“Sono un non-matematico. Risolvo problemi” Matematica in relax “Sono un non-matematico. Risolvo problemi”

Matematica in relax, non “la matematica dà relax”! S=π r√(r²+h²) Non sono così pazzo da credere che ci si possa rilassare facendo matematica: io almeno non ci sono mai riuscito. Però è possibile fare matematica restando (abbastanza) rilassati, senza stressarsi più di tanto. Sicuramente aiuta non essere a scuola, e quindi sapere che non c’è nessuno che ci viene a dare i voti; il secondo trucco è ricordarsi che non siamo affatto obbligati a risolvere i problemi che abbiamo davanti a noi, a differenza di quelli che ci troviamo nella nostra vita. (immagine: da http://maroquinerie.blogspot.com/2008/03/les-hros-du-dimanche.html) Sd+  Sd- 30 ottobre 2001 Matematica in relax

I problemi matematici… … non saranno vecchi come l’umanità, ma poco ci manca! Sembra incredibile, ma abbiamo esempi di problemi matematici (e della loro soluzione…) vecchi di quasi 4000 anni. Il più antico esempio è il Papiro di Rhind, che risale al 1650 a.C. ma probabilmente è una copia di un testo composto tra il 2000 e il 1800 a.C.. Nel Papiro di Rhind si trovano tabelle di frazioni e 84 problemi aritmetici, algebrici e geometrici con le relative soluzioni. (immagine: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png) (papiro di Rhind, 1650 a.C.) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Libri di problemi per divertire(?) Già dal medioevo si possono trovare raccolte di problemi che si direbbero nate proprio con lo scopo, magari secondario, di convincere il riottoso lettore ad appassionarcisi. Alcuni titoli: Alcuino di York, Propositiones ad acuendos juvenes, ~800 Claude Gaspard Bachet, Problèmes plaisants et délectables, qui se font par nombres, 1624 Luca Pacioli, De viribus quantitatis, ~1500 Si parla proprio di problemi “divertenti”: non credo che in quello di lupo, capra e cavolo ci fossero usi pratici… Non so poi se sia un caso che tutti e tre questi libri siano stati scritti da ecclesiastici: magari è semplicemente perché loro dovevano pensare all’insegnamento mentre i poeti e scrittori no, o magari è perché avevano più tempo a disposizione. (immagini: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Raban-Maur_Alcuin_Otgar.jpg http://books.google.com.ar/books?id=Zy0PAAAAQAAJ&hl=en http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/indice1.html) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Ci sono problemi e problemi! Problemi complicati: ultimo teorema di Fermat, teorema dei quattro colori Problemi irrisolti: congettura di Goldbach, ipotesi di Riemann Problemi non risolvibili: citofonare Gödel Problemi scolastici: disegnare le aste , le tabelline Problemi noiosi: una frazione pari a ½ usando tutte e dieci le cifre In effetti bisogna anche intendersi su quali problemi si vogliono trattare. In matematica abbiamo vari tipi di problemi, per tutte le salse: I problemi complicati, la cui risoluzione richiede conoscenze estremamente specialistiche e spesso ad ampio raggio (non è un ossimoro) oppure consistono semplicemente in troppi conti. I problemi irrisolti, che evidentemente sono ancora peggio: il buonanima di Hilbert diceva “Wir müssen wissen. Wir werden wissen“ ma è stato sconfessato da Gödel. I problemi non risolvibili, per esempio l‘ipotesi del continuo. I problemi scolastici, che sono sicuramente i meno interessanti del gruppo anche se sono i più semplici. I problemi noiosi, o che almeno annoiano me: molti libri di problemi matematici richiede di mettersi lì e fare tanti conti, per trovare la configurazione giusta. Qui non si parlerà di nessuno di questi tipi di problemi. 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Esercizi o problemi? 