONTROLLO

QUASI TUTTI I GRUPPI HANNO RICAVATO UNA REGOLA, FORMALIZZATA IN MODO CORRETTO. NON TUTTI I RAGAZZI HANNO PERO’ PADRONANZA DEL CALCOLO LETTERALE E QUINDI E’ STATO DIFFICOLTOSO CONVINCERLI DELL’EQUIVALENZA FRA LE VARIE FORMULE. Avete scoperto una regola, una formula o una regolarità? FASE DI ESTENSIONE E lei ci dice che queste formule sono equivalenti?!?

Funziona anche per sommare i primi 99 numeri? Cosa cambia? NON È QUESTO IL PUNTO! I RAGAZZI DOVEVANO RIFLETTERE SUL PROCEDIMENTO CHE LI HA PORTATI ALLA FORMULA E CHIEDERSI SE VALE LO STESSO RAGIONAMENTO. Non cambia nulla perché se n è pari nella formula si semplifica n con il 2, mentre se n è dispari si semplifica n + 1 con il 2. Funziona anche per sommare i primi 99 numeri? Cosa cambia? FASE DI ESTENSIONE

Vediamo se cambia qualcosa. La somma del primo numero con l’ultimo, del secondo con il penultimo e così via è sempre n + 1; il numero di coppie di questo tipo sono però (n - 1) : 2 e bisogna sommare il numero centrale, cioè (n + 1) : 2. La somma vale quindi... I RAGAZZI, RIFACENDO GLI STESSI RAGIONAMENTI FATTI DURANTE LA RISOLUZIONE DEL GIOCO, RIESCONO AD ARRIVARE ALLA FORMULA A LATO; DA PARTE DEL DOCENTE LA CONFERMA FINALE DELL’EQUIVALENZA CON LA FORMULA DI GAUSS NELLA SUA ESPRESSIONE PIU’ CONOSCIUTA. INDICE

materiali  ARITMETICI  GEOMETRICI  PROBABILISTICI È possibile scaricare le schede in formato Word per poter svolgere in classe l’esperienza dei giochi matematici. Per ogni gioco sono disponibili due schede : la SCHEDA RISPOSTE per gli alunni su cui i ragazzi possono verbalizzare tutto il processo cognitivo che hanno affrontato; la SCHEDA DI OSSERVAZIONE per i docenti in cui l’insegnante può documentare le osservazioni sullo svolgimento del gioco.  ARITMETICI  GEOMETRICI  PROBABILISTICI INDICE

GIOCHI ARITMETICI LA BANCARELLA DI MIRELLA ALUNNI PROF Friedrick, piccolo genio all’opera ALUNNI PROF La SUPERNONNA ALUNNI PROF

GIOCHI geomeTrICI I pentamini di Mauro Guardando nel caleidoscopio ALUNNI PROF Guardando nel caleidoscopio ALUNNI PROF Puzzle: che passione! ALUNNI PROF

GIOCHI probabilistICI Scommettiamo? ALUNNI PROF Black out ALUNNI PROF Che combinazione! ALUNNI PROF

bibliografia SUL GIOCO MATEMATICO Gare di giochi matematici per elementari proposte dal Gruppo di Ricerca sull’Uso del gioco nella didattica della matematica www.quadernoaquadretti.it Giochi di allenamento e Gare per scuole medie della Bocconi www.uni-bocconi.it www.matematicamente.it Nando Geronimi, “Papà scommettiamo che…” Federico Peieretti, “I piaceri della matematica” Michel Criton, “Lex jeux mathèmatiques” INDICE

Claudia Valentini, Didattica Metacognitiva - Pavone Risorse SULLA DIDATTICA METACOGNITIVA Watzlawick, Weakland e Fisch, “Per un approccio al problem solving nel campo relazionale umano” - 1973 Claudia Valentini, Didattica Metacognitiva - Pavone Risorse www.lamaestra.it SUL SeT e SULLA RIFORMA SCOLASTICA www.setlecco.it www.istruzione.it USCITA INDICE

Scuola Media l. r. paritaria “Caterina Cittadini” di Per informazioni: SIMONA LANFRANCHI la.simo@tiscalinet.it Scuola Media l. r. paritaria “Caterina Cittadini” di Calolziocorte (LC) media-calolzio@orsolinesomasca.it INDICE