i Sistemi lineari classe 3 A inf a.s. 2006-07

metodo della matrice inversa teorema di Rouche' -Capelli Sommario sistemi lineari metodo della matrice inversa tipi di sistemi teorema di Rouche' -Capelli regola di Cramer sistema omogeneo

am1*x1+am2*x2+am3*x3+amn*xn=bm Un sistema lineare è un insieme formato da equazioni lineari(cioè di primo grado),è ridotto a forma normale quando tutte le sue equazioni sono ridotte a forma normale,cioè quando le incognite sono al primo membro e il termine noto nel secondo membro. Un generico sistema lineare in m equazioni ed n incognite viene espresso cosi: a11*x1+a12*x2+a13*x3+a1n*xn=b1 a21*x1+a22*x2+a23*x3+a2n*xn=b2 am1*x1+am2*x2+am3*x3+amn*xn=bm Un sistema lineare si dice omogeneo quando tutte le sue equazioni sono omogenee(in altre parole i termini noti sono nulli).

Quando un sistema non ha soluzioni si dice impossibile. Risolvere un sistema significa trovare tutte le sue soluzioni. Se le equazioni x1=p1, x2=p2,…….xn=pn con p1,p2,….pn numeri reali soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema, allora la n-pla ordinata (p1,p2…pn)è detta la soluzione del sistema Quando un sistema ammette una sola soluzione si dice sistema determinato. Quando un sistema ammette infinite soluzioni si dice sistema indeterminato. Quando un sistema non ha soluzioni si dice impossibile.

Un sistema può essere: COMPATIBILE INCOMPATIBILE Impossibile Determinato Indeterminato Non ammette soluzioni Ammette 1 sola soluzione Ammette infinite soluzioni

T.di Rouchè-Capelli k<n n-k soluzioni m=n & D dei coeff0 per risolvere in un sistema lineare a m equazioni e n incognite, se: m=n & D dei coeff0 Cramer matrice Inversa Riduzione (Gauss) m n oppure m=n &D dei coeff=0 (esempio) T.di Rouchè-Capelli POSSIBILE I due ranghi sono uguali IMPOSSIBILE Rango della matrice incompleta(k) è diverso da quello della matrice completa. k=n 1soluzione k<n n-k soluzioni

REGOLA DI CRAMER n=m Esempio: 5 1 2 -1 = -7 # 0 D= 2 1 -1 -1 5 2 2 -1 2x + y = 2 2x – y = -1 Si calcola il determinante della matrice dei coefficienti: 5 1 2 -1 = -7 # 0 D= Si calcola Dx e Dy ottenuti sostituendo nel determinante D i termini noti rispettivamente nell pima e nella seconda colonna. 2 1 -1 -1 5 2 2 -1 Dx= = -1 Dy= = -9 Le soluzioni del sistema sono: x=Dx/D = 1/7 y=Dy/D =9/7

METODO DELLA MATRICE INVERSA n=m 2x + y+z= 5 2 1 1 1 0 -1 1 -1 -2 Det(A)=-2 x - z = 3 x-y-2z =0 A= 5 3 B=

A * X = B X= A-1*B 2 1 1 1 0 -1 1 -1 -2  FORMA MATRICIALE Il sistema può essere scritto in forma simbolica A * X = B X= A-1*B Matrice colonna dei termini noti Matrice dei coefficienti Matrice colonna delle incognite 2 1 1 1 0 -1 1 -1 -2 x y z 5 3  FORMA MATRICIALE * =

x= A-1*B A11/-2 A21/-2 A31/-2 A12/-2 A22/-2 A32/-2 MATRICE INVERSA Aji aij det(A) -1/-2 1/-2 -1/-2 1/-2 -5/-2 3/-2 -1/-2 +3/-2 -1/-2 5 3 x y z 1 5 -2 Devi spiegare qual è la matrice inversa . In quali casi si considera e poi come viene utilizzata per la risoluzione del sistema = = *

Teorema di ROUCHE’ CAPELLI In un sistema lineare condizione necessaria e sufficiente affinché esista una soluzione è che la caratteristica della matrice completa( ottenuta considerando sia coefficienti delle incognite sia i termini noti) e quella della matrice incompleta (matrice in cui non sono presenti i termini noti) siano uguali. Se le caratteristiche sono # il sistema allora è impossibile. 3x – y + 6z = 1 6x +3y + 10z = 3 Esempio mat incompleta: -1 6 3 10 D= = -10 –18 # 0 3 -1 6 6 3 10 Caratteristica k= 2

= ((1-3x)*10) - (6*(3-6x)) = 10 - 30x – 18 + 36x = 6x – 8 3 -1 6 1 6 3 10 3 mat completa: Caratteristica k = 2 Per il teorema di R-C il sistema ammette soluzioni. Poiché k=2 si avranno 3-2 soluzioni -y +6z = 1 – 3x +3y + 10z = 3- 6x 1-3x + 6 +3-6x 10 = ((1-3x)*10) - (6*(3-6x)) = 10 - 30x – 18 + 36x = 6x – 8 y = (6x – 8)/( –28 )= (-3x + 4)/14 Dy= / -1 1-3x 3 3-6x = -3+ 6x –3*(1 – 3x) = -3 + 6x – 3 + 9x = 15x –6 z = (15x –6)/-28 Dz= x=m; y=( -3x + 4)/14; z =( 15x –6)/-28

Un sistema omogeneo ammette Solo una soluzione nulla se soluzione nulla e infinite soluzioni se D=0 D  0 i complementi algebrici degli elementi di una riga non sono tutti nulli. D= determinante matrice coeffficienti