30 ottobre 2001 Matematica in relax Attenzione, però! almeno per quanto riguarda la matematica, c’è una differenza molto grande tra problemi ed esercizi. Un esercizio è qualcosa che in linea di principio si sa come risolvere, in genere applicando qualcosa che si è appena studiato. Non è detto che uno riesca a risolverlo, i calcoli sono sempre insidiosi, ma appunto è più che altro una questione di esercizio. Per costruire un muro si fa una fila di mattoni, poi una seconda fila sfalsata, una terza fila direttamente sopra la prima e così via: si aggiungano malta, livella e filo a piombo q.b. Un problema invece è qualcosa di cui non si sa assolutamente a priori la strada per arrivare alla soluzione: si prova man mano l’una o l’altra via, se possibile sfruttando tutte le conoscenze pregresse, ma essendo alla fine costretti magari a inventarsi qualcosa di nuovo. (immagini: da http://oscarferrari.wordpress.com/2007/12/07/il-muro-chiude/ e http://www.comune.torino.it/deutsch/musei/schede/ma1.htm) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Eulero e i ponti di Königsberg Il problema dei ponti di Königsberg è ben noto a tutti gli appassionati di matematica: nessuno riusciva a fare una passeggiata per la città attraversando ciascun ponte una e una sola volta. Ci si è dovuto mettere uno come Eulero per scoprire il motivo matematico dietro questa impossibilità, e da lì è nata la teoria dei grafi. Quello che per Eulero (e per chiunque non sappia la storia dietro ad esso) è stato un problema, in realtà ormai è diventato un esercizio: se si aggiungessero altri ponti (o altri letti per il fiume…) si potrebbe stabilire in un attimo se la nuova situazione permette o no la passeggiata. (immagine: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Image-Koenigsberg,_Map_by_Merian-Erben_1652.jpg ) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Divagazione: un problema può avere più di una risposta! (o non averne…) Se ci bastasse un risultato approssimato? Problemi di Fermi Un’altra cosa importante da tenere a mente è che non sempre i problemi che ci troviamo davanti hanno una risposta univoca; o magari non ha senso trovare una risposta esatta e ci basta un risultato approssimato. Anche questa è matematica, più precisamente “spannometria”, nel senso che usiamo le tecniche matematiche per orientarci e trovare qualcosa sufficiente per i nostri scopi. Enrico Fermi è stato uno dei più grandi esperti nell’uso di queste tecniche spannometriche, e ancora oggi si parla (almeno negli USA…) di Problemi di Fermi quando ci si mette a fare una stima plausibile (educated guess) dei valori più improbabili, come il numero di accordatori di pianoforte a Chicago. (immagine: da http://www.archives.gov/historical-docs/todays-doc/index.html?dod-date=929) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Problema di Fermi: se stampassimo tutta Wikipedia in italiano, quanto peserebbe? Alcuni dati che ci possono servire: Wikipedia in italiano ha circa 850.000 voci (facciamo cifra tonda: un milione) Una voce in media sarà intorno ai 5 kb Una cartella sono in genere 2,5 kb, quindi una voce occuperà in media due pagine A4, e abbiamo 1 milioni di pagine (fronte e retro  ) La carta A4 è 1/16 di metro quadro (potremmo arrotondare a 1/20 per fare i conti più semplici, ma …) Le risme di carta da fotocopie sono da 80 g/m2, quindi otteniamo 5 milioni di grammi, cioè 5 tonnellate. Non ci ricordiamo tutti questi dati? Possiamo magari ricordare che la carta pesa come l’acqua, o che il foglio A4 è circa un palmo di larghezza per un palmo e mezzo di lunghezza. (immagine: da http://www.wikimedia.org) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Scegliere la strada giusta I problemi matematici non sono esercizi, ma ci si può sempre esercitare a risolverli! Adesso è ora di vedere alcune tecniche che possono essere utili per risolvere i problemi matematici. È vero che la risoluzione è un’arte e non una scienza, ma è anche vero che ci si può esercitare anche a essere artisti! Diciamo che facciamo un metaesercizio… Non si può pretendere tutto dalla vita. (immagine: http://en.wikipedia.org/wiki/File:High_Five.jpg )

