IL SUDOKU   uno schema di gioco e la sua soluzione

Il sudoku (termine giapponese che in italiano vuol dire "sono consentiti solo numeri solitari") è un gioco di logica nel quale al giocatore viene proposta una griglia di 9×9 celle, ciascuna delle quali può contenere un numero da 1 a 9, oppure essere vuota; la griglia è suddivisa in 9 righe orizzontali, nove colonne verticali e, da bordi in neretto, in 9 "sottogriglie", chiamate regioni, di 3×3 celle contigue. Le griglie proposte al giocatore hanno da 20 a 35 celle contenenti un numero. Scopo del gioco è quello di riempire le caselle bianche con numeri da 1 a 9, in modo tale che in ogni riga, colonna e regione siano presenti tutte le cifre da 1 a 9, senza ripetizioni.

Storia   Un "quadrato magico diabolico" pubblicato su La France il 6 luglio 1895

I primi giochi di logica basati sui numeri apparvero sui giornali verso la fine del XIX secolo, quando alcuni enigmisti francesi iniziarono a sperimentarli rimuovendo opportunamente dei numeri dai quadrati magici. Le Siècle, un quotidiano parigino, pubblicò nel 1982 un quadrato magico di dimensioni 9×9 parzialmente completo con sottoquadrati di dimensioni 3×3. Non si trattava di un sudoku così come lo conosciamo oggi, poiché conteneva numeri a doppia cifra e, per essere risolto, richiedeva l'aritmetica piuttosto che la logica, ma ammetteva comunque la regola per cui ogni riga, colonna e sottoquadrato dovesse contenere gli stessi numeri senza ripeterli. Successivamente un giornale rivale de Le Siècle, La France, ridefinì le regole di questo gioco, avvicinandosi di molto al sudoku moderno: ogni riga, colonna e sottoquadrato del quadrato magico doveva essere riempita soltanto con i numeri da 1 a 9, sebbene i sottoquadrati non fossero marcati all'interno dello schema. Questi giochi settimanali furono pubblicati anche da altri quotidiani francesi come L'Echo de Paris per circa un decennio, ma poi scomparvero all'epoca della Prima Guerra Mondiale. Secondo l'enigmista statunitense Will Shortz, il sudoku moderno fu realizzato da Howard Garns, un ex architetto in pensione dell'Indiana (morto nel 1989), e pubblicato per la prima volta nel 1979 da Dell Magazines con il titolo Numbers in Place. Il gioco venne introdotto in Giappone dalla casa editrice Nikoli nell'aprile del 1984. Nel 1986 Nikoli introdusse due novità: il numero massimo di celle già riempite fu ristretto a 32 e le griglie diventarono "simmetriche" (nel senso che i numeri già stampati venivano distribuiti su celle simmetriche. Nell'ottobre del 2004 il sudoku venne importato in Gran Bretagna da un ex giudice neozelandese, Wayne Gould per poi diffondersi in Europa e nel resto del mondo nel 2005

Descrizione matematica Il Sudoku può essere descritto completamente mediante nozioni di logica, in particolare si applica la logica combinatoria. Il gioco si svolge in matrici (le matrici Sudoku o griglie) di aspetto 9×9, le cui caselle possono contenere un elemento di un insieme di 9 oggetti distinguibili. Una matrice Sudoku M viene considerata suddivisa in 9 blocchi di aspetto 3×3. In ogni riga, colonna e regione di una matrice Sudoku i valori interi non possono essere ripetuti. Una istanza di Sudoku, detta anche griglia proposta o matrice incompleta, è una matrice Sudoku che presenta alcune celle bianche. Scopo del gioco è la trasformazione della griglia proposta in una matrice completa, cioè in una matrice priva di celle bianche e quindi tale che in ogni sua riga, colonna e regione compaiano tutti gli elementi di '9' (ciascuno una sola volta). Si osserva che una matrice Sudoku completa è un quadrato latino di ordine 9 avente per blocchi matrici 3×3 con i nove numeri da 1 a 9. Affinché una matrice incompleta sia considerata valida, ai fini del gioco, è necessario che la soluzione sia univoca, ovvero non devono sussistere due o più soluzioni differenti, nei quali casi il gioco viene considerato non valido. Nei casi di varianti di sudoku (p.es. killer, jigsaw, x, toroidale, ecc.) ulteriori condizioni devono essere verificate affinché la matrice risulti valida. La difficoltà di un sudoku non è data dalla quantità di numeri iniziali, bensì dalla loro disposizione. Le soluzioni di una qualsiasi altra matrice incompleta sono un sottoinsieme delle soluzioni della matrice vuota.

