Patti Maurizio: NUMERI COMPLESSI

Unità immaginaria Però nulla impedisce di creare un nuovo numero (naturalmente non reale) il quale, elevato al quadrato dia proprio -1. Questo numero si chiama unità immaginaria e si indica con la lettera i. Nell’insieme dei numeri reali nessun numero elevato al quadrato dà un numero negativo. In particolare, nessun numero reale elevato al quadrato dà -1. Si ha dunque per definizione: i2 = -1

Numero immaginario numeri immaginari opposti Per questi prodotti si conserva la proprietà commutativa bi = ib. Se b è un numero reale il prodotto indicato b*i si chiama numero immaginario b prende il nome di coefficiente del numero immaginario I numeri bi e -bi si dicono numeri immaginari opposti

Potenze di i i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = -i Per le potenze di i si ha: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = -i i4 = 1 i5 = i i6 = -1 i7 = -i i8 = 1 i9 = i ecc. cioè le prime quattro potenze di i si riproducono indefinitivamente nello stesso ordine. Esempio

Operazioni con i numeri immaginari L’addizione e la sottrazione di due numeri immaginari dà come risultato un numero immaginario ai + bi = (a + b)i ai - bi = (a - b)i Il prodotto e il quoziente sono numeri reali ai * bi = a * b * i2 = a * b*(-1) = -ab ai : bi = (a : b) * (i : i) = (a : b) * 1 = a : b In particolare, il quadrato di un numero immaginario è un numero reale negativo. (ai)2 = a2 * i2 = a2 * (-1) = -a2 Nell’insieme dei numeri immaginari si può estrarre la radice quadrata da un numero negativo Esempio

Numeri complessi Indichiamo con C l’insieme dei numeri complessi (a + ib) con Cr l’insieme dei numeri complessi reali (a + i0) con Ci l’insieme dei numeri complessi immaginari (0 + ib) con R l’insieme dei numeri reali (a) a si dice parte reale b si dice coefficiente dell’immaginario. L’espressione a + ib viene denominata: forma algebrica del numero complesso Siano a e b due numeri reali. La somma indicata z = a + ib si dice numero complesso.

a + ib 0 + ib a + i0 a Ci Cr C Esiste una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi Cr e R che conserva le operazioni di addizione e moltiplicazione. R

“positivo” o “negativo” Due numeri complessi si dicono uguali quando hanno rispettivamente uguali le parti reali e i coefficienti degli immaginari a + ib = c + id se a = c e b = d Se ciò non si verifica i numeri si dicono disuguali, ma non si può stabilire tra loro la relazione di “maggiore” e “minore”. Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale ed opposti i coefficienti dell’immaginario si dicono complessi coniugati Per un numero complesso non ha luogo la nozione di “positivo” o “negativo” Esempio

Operazione con i numeri complessi La somma di due o più numeri complessi è il numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali e per coefficiente dell’immaginario la somma dei coefficienti delle parti immaginarie. (a + ib) + (c + id) = (a + c) + (b + d)i La somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale (a + ib) + (a - ib) = (a + a) + (b - b)i = 2a Esempio

(a + ib) - (c + id) = (a + ib) + (-c - id) = (a - c) + (b - d)i Due numeri complessi si dicono opposti quando sono opposte sia la parte reale che quella immaginaria a + ib -a - ib Per differenza di due numeri complessi si intende la somma del primo e dell’opposto del secondo (a + ib) - (c + id) = (a + ib) + (-c - id) = (a - c) + (b - d)i La differenza di due numeri complessi coniugati è un numero immaginario (a + ib) - (a - ib) = (a - a) + (b + b)i = 2bi Esempio

(a + ib)2 = a2 + 2iab + b2i2 = (a2 - b2 ) + 2iab La potenza di un numero complesso viene calcolata mediante le stesse regole che permettono di determinare le potenze dei binomi (a + ib)2 = a2 + 2iab + b2i2 = (a2 - b2 ) + 2iab (a + ib)3 = a3 + 3ia2b + 3ab2i2 + b3i3 = =(a3 - 3ab2) + (3a2b - b3 )i Il prodotto di due numeri complessi è il numero complesso che si ottiene moltiplicando termine a termine i due fattori. (a + ib) * (c + id) = ac + iad + ibc + i2 bd = = (ac - bd) + (ad + bc)i. In particolare, il prodotto di due numeri complessi coniugati è un numero reale che prende il nome di norma (a + ib) * (a - ib) = a2 - b2i2 = a2 + b2 Esempio

