QUANDO È NATA LA TERRA? UN’APPLICAZIONE “INTERESSANTE” DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE Il metodo di datazione qui proposto ci permette di vedere quando è stata “fatta” la materia che compone la terra e viene proposto agli studenti della quarta Liceo Socio-Psico-Pedagogico come applicazione “interessante” delle equazioni esponenziali e logaritmiche Non verrà determinata della della terra “solida” e rocciosa, ma il tempo passato dalla formazione di sole e sistema solare (che sono fatti a partire dalla stessa “nebulosa”) È chiaro che la terra “solida” e rocciosa sarà un po’ più giovane dell’età che ricaveremo: l’età che troveremo è più propriamente quella del sole, che infatti si è “acceso” prima che la terra fosse solida È come ricavare l’età della farina di cui è fatto il pane e non l’età del pane.

QUALCHE NOTA METODOLOGICA È un esempio tipico di datazione mediante elementi radioattivi (simile al metodo del C-14) Se abbiamo oggi un chilo di 238U radioattivo, in futuro ne avremo sempre meno, perché tende a trasformarsi in 234Th: avremo sempre meno uranio e sempre più torio (in realtà anche il torio “decade”…. alla fine avremo Pb stabile)

IL DECADIMENTO RADIOATTIVO Il tempo necessario ad un certo numero di atomi di materiale radioattivo per dimezzarsi è detto tempo di dimezzamento ed indicato con t1/2 Per 238U il tempo di dimezzamento vale 4,468 miliardi di anni Per 235U il tempo di dimezzamento vale 704 milioni di anni, ovvero 0,704 miliardi di anni È evidente che un elemento impiega meno tempo per “dimezzarsi” se fa molti “decadimenti” Ad ogni decadimento corrisponde l’emissione di “radioattività” “un chilo” di 235U sarà più radioattivo di “un chilo” di 238U

L’ETÀ DELLA TERRA Quando è stato fatto il materiale di cui è composto il sistema solare (esplosione di supernova) i due isotopi di uranio erano in quantità uguale: è plausibile pensare che il processo di formazione dell’uranio sia stato “simmetrico”, senza “preferenze” per un isotopo in particolare Per via dei diversi tempi di dimezzamento, col passare del tempo 235U si è consumato più velocemente di 238U, tanto che oggi (su 100 nuclei d’uranio) 99,28 sono 238U e solamente 0,72 sono 235U: diciamo infatti che l’abbondanza isotopica di 238U è 99,28%, mentre quella di 235U è 0,72% (come riportato nelle tavole periodiche degli elementi più dettagliate)

L’ETÀ DELLA TERRA La legge del decadimento radioattivo dice che ove U(0) è la quantità di uranio presente al tempo zero (235 o 238, dato che alla “creazione” erano uguali), 235U(t) è la quantità di 235U presente al tempo t (oggi) e t1/2 il tempo di dimezzamento, ovvero il tempo necessario a far dimezzare la quantità iniziale di uranio E’ una legge di tipo esponenziale perché la variabile indipendente (il tempo t) compare ad esponente del 2.

L’ETÀ DELLA TERRA Il numero 0,72% rappresenta il rapporto odierno (al tempo t, dunque) tra la quantità di 235U e la quantità di uranio totale (235U + 238U): Ponendo in questa equazione la legge del decadimento abbiamo

L’ETÀ DELLA TERRA Semplificando U(0) che compare a numeratore e a denominatore si ha N.B.: abbiamo una sola equazione ed una sola incognita, quindi sappiamo risolvere Raccogliendo e semplificando 1/2t/t235 si ha

L’ETÀ DELLA TERRA Facendo il reciproco di entrambi i membri abbiamo Ovvero: Ovvero: In questa equazione sono stati inseriti i valori dei tempi di dimezzamento già visti

L’ETÀ DELLA TERRA Per liberarci della base 2 facciamo il logaritmo in base 2 di entrambi i membri ottenendo L’età della “terra” risulta dunque circa 6 miliardi di anni

L’ETÀ DELLA TERRA Il risultato è pienamente plausibile, se ricordiamo che il sole vive stabilmente da 5 miliardi di anni e che – a questa età – va aggiunto il tempo che ha passato in fase di protostella. Se le difficoltà matematiche vi avessero fatto perdere la bellezza del calcolo ricordate questo: si può “leggere” l’età della terra da una tavola periodica degli elementi