Storicamente questo gioco è un caso ben più facile da risolvere di un antico e famoso gioco di logica-matematica a cui si è dedicato anche Eulero; si tratta dei "quadrati greco-latini". In questo caso, a differenza del Sudoku, non vi sono griglie interne e l'unica condizione da rispettare è che in ogni riga ed in ogni colonna compaiano tutti i numeri da 1 ad n*n una ed una sola volta, dove n è la dimensione del quadrato (nel caso del Sudoku n=9). Al contrario di quanto spesso si afferma, il sudoku è un gioco di logica e non di matematica, né ha a che fare con i numeri. Le proprietà dei numeri non vengono mai utilizzate e neppure viene mai utilizzato il fatto che siano dei numeri. Per rendersi conto della cosa basta pensare che il gioco sarebbe esattamente identico se anziché i primi nove numeri si usassero le prime nove lettere dell'alfabeto oppure nove simboli diversi tra loro (non c'è nemmeno bisogno che tra i simboli sussista un ordine). Tuttavia alcuni ricercatori matematici hanno messo in evidenza molti legami tra Sudoku e quadrati magici.

Varianti Killer Sudoku La variante detta killer sudoku si presenta come una matrice (solitamente in base 9, ma la grandezza può variare) che non presenta caselle già occupate da numeri, dunque le 81 caselle della matrice sono interamente bianche. Gli indizi dati per risolvere correttamente la matrice vengono da alcuni gruppi di celle che riportano la somma che i singoli elementi di quelle celle devono totalizzare. È uno dei pochi casi di sudoku in cui intervengono i valori nominali dei numeri: le altre varianti che li utilizzano sono il Sudoku Moltiplicazione (in cui anziché la somma è riportato il prodotto di due o più cifre) e il Sudoku Cornice (nel quale, lungo il bordo esterno della matrice sono riportati i valori corrispondenti alla somma delle tre cifre più prossime al bordo). Esempio di Killer Sudoku

Sudoku X La variante detta "xSudoku" o "Sudoku Diagonale" o anche "Sudoku X" si presenta con una matrice lungo le quali sono evidenziate le due diagonali maggiori, ciascuna di 9 caselle di lunghezza. La casella centrale della matrice è in comune ad entrambe le diagonali. Nel risolvere lo schema è necessario tenere presente che anche le due diagonali debbono contenere senza ripetizioni i numeri dall'1 al 9. Questa condizione aumenta da 27 a 29 la quantità di ZONE che bisogna verificare (9 righe + 9 colonne + 9 riquadri + 2 diagonali) e permette una grande varietà di strategie aggiuntive per raggiungere la soluzione desiderata. In talune varianti di xsudoku sono evidenziate alcune diagonali minori, anziché le due maggiori, ma il principio è il medesimo: le diagonali evidenziate non devono contenere ripetizioni di numeri, sebbene non contengano tutto l'insieme di numeri dall'1 al 9.

Sudoku Y È la variante ideata nel 2008 dal campione italiano Gabriele Simionato. Nella griglia sono evidenziate due zone di nove caselle, disposte in modo da formare la lettera "Y". Il gambo della Y è composto da 5 caselle che sono in comune tra le due zone, mentre ciascuno dei due rami è costituito da altre 4 caselle. Si noti che i numeri da inserire lungo i due rami sono gli stessi.  