Il reciproco di un numero complesso a + ib è Due numeri complessi si dicono reciproci quando il loro prodotto è uguale ad 1 Il reciproco di un numero complesso a + ib è a - ib -------- a2 + b2 Coniugato ------------- Norma Il quoziente di due numeri complessi è il numero che si ottiene moltiplicando il primo per il reciproco del secondo a + ib -------- c + id c - id -------- c2 + d2 = (a + ib) Esempio

Esercizi Eseguire le operazioni (1 - i)(1 + i) - (3 + 2i)(3 - 2i) + i11 = 2 - 13 + i3 = -11 - i 2 + i 8 ------- + -- 4 + i 17 = (2 + i) * 4 - i 8 ------ + -- = 16 +1 17 8 - 2i + 4i +1 8 ---------------- + --- = 17 17 9 + 2i 8 ------- + --- = 17 17 = 9 2i 8 -- + --- + --- = 17 17 17 2 1 + --- i 17

Forma matriciale di un numero complesso Dato il numero complesso a + ib si chiama forma matriciale del numero complesso dato, la matrice quadrata: Ad esempio al numero complesso 3 – 2i corrisponde la matrice:

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi I numeri complessi possono essere rappresentati geometricamente: - mediante punti di un piano - mediante vettori

Rappresentazione mediante i punti del piano Ai punti dell’asse x (asse reale) corrispondono i numeri reali; a quelli dell’asse y (asse immaginario) corrispondono i numeri immaginari. Al numero complesso z = a + bi facciamo corrispondere il punto P(a;b) Rimane così fissata una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri complessi e l’insieme dei punti del piano. Il piano in cui vengono rappresentati i numeri complessi viene chiamato piano di Gauss. Fissiamo nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy Il punto P(a;b) viene chiamato immagine di z; il numero z viene chiamato affissa di P. y P(a;b) b O a x

Rappresentazione mediante vettori Fissiamo ancora nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy. Al numero z = a + bi facciamo corrispondere il vettore OP; al vettore OP facciamo corrispondere il numero z = a + bi Il vettore OP viene chiamato vettore rappresentativo del numero complesso z. y P(a;b) b Esempio O a x

Rappresentazione vettoriale della somma di due numeri complessi Anche al vettore d differenza di due vettori v1 e v2, corrisponde il numero complesso differenza dei due numeri complessi corrispondenti a v1 e v2: d = v1 - v2 = v1 + (-v2) la differenza si riduce quindi al caso della somma. Al vettore OP, somma dei due vettori OP1 e OP2 corrisponde il numero complesso z, somma dei numeri complessi z1 e z2 Siano z1 = a + bi e z2 =a  + b  i due numeri complessi, P1(a;b) e P2(a;b) i loro punti immagine, OP1 e OP2 i rispettivi vettori rappresentativi y P b+b  b P1 P2 b  a a  O a+a  x

Fine

Modulo ed argomento di un numero complesso Sia z = a + bi un numero complesso, P(a;b) la sua immagine e v = OP il vettore rappresentativo; sia  la distanza del punto P dall’origine,  l’angolo che il vettore forma con il semiasse positivo reale y Il numero  viene chiamato modulo ed il numero  argomento del numero complesso z. P(a;b) b  Si ha immediatamente : a =  cos  b =  sen   a x

Forma trigonometrica di un numero complesso Dato il numero complesso a + bi si ha: a + bi = cos  + i sen  =  (cos  + i sen ) l’espressione  (cos  + i sen ) si dice FORMA TRIGONOMETRICA del numero complesso Esempio

Operazioni con numeri complessi sotto forma trigonometrica Prodotto Potenza Reciproco Quoziente

Radici n-esime di un numero complesso Si chiama radice n-esima di un numero complesso z =  (cos  + i sen ) ogni numero complesso w che elevato ad n dà z [r(cos  + i sen )]n =  (cos  + i sen ) rn(cos n + i sen n) =  (cos  + i sen ) quindi: rn =  n =  + 2k Esempio

Forma esponenziale di un numero complesso Un numero complesso z =  (cos  + i sen ) può essere scritto sotto la seguente forma, detta esponenziale: Ad esempio:

FINE

Calcolare le radici quarte del numero

Determinare le radici quarte dell’unità. Essendo:  = 1 e  = 0°+ k360° risulta 1= cosk360°+isenk360° e quindi: Le quattro radici dell’unità sono dunque: z0 = cos0°+isen0° = 1 z1 = cos90°+isen90° = i z2 = cos180°+isen180° = -1 z3 = cos270°+isen270° = -i Ritorna