Induzione “con un passo alla volta si arriva ovunque!” 30 ottobre 2001 L’induzione è a dire il vero l’ultima risorsa del risolutore di problemi, visto che dimostrare per induzione è in genere noioso e soprattutto occorre già sapere qual è il risultato. Però se qualcuno ci dà una mano poi le cose sono facili. Ricordatevi che c’è il punto di partenza (l’ipotesi induttiva) e il passo successivo; e ricordatevi che l’induzione è il quinto degli assiomi di Peano ed è quello che permette di arrivare a creare i numeri naturali. Esempi: La somma degli angoli di un poligono di n lati è (n-2) angoli piatti Tutti i gatti sono bigi, non solo di notte ma anche di giorno! (questo è falso, ma dov’è l’errore?) Nota finale: a volte è più facile spulciare nell’OEIS (l’archivio delle successioni numeriche…) piuttosto che trovare la regola induttiva di una successione numerica. Poi dopo la si può dimostrare, se proprio si vuole… (immagine: da http://www.fashionnetasia.com/en/Blog/61/The_Domino_Theory.html?user=12) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Parità “se non è pari, è dispari” 30 ottobre 2001 Matematica in relax Il concetto di parità è fondamentale in matematica, per quanto a prima vista possa sembrare stupido o perlomeno crudo: in fin dei conti si partiziona lo spazio in due soli gruppi. Però garantisco che funziona spesso. Generalmente funziona in dimostrazioni “negative”, cioè per provare l’impossibilità di un’affermazione. Esempi: La scacchiera con due quadretti mancanti non può essere riempita da rettangoli 1x2. Ciascuno di essi usa lo stesso numero di caselle bianche e nere (una), ma ci sono due caselle bianche in meno. Esistono però casi in cui lo si può sfruttare in maniera positiva: vedi ad esempio il problema della fila di cinquanta monete di valore diverso, dove due giocatori a turno prendono una di quelle estreme. Qual è la strategia vincente (beh, non perdente) per il primo giocatore? Semplice: conta il valore delle monete di posto pari e di quelle dispari, e prenderà sempre una moneta da quel sottogruppo. 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Simmetria “non so com’è, ma posso dargli un compagno” 30 ottobre 2001 I fisici amano risolvere i problemi “per evidenti ragioni di simmetria”, qualunque cosa ciò voglia dire. Diciamo che in matematica le ragioni di simmetria sono spesso più evidenti, o che almeno a volte possiamo inventarci una simmetria. Alcuni esempi: Giocando a bridge, è più facile che una coppia riceva tutte e 13 carte di cuori oppure nessuna? La simmetria qui è con l’altra coppia. Tra l’altro è lo stesso principio di Win for life, dove pagando il doppio si vince anche con 0, 1, 2 e non solo con 10, 9, 8 Se lanciamo una moneta equa e una no, come possiamo dividere equamente le probabilità? La simmetria qui è nascosta: se la moneta equa può cascare come T/C e quella truccata come t/c, la simmetria è che la probabilità T+c è uguale a quella C+c, mentre quella C+t è uguale a C+c. 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Backtracking “se tutte le strade portano a Roma, da Roma possiamo andare dappertutto!” Se si nota che la penultima mossa per risolvere il problema non è poi così difficile, può avere senso provare a risolvere il problema dal fondo. C’è tutta una teoria al riguardo: Raymond Smullyan ha scritto The Chess Mysteries of Sherlock Holmes dove i problemi non sono affatto classici e spesso richiedono di scoprire quali sono state le mosse che hanno portato alla configurazione della scacchiera. Esempi: Spacca42: se si lancia un dado finché non si raggiunge o supera 42, quale sarà il punteggio più probabile? Il penultimo lancio ci ha portati a un valore da 36 a 41. L’unico valore sicuramente raggiungibile da ciascuno dei lanci è 42, quindi la risposta è quella. Schede rosse e verdi: se ci sono 42 schede rosse e 24 verdi, si estraggono schede finché sono dello stesso colore rimettendo dentro la prima di colore diverso e ricominciando da capo, qual è la probabilità di finire con una scheda rossa? Se mettiamo in fila tutte le carte nell’ordine in cui sono uscite, vediamo che alla penultima mossa ci sarà una fila di un colore seguita da una dell’altro. Visto che non importa la lunghezza delle due file, la probabilità di un ordine oppure dell’altro è la stessa. 