DISEQUAZIONI Disequazioni di primo e secondo grado

Il concetto di “disequazione” nella vita di ogni giorno Esame di stato?!? 60 V < 50 (velocità minore di 50 Km/h) Voto > 60 (promosso!!)

Il significato dei simboli……. > Maggiore > Maggiore uguale < Minore < Minore uguale

Dati due numeri reali a,b a > b e a < b sono disuguaglianze Una disuguaglianza può essere: Vera 6 > 4 Falsa 2 > 4 Possibile x > 4

Le disuguaglianze possibili si chiamano disequazioni Sono disequazioni, per esempio:              2x < 6 x + 2 ≤ 3x + 1 Se al posto della x sostituiamo un numero la disequazione si trasforma in disuguaglianza che può essere Vera oppure Falsa  Osserva: 2x+1>7 Se al posto della x sostituisco il numero 4 cosa ottengo??? 2(4)+1>7 ovvero 8+1>7 cioè 9 > 7 è una disuguaglianza Vera Allora 4 è una soluzione della disequazione……………..

come si risolve una disequazione ? Definizione: Risolvere una disequazione vuol dire trovare l’insieme dei numeri che sostituiti all’incognita la trasformano in una disuguaglianza vera come si risolve una disequazione ? 2x+4>0 2x>-4 x>-2 -5>-2 NOOOO 0,1,2,3,4,5,... 0>-2 1>-2 2>-2

risoluzione algebrica Data la disequazione   3x - 1 > 2x + 1 Trasporto tutti i termini al primo membro  cambiandone il segno            3x - 1 - 2x - 1 >0 Riduco i termini simili            x - 2 > 0 3. Trasporto dopo il segno maggiore il termine noto (-6) cambiando il segno x > 2 risoluzione algebrica

risoluzione algebrica-grafica Data la disequazione 3x - 1 > 2x + 1 Trasporto tutti i termini al primo membro  cambiandone il segno:            3x - 1 - 2x - 1 >0 Riduco i termini simili            x - 2> 0 Pongo x-6 uguale ad y ed ottengo y=x-2 Y= x-2 è l’equazione di una retta… la vogliamo disegnare????   risoluzione algebrica-grafica Costruiamo la tabella x y -1 -3 0 -2 1 –1 2 0 -3 -2 -1 0 1 2 La retta è positiva per x>2 La retta è positiva nella fascia maggiore di 2 cioè la soluzione è x>2 + -

Schema risolutivo ed esercizio guida Disequazione:        2(x-3)<x-5 Semplifico l’espressione                          Ø 2x-6<x-5 Porto tutti i termini al primo membro  Ø 2x-6-x+5<0 Riduco i termini simili                             Ø x - 1  < 0 Chiamo y il valore di   x-1                  Ø y = x-1 Costruisco la tabella per disegnare la retta (x=0; y=-1) (x=1; y=0) Disegno la retta y= x-1                      Osservando la retta si vede che risulta   “sotto l’asse x” (y<0)  cioè negativa per tutti i valori di x < 1 Schema risolutivo ed esercizio guida 1 + -

Risoluzione di una disequazione di 2° grado ax2 + bx + c > 0   ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c ≥ 0 ax2 + bx + c ≤ 0 Risoluzione di una disequazione di 2° grado Le disequazioni di 2 grado si devono ricondurre sempre alla forma:

D > 0 ax2 + bx + c > 0 a>0 Calcoliamo il Delta D = b2-4ac = b2-4ac >0 soluzioni sono reali e distinte a > 0 concavità rivolta verso l’alto Disequazione >0 soluzione: x<x1 ed x>x2 valori esterni x1 x2

D = 0 ax2 + bx + c > 0 a>0 x1 =x2 = b2-4ac =0 soluzioni sono reali e coincidenti a > 0 concavità rivolta verso l’alto Disequazione > 0 sempre vera la parabola è al di sopra asse x cioè è sempre positiva x1 =x2

D < 0 ax2 + bx + c > 0 a>0 = b2-4ac < 0 soluzioni complesse coniugate a > 0 concavità rivolta verso l’alto Disequazione > 0 sempre vera la parabola è al di sopra asse x cioè è sempre positiva

D > 0 ax2 + bx + c < 0 a>0 Calcoliamo il Delta D = b2-4ac = b2-4ac >0 soluzioni sono reali e distinte a > 0 concavità rivolta verso l’alto Disequazione < 0 valori negativi (al di sotto asse x) soluzione: x1 < x < x2 valori interni x1 x2

D = 0 ax2 + bx + c < 0 a>0 x1 =x2 = b2-4ac =0 soluzioni sono reali e coincidenti a > 0 concavità rivolta verso l’alto Disequazione <0 mai vera la parabola è al di sopra asse x cioè è sempre positiva x1 =x2

D < 0 ax2 + bx + c < 0 a>0 = b2-4ac < 0 soluzioni sono complesse coniugate a > 0 concavità rivolta verso l’alto Disequazione < 0 mai vera la parabola è al di sopra asse x cioè è sempre positiva

D > 0 ax2 + bx + c >0 a<0 D = b2-4ac>0; 2 soluzioni reali e distinte Disequazione > 0 soluzione: x1 < x < x2 valori interni x1 x2

ax2 + bx + c >0 a<0 D = 0 D = b2-4ac = 0; 2 soluzioni reali e coincidenti Disequazione > 0 mai vera la parabola è al di sotto asse x x1=x2

D < 0 ax2 + bx + c >0 a<0 D = b2-4ac < 0; 2 soluzioni complesse coniugate Disequazione > 0 mai vera la parabola si trova al di sotto dell’asse delle x quindi è negativa

D > 0 ax2 + bx + c < 0 a<0 D = b2-4ac>0; 2 soluzioni reali e distinte Disequazione < 0 soluzione: x<x1; x > x2 valori esterni x1 x2

ax2 + bx + c < 0 a<0 D = 0 D = b2-4ac = 0; 2 soluzioni reali e coincidenti Disequazione < 0 sempre vera la parabola è tutta al di sotto asse x x1=x2

D < 0 ax2 + bx + c < 0 a<0 D = b2-4ac < 0; 2 soluzioni complesse coniugate Disequazione < 0 sempre vera la parabola è sempre al di sotto dell’asse x

due soluzioni reali e disstinte Nessuna soluzione reale ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0 Δ > 0 due soluzioni reali e disstinte x < x1  e  x > x2 Valori esterni x1 < x < x2 Valori interni Δ = 0 Due sol. coincidenti Sempre vera Mai vera Δ < 0 Nessuna soluzione reale

Nessuna soluzione reale ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0 Δ > 0 due soluzioni x1 < x < x2 Valori interni x< x1  e  x > x2 Valori esterni Δ = 0 Due sol. coincidenti Mai vera Sempre vera Δ < 0 Nessuna soluzione reale