Dato il numero complesso -1 + i scriverlo sotto forma trigonometrica Dato il numero complesso 4(cos 120° + i sen 120°) scriverlo sotto forma algebrica Ritorna

= ‘[cos( +  ') + i sen( +  ')] Prodotto Dati due numeri complessi (cos + isen) e '(cos ' + isen ') il loro prodotto è (cos + isen) '(cos' + isen') = = ' (cos cos' + i cos sen' + i sen cos' – sen sen' ) = = '[(cos cos' – sen sen' ) + i(cos sen' + sen cos')] = = ‘[cos( +  ') + i sen( +  ')] Il prodotto di due numeri complessi sotto forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti Esempio Ritorna

Potenza n-esima di un numero complesso Se applichiamo la regola del prodotto tra numeri complessi sotto forma trigonometrica ad n fattori tutti uguali a (cos  + isen ) si ottiene la formula di MOIVRE [(cos + isen)]n = n (cos n + isen n) La potenza n-esima (con n intero) di un numero complesso non nullo è un numero complesso che ha per modulo la potenza n-esima e per argomento n volte l’argomento della base Esempio Ritorna

Reciproco di un numero complesso Il reciproco del numero complesso non nullo z = (cos + isen) ha per modulo il reciproco del modulo di z e per argomento l’opposto dell’argomento di z Infatti Esempio Ritorna

Quoziente Dati due numeri complessi (cos + isen) e '(cos ' + isen ') il quoziente si ottiene Il quoziente di due numeri complessi sotto forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli e per argomento la differenza degli argomenti Esempio Ritorna

Calcolare: 3(cos25° + isen25°)·4(cos15° + isen15°) = 12(cos40° + isen40°) 2(cos15° + isen15°)·5(cos35° + isen35°) = 10(cos50° + isen50°) Ritorna

Calcolare [3(cos30° + isen30°)]5 = 35 (cos 5·30° + isen 5·30° ) = = 243(cos150° + isen150°) [2(cos20° + isen20°)]3 = 23 (cos 3·20° + isen 3·20° ) = = 8(cos60° + isen60°) Ritorna

Il reciproco del numero 3(cos 25° + isen 25°) è Ritorna

Calcolare Ritorna

i14 = ? 14 : 4 = 3 con il resto di 2 quindi i14 = i2 = -1 Ritorna

3i + 4i = (3 + 4)i = 7i 7i - 9i = (7 - 9)i = -2i Ritorna

Sono complessi coniugati i numeri 3 - 2i 3 + 2i -5 + 3i -5 - 3i Sono uguali i numeri 2 - 3i 2 - 3i -3 + 5i -3 + 5i Sono complessi coniugati i numeri 3 - 2i 3 + 2i -5 + 3i -5 - 3i Ritorna

(3 + 2i) + (-1 + 4i) = (3 - 1) + (2 + 4)i = 2 + 6i (2 - 4i) + (-5 + i) + i = (2 - 5) + ( -4 + 1 + 1)i = -3 - 2i (-3 + 7i) + (3 - 7i) = (-3 + 3) + (7 - 7)i = 0 (6 + 5i) + (6 - 5i) = (6 + 6) + (5 - 5)i = 12 Ritorna

(4 - 3i) - (5 + 7i) = (4 -5) + (-3 - 7)i = -1 - 10i Sono opposti i numeri 1 - 3i -1 + 3i -5 + i 5 - i Differenze (4 - 3i) - (5 + 7i) = (4 -5) + (-3 - 7)i = -1 - 10i (5 - 2i) - (5 + 2i) = (5 - 5) + (-2 - 2)i = -4i Ritorna

(2 - 5i) * (-1 + 2i) = (-2 + 10) + (4 + 5)i = 8 + 9i (2 - 3i)2 = 4 - 12i + 9i2 = (4 - 9) - 12i = -5 -12i (1 + 2i)3 = 1 + 6i + 12i2 + 8i3 = (1 -12) + (6 - 8)i = -11 - 2i Ritorna

Reciproci il reciproco di 7 - 2i è 7 + 2i --------= 72 + 22 7 + 2i --------= 49 + 4 7 + 2i --------= 53 7 2 -- + ---i 53 53 Divisioni Ritorna

Trovare il punto immagine ed il vettore rappresentativo del numero complesso z = 2 - 3i y x 1 2 -1 -2 -3 P(a;b) Ritorna