Esempio di Jigsaw Sudoku In questa variante la matrice si presenta suddivisa in 9 zone dalla forma irregolare, che si incastrano l'una nell'altra per formare un puzzle. Ciascuna delle zone conta esattamente 9 caselle, e ogni casella deve contenere un diverso numero dall'1 al 9. Il jigsaw sudoku include la sottovariante del sudoku "toroidale" in cui le nove zone non sono limitate al bordo della matrice del sudoku, ma proseguono ininterrottamente dal lato opposto. Esempio di Jigsaw Sudoku

Sudoku Pari/Dispari Sudoku Tris Sudoku Battleship Nel sudoku pari/dispari, talune caselle sono marcate con un colore differente, ad indicare se la casella può contenere un numero pari oppure un numero dispari. Sudoku Tris l Sudoku Tris presenta le caselle marcate in 3 modi diversi (vuoto, cerchio, quadrato). Ciascun marchio può contenere i numeri 1,2,3 (cerchio) 4,5,6 (quadrato) 7,8,9 (vuoto). Possono naturalmente esistere diverse suddivisioni. Sudoku Battleship In questa variante è necessario piazzare nella griglia un set di navi (1 portaerei da 4 caselle, 2 corazzate da 3 caselle, 3 incrociatori da 2 caselle, 4 sottomarini da 1 casella) alle quali corrispondono diverse serie numeriche.

Multi Sudoku Il Multi Sudoku consiste in due o più griglie di sudoku sovrapposte tra di loro, solitamente condividendo uno dei settori, ma sono possibili molteplici configurazioni. Il metodo di risoluzione è lo stesso che si applica ai Sudoku classici.

Sudoku Samurai   È una variante particolare del Multi Sudoku ed è composto da 5 griglie disposte ad X. Ciascuna delle griglie di un samurai può rappresentare a sua volta una differente variante

Sudoku a Zone Sudoku & Dragons Sudoku Esterno Nella griglia sono evidenziati (solitamente tramite colori) dei settori di nove caselle, che possono essere contigue o separate tra di loro. Ciascun settore deve contenere senza ripetizioni i numeri dall'1 al 9. I settori evidenziati in questo modo sono aggiuntivi rispetto ai nove settori che costituiscono un sudoku classico. Sudoku & Dragons La griglia contiene dei "draghi" in sostituzione dei numeri 9. Talune caselle sono separate da pareti. Scopo del gioco è riempire la griglia usando cifre dall'1 all'8 in modo che ogni riga, colonna, e riquadro 3x3 contenga un "drago" e tutti i numeri dall'1 all'8. In aggiunta ciascun "drago" sorveglia, nelle direzioni ortogonali, 8 caselle le quali debbono contenere tutte le 8 cifre. Le pareti rappresentano ostacoli alla vista del drago. Sudoku Esterno Questa variante è un'ideazione originale di Leo Colovini, esponente della veneziana Studiogiochi, ed inizialmente si chiamava "Leokuko". La griglia è solitamente priva di numeri inseriti, mentre all'esterno della griglia sono presenti degli "indizi". Gli "indizi" vanno inseriti nelle prime tre caselle della griglia, quindi si può procedere alla soluzione del sudoku con le regole classiche

Metodologie risolutive Uno schema con le annotazioni dei possibili numeri in ogni casella Uno schema in cui si sta cercando il numero 6

Esistono diverse metodologie risolutive per questo gioco, tutte poco legate alla matematica ma strettamente connesse alla logica. Alcune tecniche mirano a trovare la soluzione della cella analizzando le righe, colonne e sottogriglie e calcolando tutti i possibili candidati delle caselle. Altre tecniche mirano alla sola cancellazione di alcuni candidati da alcune celle ben definite. I candidati di una cella sono i numeri che sono ammessi come soluzione nella medesima, ossia è la lista dei 9 numeri esclusi quelli già presenti nelle righe, colonne e sottogriglie, e quelli eliminati da successive elaborazioni. La maggior parte dei sudoku pubblicati sui quotidiani possono essere risolti utilizzando esclusivamente il ragionamento deduttivo. Affinché ciò sia possibile il sudoku deve avere una soluzione unica e non deve rendersi necessario procedere per prove ed errori, in quanto il sudoku è gioco di logica e non di azzardo. Esempio di interazione tra blocchi