Logaritmi INDICE Definizione Proprietà dei logaritmi

Presentazione sul tema: "Logaritmi INDICE Definizione Proprietà dei logaritmi"— Transcript della presentazione:

1 Logaritmi INDICE Definizione Proprietà dei logaritmi
Cambiamento di base Basi più comuni Cenni storici

2 Supponiamo di voler trovare l'esponente a della
potenza 3a per ottenere 81. Questa è un'operazione inversa della potenza. Anche i radicali sono operazioni inverse della potenza, in essi si deve ricavare la base, ora invece il problema è ricavare l'esponente. La soluzione prende il nome di logaritmo in base 3 di 81. Definizione Il logaritmo in base a>0  di un numero b>0 è l'esponente x che da dare ad a per ottenere b.

3 Logaritmo del prodotto
Il logaritmo del prodotto di due o più numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, cioè: Proprietà loga(bc)=logab+logac Dimostrazione

4 Logaritmo della potenza
Il logaritmo della potenza di un numero è uguale all'esponente di tale potenza per il logaritmo della base della potenza. Proprietà logabx=xlogab Dimostrazione

5 Logaritmo del rapporto
Il logaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore, cioè Proprietà Loga(b/c)=logab –logac Dimostrazione

6 Si vuole trovare la relazione che intercorre fra il
Cambiamento di base Si vuole trovare la relazione che intercorre fra il Logaritmo di un numero in una base a e il logaritmo dello stesso numero in un'altra base c. Proprietà.           logab logcb=—————         logac Dimostrazione

7 loga(bc)=logab+logac
Dimostrazione posto logab=x e logac=y allora ax=b e ay=c quindi bc=axay=ax+y (proprietà delle potenze) loga(bc) =logaax+y loga(bc) =(x+y )logaa logaa=1 cioè x+y=loga(bc)  ma x+y=logab+logac    c.v.d.

8 posto logab=y perciò ay=b e (ay)x=bx ma
logabx=xlogab Dimostrazione posto logab=y   perciò ay=b e   (ay)x=bx  ma (ay)x=ayx   perciò logabx=xy essendo y= logab allora logabx=xloga c.v.d.

9 Loga(b/c)=logab –logac
Dimostrazione posto loga(b/c)=loga(bc-1)= per il logaritmo del prodotto è uguale a     = logab+logac-1 = per il logaritmo della potenza       = logab-logac  c.v.d.

10 posto y=logab e x=logcb allora ay=b e cx=b quindi cx=ay
        logac Dimostrazione posto y=logab e x=logcb allora ay=b e cx=b quindi cx=ay calcoliamo il logaritmo in base a di entrambe i membri otteniamo          logacx=logaay quindi applicando il logaritmo della potenza otteniamo          xlogac=ylogaa  cioè xlogac=y sostituendo a x ed y le relazioni  iniziali si ha logcb∙logac=logab

11 Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base, quelle più utilizzate sono tre: base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log10, più genericamente con log. base e (logaritmi naturali o neperiani), usati in analisi infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara). base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log2.

12 Cenni Storici I logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, è facile dimostrare che, scelta una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore.