SLE DI DEFORMAZIONE IN TRAVI DI CEMENTO ARMATO Progetto di Strutture Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A/A 2012-2013 SLE DI DEFORMAZIONE IN TRAVI DI CEMENTO ARMATO

INTRODUZIONE SLU travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Posizione del Problema) Le deformazioni massime nelle strutture in c.a. devono essere limitate essenzialmente per evitare problemi di natura funzionale: evitare ad esempio danni agli elementi non strutturali sorretti (tramezzi, tamponature, pavimenti etc..), evitare che grandi deformazioni compromettano il razionale smaltimento delle acque, evitare indesiderati effetti antiestetici. La valutazione analitica delle deformazioni e degli abbassamenti conseguenti non è cosa facile in strutture in c.a. per i problemi già messi sufficientemente in evidenza nel caso di stato limite di fessurazione. La difficoltà maggiore consiste essenzialmente nel valutare la rigidezza degli elementi strutturali in presenza di fessurazione. Come già visto nel caso di sole tensioni normali la rigidezza media di una trave fessurata può calcolarsi tenendo conto del calcestruzzo ancora reagente che si trova tra due fessure consecutive (tension stiffening effect). Si tenga presente inoltre che le deformazioni nelle strutture in c.a. dipendono anche da altri fenomeni non meno importanti come il ritiro e la viscosità che modificano lo stato deformativo anche in assenza di variazione dello stato di carico.

Per doppia integrazione della curvatura si ottiene lo spostamento v(x) Calcolo travi in c.a. - Deformazione Calcolo analitico SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente) Come già accennato in precedenza il calcolo analitico delle deformazioni dipende dalla possibilità di modellare in maniera accurata il fenomeno della fessurazione. Le formulazioni approssimate di tale fenomeno conducono a risultati che presentano notevoli differenze rispetto ai risultati dell’esperienza sperimentale. Una prima approssimazione consiste nel presupporre la sezione interamente reagente. Indicando con II il momento d’inerzia della sezione della sezione interamente reagente la curvatura è data dalla relazione Curvatura della sezione Interamente reagente Per doppia integrazione della curvatura si ottiene lo spostamento v(x)

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente) Un metodo alternativo all’integrazione diretta della curvatura è, nel caso di strutture isostatiche, far uso del teorema dei lavori virtuali Sistema reale Sistema virtuale Sistema reale Sistema Virtuale

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) Quando nella sezione viene superata la resistenza a trazione nel calcestruzzo, la deformazione nell’acciaio potrebbe essere espressa come una frazione della deformazione dello stesso al secondo stadio, come era prescritto in passato dal D.M. 09.01.06: I° stadio II° stadio M Fessurazione Tension Stiffening II,stadio < 1 Nel caso di pura flessione yc d s Momento di fessurazione In corrispondenza della condizione Md=Mf sussiste una discontinuità in quanto il valore della sm non corrisponde a quello relativo al I° stadio

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) Normativa (EC2) Trattazione semplificata Forma analoga Nel caso di trazione semplice la tensione sr vale

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) La normativa europea (EC2) tenta di correggere tale discontinuità definendo la deformazione dell’acciaio nella sezione fessurata come combinazione della deformazione al I° e al II° stadio (deformazione media del concio fessurato)  yc d Deformazione media del concio di trave fessurata secondo l’Eurocodice 2 e NTC08 Deformazione media dell’acciaio nella sezione fessurata secondo Il D.M. 9.1.96

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) Volendo quindi calcolare la deformazione di una struttura isostatica tenendo conto delle indicazioni della normativa europea si possono calcolare le caratteristiche geometriche della sezione al I° e II° stadio, per poi calcolare analiticamente l’abbassamento con l’equazione della linea elastica sovrapponendo gli effetti così come indicato dall’Eurocodice 2. In alternativa è possibile utilizzare il TLV I° stadio I II yc d Equazione Linea elastica II° stadio T.L.V. Momento sist. virtuale yc d Curvatura media sist. reale

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) Metodo Alternativo Un metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle non fessurate e applicare l’integrale (TLV) per la determinazione dell’abbassamento tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche meccaniche v DISCRETIZZAZIONE L a b c Mfess Zona non fessurata Zona fessurata (Zona non fessurata) Zona fessurata

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) Metodo Alternativo Un metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle non fessurate e applicare l’integrale (TLV) per la determinazione dell’abbassamento tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche meccaniche

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) ESEMPIO Gk,Qk 6m 3m Dati b=20 cm h=60 cm As=210=1.57cm2 As’=314=4.62cm2 Cls: Rck 25 Mpa Acciaio: B450C Gk = 22 kN Qk = 10 kN As h As’ b f ? Calcolare lo spostamento verticale della trave di figura utilizzando i dati indicati a lato. Per il calcolo fare riferimento alle NTC08

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) ESEMPIO Lo spostamento di può calcolare rapidamente facendo uso del Teorema dei Lavori Virtuali: Sistema Reale Sistema Virtuale Sistema virtuale Sistema reale

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) ESEMPIO Calcolo con riferimento al solo II stadio. La normativa non fornisce alcun criterio di calcolo e rimanda a criteri reperibili in letteratura. Il precedente decreto faceva riferimento alla curvatura al secondo stadio corretta del tension stiffening effect. Caratteristiche della sezione: I° Stadio – Trascurando la presenza dell’armatura si ha yI=29 cm JI = byI 3/3+b(h-yI)3/3 +nAs(d-yI)2+nAs’(yI-d’)2 = 426507cm4 WI=14707 cm3 II° Stadio calcolo asse neutro (n=15) - calcolo momento d’inerzia

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) ESEMPIO La normativa Europea prevede il calcolo delle deformazioni per carichi permanenti o quasi permanenti. La combinazione prevista per questa tipologia di carichi è la seguente: Combinazione di carico quasi permanente

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) ESEMPIO Calcolo con riferimento al EC2 La normativa suggerisce di adottare il calcolo della deformazione come combinazione della freccia riferita alla sezione al primo stadio e della freccia calcolata con la sezione al II° stadio

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) ESEMPIO

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione SLE di deformazione nel c.a. (Strutture Iperstatiche) IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) Nel caso di strutture iperstatiche il diagramma dei momenti non è noto a priori e dunque il calcolo della deformazione non risulta essere immediato. Si può ad esempio ricorrere al metodo delle forze per la determinazione delle caratteristiche della sollecitazione ed integrare successivamente l’equazione della linea elastica. In alternativa è possibile integrare l’equazione della linea elastica nella seguente forma: Dove p è il carico distribuito lungo la trave L’approccio classico al problema è di tipo numerico-iterativo.

Calcolo analitico Calcolo travi in c.a. - Deformazione BIBLIOGRAFIA Per maggiori approfondimenti consultare Cap. 14 Aurelio Ghersi – IL CEMENTO ARMATO Cap. 11 – Progettazione di Strutture in calcestruzzo armato – AICAP Cap 13 – Renato Giannini - Teoria e Tecnica delle Costruzioni civili