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Geometria “spostare le figure in maniera creativa” 30 ottobre 2001 Nei problemi delle competizioni internazionali ogni tanto si trovano prove geometriche che io sbaglio regolarmente, perché la geometria non la conosco. Ci sono però molti problemi non richiedono nemmeno l’uso del teorema di Pitagora: basta semplicemente usare rotazioni e traslazioni in maniera intelligente. Esempi: Una losanga è per sempre: se io conosco la lunghezza a = 5m e b = 4m, il lato del rombo è evidentemente a+b Inscritto e circoscritto: basta ruotare il quadrato inscritto nella circonferenza per vedere che la sua area è metà di quello circoscritto. 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Combinatoria “uno, due, tre, stella!” 30 ottobre 2001 Dal Superenalotto in giù, le formule combinatoriche (sì, i matematici dicono così, per colpa dell’inglese) sono spesso molto utili in matematica, anche se in effetti nelle applicazioni pratiche occorre fare parecchi conti che usano numeri enormi. Se volete un esempio di combinatoria all’opera, potete prendere il triangolo di Tartaglia: ci potete trovare di tutto. Simile alla combinatoria almeno dal punto di vista logico è anche l’operazione di contare. Siete capaci tutti a contare, no? Taglia e mangia: si ha una tavoletta di cioccolato a quadrettoni di dimensioni mn, e a ogni mossa si può dividere una parte in due oppure mangiare un singolo quadrettone se è già stato isolato. Non importa qual è l’ordine delle mosse fatte: ogni taglio aumenta di uno il numero di parti e ogni mangiata lo riduce di uno, quindi riassemblando l’ordine delle mosse si può contare il numero di mosse totali che sarà 2mn-1 (immagine: da http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Spazio degli stati “gira che ti rigira, prima o poi dovrai tornare qui!” Lo spazio degli stati è un concetto della fisica, ma a volte anche un matematico può usarlo. Se si va sempre da uno stato a un altro e il numero complessivo di stati è finito allora prima o poi si ritorna a uno stato già visto. Attenzione, però: se si vuole dimostrare che si torna allo stato iniziale, occorre mostrare che non ci sono cicli, altrimenti si potrebbe finire attirati lì, come nel caso del 6174 (si prenda un numero, lo si scriva prima con le cifre in ordine decrescente e poi in ordine crescente, e si faccia la sottrazione, continuando così…) Esempio: L’isola di Triabol, con tutti incroci a Y. Se uno gira sempre alternativamente a destra e a sinistra, prima o poi tornerà al punto di partenza. Qui lo spazio degli stati è la tripletta (incrocio, strada da dove si è arrivati, ultima svolta fatta) e il trucco è che da ogni tripletta si può andare solo a un’altra tripletta, quindi si fa un “giro delle triplette”, anche se magari non le si tocca tutte. (immagine: http://xkcd.com/710/ ) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Furto della strategia “faccio finta di essere te” 30 ottobre 2001 È una tecnica che non è costruttiva, ma è meglio di nulla. Nasce col Teorema di Zermelo: se un gioco tra A e B ha un numero finito di mosse, o vince A, o vince B, o finisce in parità. (Non vale per gli scacchi, se non con regole aggiuntive) Il furto di strategia non è una tecnica esplicita: dimostra solo che un giocatore può vincere, ma non dice come. Chomp: tavoletta di cioccolato, ciascun giocatore a turno seleziona un rettangolo (non vuoto) con l’angolo in alto a destra coincidente con quello originale e mangia il cioccolato che sta lì dentro. Chi mangia il quadretto in basso a sinistra perde. Se il secondo giocatore avesse una strategia vincente, ce l’avrebbe anche se il primo giocatore avesse iniziato con un singolo quadretto. Ma allora il primo giocatore può giocare la mossa del secondo! (immagine da http://www.cartoon-clipart.com/cartoon_clipart_images/robber_holding_up_a_crime_victim_0515-1103-2402-5716.html ) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Discesa infinita “basta ricondursi al caso precedente” 30 ottobre 2001 La discesa infinita era un argomento molto caro a Fermat, che per esempio l’ha usato per dimostrare il suo ultimo teorema nel caso di n=4. In un certo senso è l’opposto dell’induzione. Diciassette soldati tutti a distanze diverse, ognuno guarda il più vicino: uno di loro non è guardato da nessuno (immagine: http://www.andrewlipson.com/escher/ascending.html) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Principio dei cassetti “se hai un tavolo da dodici, essere in tredici porta male” Il principio dei cassetti è un’altra affermazione che sembra a prima vista stupida, ma è potentissima: se hai n oggetti che possono stare in n-1 posti, almeno uno dei posti avrà due oggetti. Due persone a Milano hanno lo stesso numero di capelli Calzini e guanti presi a caso (immagine: da http://itp.nyu.edu/show/spring2007/detail.php?project_id=1512) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Tempo “tempus fugit, ma a velocità costante” 30 ottobre 2001 I problemi che riguardano il tempo si possono in genere risolvere con diagrammi (mentali…) spazio-tempo. Kant e la pendola: c’è una differenza tra misurare un intervallo di tempo e misurare un tempo assoluto, ma basta un punto d’appoggio per riuscire a mettere insieme le due cose. Quale treno prendere, per Maciachini o Rogoredo?: il trucco in questo caso è accorgersi che anche se i treni nelle due direzioni hanno la stessa frequenza, non devono essere simmetrici. (immagine: da http://www.oddee.com/item_96579.aspx) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Probabilità “sembra uguale, ma non sempre lo è” 30 ottobre 2001 Nei problemi che toccano la probabilità, la parte più difficile è riuscire ad accorgersi di quando eventi che sembrano simili sono in realtà diversi. Esempi: Tre scatole, una con due palline bianche, una con una bianca e una rossa, una con due rosse. Se pesco una pallina bianca, qual è la probabilità che l’altra pallina sia bianca? Il problema di Monty Hall (conviene o no cambiare porta se il presentatore ti ha detto “guarda, per facilitarti le cose ti mostro che in effetti una delle porte che non hai scelto era perdente”?) Corona e Ancora (il gioco sembra più che equo, visto che sembrerebbe far vincere tre volte su sei. Ma invece…) (immagine da http://edthemanicstreetpreacher.wordpress.com/2010/04/07/harris-moral-landscape-lecture/ ) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

Strategia ingorda “ogni tanto è meglio fare le cose con calma” La “greedy strategy” è comoda, ma a volte può portare a non ottenere il risultato voluto. Il guaio è che cercando sempre di fare il maggior passo possibile, a volte ci si preclude una via un po’ più tortuosa inizialmente ma che alla fine porta a risultati migliori. Esempi: Il problema del lupo, della capra e del cavolo non è ingordo, ma serve per capire come occorra trovare la mossa chiave, che è quella di portare al primo giro la capra. John, Paul, George e Ringo devono attraversare un ponte al buio, con una sola lampada. Lo possono fare in due alla volta, e ci mettono rispettivamente 1, 2, 5, 10 minuti. Possono farcela in 17 minuti? Se si parte dal principio ingordo, che cioè sia John a portare tutti dall’altra parte uno per volta perché è quello che può tornare indietro più facilmente, no. Il trucco è mandare insieme a Ringo il più lento degli altri, cioè George: così almeno lui non perde tempo inutile. (immagine: http://www.hvrsd.org/timberlane/students2011/CurtisH/images/Smurfs_Color_Pictures_Greedy_Smurf.jpg) 30 ottobre 2001 Matematica in relax

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